QCM : Changement de référentiel (30 questions)

Question 1

1. Une étude décrit la trajectoire d’un mobile sans examiner les forces qui la produisent. Quelle discipline adopte cette démarche ?

La dynamique

La thermodynamique

La chronométrie

La cinématique

Explication

La cinématique étudie le mouvement sans s’intéresser à ses causes. La dynamique concerne les causes du mouvement, l’énergie relève d’une autre étude physique et la chronométrie porte sur la mesure du temps.

Answer

La cinématique

Question 2

2. Pour modéliser le déplacement d’un petit satellite, on néglige ses dimensions et on suit le mouvement de son centre de masse. Comment le représente-t-on dans ce modèle ?

Comme un solide déformable

Comme un point matériel

Comme un corps en rotation

Comme un repère horloger

Explication

Un point matériel représente un objet dont les dimensions sont négligeables et dont le mouvement se ramène à celui de son centre de masse ; sa rotation sur lui-même n’intervient pas dans ce mouvement. Un solide étendu conserve ses dimensions, tandis qu’un référentiel sert à repérer la position et le temps.

Answer

Comme un point matériel

Question 3

3. Quel élément doit être ajouté à un repère pour qu’il constitue un référentiel au sens cinématique ?

Une horloge permettant de mesurer le temps

Une base dont les vecteurs changent avec le mouvement

Une règle permettant de mesurer les distances

Un quatrième axe permettant de repérer l’espace

Explication

Un référentiel est un repère muni d’une horloge, afin de repérer les positions et de mesurer le temps. Ajouter un axe ou une règle ne fournit pas la mesure temporelle requise.

Answer

Une horloge permettant de mesurer le temps

Question 4

4. Dans un référentiel donné, quelle opération définit le vecteur vitesse d’un point à partir de son vecteur position ?

Prendre la dérivée temporelle du vecteur position dans ce référentiel

Conserver le vecteur position sans le dériver

Prendre la dérivée seconde du vecteur position dans ce référentiel

Prendre la dérivée temporelle du vecteur position dans un autre référentiel

Explication

La vitesse dans un référentiel est la dérivée temporelle du vecteur position calculée dans ce même référentiel. La dérivée seconde correspond à l’accélération, et le vecteur position non dérivé ne donne pas la vitesse.

Answer

Prendre la dérivée temporelle du vecteur position dans ce référentiel

Question 5

5. Un mobile a pour coordonnées cartésiennes $x(t)=2t$ , $y(t)=t^2$ et $z(t)=3$ . Quelle est son expression de vitesse à l’instant $t=2$ dans la base cartésienne ?

2\vec{i}+4\vec{j}+3\vec{k}

2\vec{i}+4\vec{j}

4\vec{i}+4\vec{j}

2\vec{i}+2\vec{j}

Explication

En coordonnées cartésiennes, la vitesse est $\dot{x}\vec{i}+\dot{y}\vec{j}+\dot{z}\vec{k}$ . Ici, $\dot{x}=2$ , $\dot{y}=2t=4$ à $t=2$ et $\dot{z}=0$ ; utiliser une dérivée seconde ou la valeur de z comme vitesse donne les autres résultats.

Answer

$$2\vec{i}+4\vec{j}$$

Question 6

6. Un point se déplace en coordonnées cylindriques avec $\dot{\rho}=3$ , $\rho=2$ , $\dot{\varphi}=4$ et $\dot{z}=0$ . Quelle est son expression de vitesse ?

3\vec{e}_{\rho}+4\vec{e}_{\varphi}

8\vec{e}_{\rho}+3\vec{e}_{\varphi}

3\vec{e}_{\rho}+8\vec{e}_{\varphi}+2\vec{k}

3\vec{e}_{\rho}+8\vec{e}_{\varphi}

Explication

En coordonnées cylindriques, la vitesse vaut $\dot{\rho}\vec{e}_{\rho}+\rho\dot{\varphi}\vec{e}_{\varphi}+\dot{z}\vec{k}$ . Les composantes sont donc $3$ radialement et $2\times4=8$ orthoradialement, sans composante verticale puisque $\dot{z}=0$ .

Answer

$$3\vec{e}_{\rho}+8\vec{e}_{\varphi}$$

Question 7

7. Sur une trajectoire, quelle grandeur représente l’abscisse curviligne $s$ mesurée depuis le point origine $P$ ?

La longueur de l’arc de trajectoire depuis

P

La distance en ligne droite entre

P

et

M

La durée écoulée depuis le passage en

P

Le rayon de courbure de la trajectoire en

M

Explication

L’abscisse curviligne mesure la longueur de l’arc de trajectoire parcouru depuis l’origine $P$ . La distance en ligne droite est une corde, la durée est une grandeur temporelle et le rayon de courbure décrit localement la courbure.

Answer

La longueur de l’arc de trajectoire depuis $$P$$

Question 8

8. Pour décrire localement la trajectoire d’un point en $M$ , quels vecteurs forment la base de Frenet ?

Le vecteur position, le vecteur tangent et le vecteur binormal

Le vecteur radial, le vecteur polaire et le vecteur azimutal

Le vecteur tangent, le vecteur normal et le rayon de courbure

Le vecteur tangent, le vecteur normal et le vecteur binormal

Explication

La base de Frenet est une base orