Fiche de révision : Changement de référentiel

📋 Plan du Cours

1. Cadre de la cinématique
2. Vitesse en coordonnées cartésiennes et cylindriques
3. Vitesse en coordonnées sphériques et curvilignes
4. Accélération dans les différents repères
5. Changement de référentiel
6. Composition des vitesses
7. Composition des accélérations
8. Choix des systèmes de coordonnées
9. Vitesse en coordonnées cylindriques
10. Accélération en coordonnées cylindriques
11. Vitesse en coordonnées sphériques
12. Accélération en coordonnées sphériques

📖 1. Cadre de la cinématique

🔑 Notions clés & Définitions

• Cinématique : Étude du mouvement d’un système sans s’intéresser aux causes qui en sont à l’origine.
• Point matériel : Objet dont les dimensions sont négligeables et dont le mouvement se ramène à celui de son centre de masse ; sa rotation sur lui-même n’a pas d’incidence sur ce mouvement.
• Référentiel : Repère muni d’une horloge permettant de repérer la position et de mesurer le temps.

📝 Points essentiels

• Dans le cadre du cours, l’espace est considéré euclidien, homogène et isotrope, les vitesses sont très faibles devant celle de la lumière et le temps est absolu dans tous les référentiels.

• Un point au-dessus d’une variable désigne sa dérivée par rapport au temps.

💡 Astuce mémo

La cinématique décrit le mouvement ; la dynamique en étudie les causes.

📖 2. Vitesse en coordonnées cartésiennes et cylindriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur vitesse : Dérivée temporelle du vecteur position de M dans R, soit $\vec V(M/R)=\left[\frac{d\overrightarrow{OM}}{dt}\right]_R$.

★ À maîtriser

📐 Formule - En coordonnées cartésiennes, la vitesse s’écrit $\vec V(M/R)=\dot{x}\vec{i}+\dot{y}\vec{j}+\dot{z}\vec{k}$.

📐 Formule - En coordonnées cylindriques, la vitesse s’écrit $\vec V(M/R)=\dot{\rho}\vec e_{\rho}+\rho\dot{\varphi}\vec e_{\varphi}+\dot{z}\vec{k}$.

Compléments

📐 Formule - En coordonnées cylindriques, les dérivées des vecteurs de base vérifient $\left[\frac{d\vec e_{\rho}}{dt}\right]_R=\dot{\varphi}\vec e_{\varphi}$ et $\left[\frac{d\vec e_{\varphi}}{dt}\right]_R=-\dot{\varphi}\vec e_{\rho}$.

• En coordonnées cartésiennes, la base $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ est liée au référentiel et ses vecteurs sont constants.

• En coordonnées cylindriques, la vitesse radiale est $V_{\rho}=\dot{\rho}$ et la vitesse orthoradiale est $V_{\varphi}=\rho\dot{\varphi}$.

📖 3. Vitesse en coordonnées sphériques et curvilignes

🔑 Notions clés & Définitions

• Abscisse curviligne : Égale à la longueur de l’arc de la trajectoire depuis un point origine P.
• Base de Frenet : La base de Frenet est la base orthonormée directe formée des vecteurs tangent, normal et binormal à la trajectoire au point M.
• Rayon de courbure : Le rayon de courbure R au point M relie le déplacement angulaire infinitésimal dα à l’élément de longueur curviligne ds par $ds=R\,d\alpha$.
• Plan osculateur : Plan qui contient localement la trajectoire du point M à chaque instant.

★ À maîtriser

📐 Formule - En coordonnées sphériques, la vitesse s’écrit $\vec V(M/R)=\dot r\vec e_r+r\dot\theta\vec e_\theta+r\dot\varphi\sin(\theta)\vec e_\varphi$.

Compléments

• En coordonnées sphériques, le vecteur position est $\overrightarrow{OM}=r\vec e_r$.

• Le repère associé aux coordonnées curvilignes est appelé repère de Fresnel.

• Le vecteur tangent $\vec{\tau}$ à la trajectoire en M est orienté dans le sens du mouvement.

• Le vecteur normal $\vec n$ est perpendiculaire à $\vec\tau$, appartient au plan osculateur et vérifie $d\vec\tau=d\alpha\,\vec n$.

• Le vecteur binormal $\vec b$ est perpendiculaire au plan osculateur et vérifie $\vec b=\vec\tau\wedge\vec n$.

📖 4. Accélération dans les différents repères

🔑 Notions clés & Définitions

• Accélération : L’accélération $\vec\gamma(M/R)$ du point M par rapport à R est la dérivée temporelle, dans R, de sa vitesse $\vec V(M/R)$.

★ À maîtriser

📐 Formule - En coordonnées cylindriques, l’accélération vaut $\vec\gamma(M/R)=(\ddot{\rho}-\rho\dot{\varphi}^{2})\vec e_{\rho}+(2\dot{\rho}\dot{\varphi}+\rho\ddot{\varphi})\vec e_{\varphi}+\ddot{z}\vec k$.

📐 Formule - En coordonnées curvilignes, l’accélération s’écrit $\vec\gamma(M/R)=\dot V\,\vec\tau+\frac{V^2}{R}\,\vec n$, où V est la norme de la vitesse.

📌 Le signe de $\vec V(M/R)\cdot\vec\gamma(M/R)$ détermine la variation de la vitesse : un produit positif indique un mouvement accéléré, un produit négatif un mouvement décéléré et un produit nul une vitesse constante donc un mouvement uniforme.

📌 L’accélération tangentielle vaut $\gamma_\tau=\dot V$, tandis que l’accélération normale vaut $\gamma_n=V^2/R$.

Compléments

📐 Formule - En coordonnées cartésiennes, l’accélération vaut $\vec\gamma(M/R)=\ddot{x}\vec i+\ddot{y}\vec j+\ddot{z}\vec k$.

📐 Formule - En coordonnées sphériques, l’accélération vaut $\vec\gamma(M/R)=(\ddot r-r\dot\theta^2-r\dot\varphi^2\sin^2\theta)\vec e_r+(2\dot r\dot\theta+r\ddot\theta-r\dot\varphi^2\sin\theta\cos\theta)\vec e_\theta+(2\dot r\dot\varphi\sin\theta+r\ddot\varphi\sin\theta+2r\dot\varphi\dot\theta\cos\theta)\vec e_\varphi$.

📐 Formule - Le rayon de courbure s’obtient par $R=\frac{V^3}{\|\vec V(M/R)\wedge\vec\gamma(M/R)\|}$.

• Lorsque $z=0$, l’expression de l’accélération en coordonnées cylindriques retrouve celle des coordonnées polaires.

📖 5. Changement de référentiel

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour tout vecteur $\vec A$ et deux référentiels en mouvement quelconque, $\left[\frac{d\vec A}{dt}\right]_R=\left[\frac{d\vec A}{dt}\right]_{R_1}+\vec\Omega_{(R_1/R)}\wedge\vec A$, où $\vec\Omega_{(R_1/R)}$ est le vecteur vitesse de rotation de R₁ par rapport à R.

• La relation fondamentale de la dynamique est valable dans un référentiel inertiel, aussi appelé référentiel galiléen.

• Pour un observateur situé sur les quais, la trajectoire d’une bille qui chute librement dans un train est parabolique, tandis qu’elle est rectiligne dans le référentiel lié au train.

📌 La base cartésienne du repère relatif R₁ est fixe dans R₁, mais mobile par rapport à R.

Compléments

📐 Formule - Si R₁ est en translation par rapport à R, $\vec\Omega_{(R_1/R)}=\vec 0$ et $\left[\frac{d\vec A}{dt}\right]_R=\left[\frac{d\vec A}{dt}\right]_{R_1}$.

📐 Formule - Les vecteurs vitesse de rotation relatifs vérifient $\vec\Omega_{(R_1/R)}=-\vec\Omega_{(R/R_1)}$.

• Deux référentiels en mouvement relatif sont introduits : R, d’origine O et muni de la base cartésienne orthonormée (i, j, k), et R₁, d’origine O₁ et muni de la base cartésienne (i₁, j₁, k₁).

📌 Le repère R est dit absolu pour l’observation du mouvement, mais il n’est pas nécessairement galiléen.

• La base cartésienne du repère absolu R est constante, donc la dérivée de chacun de ses vecteurs de base est nulle.

💡 Astuce mémo

La bille suit une parabole depuis les quais, mais une ligne droite dans le train.

📖 6. Composition des vitesses

🔑 Notions clés & Définitions

• Vitesse relative : La vitesse relative de M est sa vitesse dans le repère R₁ : $\vec V_r(M)=\vec V(M/R_1)$.
• Vitesse d’entraînement : La vitesse d’entraînement de M est $\vec V_e(M)=\vec V(O_1/R)+\vec\Omega(R_1/R)\wedge\overrightarrow{O_1M}$.

★ À maîtriser

📐 Formule - La vitesse absolue se décompose en vitesse relative et vitesse d’entraînement : $\vec V(M/R)=\vec V_r(M)+\vec V_e(M)$.

Compléments

• La vitesse d’entraînement de M est égale à la vitesse, par rapport à R, d’un point fixe dans R₁.

📌 R₁ est en translation par rapport à R lorsque ses vecteurs de base restent constamment parallèles à ceux de R ; alors $\vec\Omega(R_1/R)=\vec 0$ et la vitesse d’entraînement se réduit à $\vec V(O_1/R)$.

📖 7. Composition des accélérations

🔑 Notions clés & Définitions

• Accélération relative : L’accélération relative de M est son accélération dans R₁ : $\vec\gamma_r(M)=\vec\gamma(M/R_1)$.
• Accélération de Coriolis : L’accélération de Coriolis de M est $\vec\gamma_c(M)=2\vec\Omega(R_1/R)\wedge\vec V_r(M)$.
• Accélération d’entraînement : L’accélération d’entraînement de M est $\vec\gamma_e(M)=\vec\gamma(O_1/R)+\dot{\vec\Omega}(R_1/R)\wedge\overrightarrow{O_1M}+\vec\Omega(R_1/R)\wedge\left(\vec\Omega(R_1/R)\wedge\overrightarrow{O_1M}\right)$.

★ À maîtriser

📐 Formule - L’accélération absolue est la somme des accélérations relative, d’entraînement et de Coriolis : $\vec\gamma(M/R)=\vec\gamma_r(M)+\vec\gamma_e(M)+\vec\gamma_c(M)$.

Compléments

📌 Si R₁ est en translation par rapport à R, alors $\vec\Omega(R_1/R)=\vec 0$, l’accélération de Coriolis est nulle et l’accélération d’entraînement se réduit à $\vec\gamma(O_1/R)$.

📌 Si R₁ est en translation rectiligne uniforme par rapport à R, alors $\vec\gamma(O_1/R)=\vec 0$ et les accélérations absolue et relative sont égales : $\vec\gamma(M/R)=\vec\gamma(M/R_1)=\vec\gamma_r(M)$.

📖 8. Choix des systèmes de coordonnées

📝 Points essentiels

• Les relations de composition des vitesses et des accélérations restent valables quel que soit le choix des bases dans les deux référentiels.

📖 9. Vitesse en coordonnées cylindriques

★ À maîtriser

📐 Formule - La vitesse absolue en coordonnées cylindriques est $\vec{V}(M/R)=\dot{\rho}\vec{e}_{\rho}+\rho\dot{\varphi}\vec{e}_{\varphi}+\dot{z}\vec{k}$.

Compléments

📐 Formule - La vitesse relative en coordonnées cylindriques est $\vec{V}_r(M)=\dot{\rho}\vec{e}_{\rho}+\dot{z}\vec{k}$.

📐 Formule - La vitesse d’entraînement en coordonnées cylindriques est $\vec{V}_e(M)=\rho\dot{\varphi}\vec{e}_{\varphi}$.

• En coordonnées cylindriques, les repères absolu et relatif ont la même origine, donc $\vec{V}(O_1/R)=\vec{0}$ et le vecteur rotation relatif vaut $\vec{\Omega}(R_1/R)=\dot{\varphi}\vec{k}$.

📖 10. Accélération en coordonnées cylindriques

★ À maîtriser

📐 Formule - L’accélération absolue en coordonnées cylindriques est $\vec{\gamma}(M/R)=(\ddot{\rho}-\rho\dot{\varphi}^{2})\vec{e}_{\rho}+(\rho\ddot{\varphi}+2\dot{\rho}\dot{\varphi})\vec{e}_{\varphi}+\ddot{z}\vec{k}$.

Compléments

📐 Formule - L’accélération relative en coordonnées cylindriques est $\vec{\gamma}_r(M)=\ddot{\rho}\vec{e}_{\rho}+\ddot{z}\vec{k}$.

📐 Formule - L’accélération d’entraînement en coordonnées cylindriques est $\vec{\gamma}_e(M)=\rho\ddot{\varphi}\vec{e}_{\varphi}-\rho\dot{\varphi}^{2}\vec{e}_{\rho}$.

📐 Formule - L’accélération de Coriolis en coordonnées cylindriques est $\vec{\gamma}_c(M)=2\dot{\rho}\dot{\varphi}\vec{e}_{\varphi}$.

📖 11. Vitesse en coordonnées sphériques

★ À maîtriser

📐 Formule - La vitesse absolue en coordonnées sphériques est $\vec{V}(M/R)=\dot{r}\vec{e}_r+r\dot{\theta}\vec{e}_{\theta}+r\dot{\varphi}\sin(\theta)\vec{e}_{\varphi}$.

Compléments

📐 Formule - La vitesse relative sphérique est $\vec{V}_r(M)=\dot{r}\vec{e}_r$.

📐 Formule - La vitesse d’entraînement sphérique est $\vec{V}_e(M)=r\dot{\theta}\vec{e}_{\theta}+r\dot{\varphi}\sin(\theta)\vec{e}_{\varphi}$.

• En coordonnées sphériques, les repères absolu et relatif ont la même origine et $\vec{\Omega}(R_1/R)=\dot{\varphi}\vec{k}+\dot{\theta}\vec{e}_{\varphi}$.

• Le vecteur rotation du repère sphérique s’obtient en additionnant les vecteurs associés aux rotations possibles, portés par les axes perpendiculaires aux plans de rotation.

📖 12. Accélération en coordonnées sphériques

★ À maîtriser

📐 Formule - L’accélération absolue en coordonnées sphériques est $\vec{\gamma}(M/R)=(\ddot r-r\dot{\varphi}^{2}\sin^{2}(\theta)-r\dot{\theta}^{2})\vec{e}_{r}+(-r\dot{\varphi}^{2}\sin(\theta)\cos(\theta)+r\ddot{\theta}+2\dot r\dot{\theta})\vec{e}_{\theta}+(2\dot r\dot{\varphi}\sin(\theta)+r\ddot{\varphi}\sin(\theta)+2r\dot{\varphi}\dot{\theta}\cos(\theta))\vec{e}_{\varphi}$.

Compléments

📐 Formule - L’accélération relative sphérique est $\vec{\gamma}_r(M)=\ddot{r}\vec{e}_r$.

📐 Formule - L’accélération d’entraînement sphérique est $\vec{\gamma}_e(M)=(-r\dot{\varphi}^{2}\sin^{2}(\theta)-r\dot{\theta}^{2})\vec{e}_r+(-r\dot{\varphi}^{2}\sin(\theta)\cos(\theta)+r\ddot{\theta})\vec{e}_{\theta}+(2r\dot{\theta}\dot{\varphi}\cos(\theta)+r\ddot{\varphi}\sin(\theta))\vec{e}_{\varphi}$.

📐 Formule - L’accélération de Coriolis sphérique est $\vec{\gamma}_c(M)=2\dot{r}(\dot{\varphi}\sin(\theta)\vec{e}_{\varphi}+\dot{\theta}\vec{e}_{\theta})$.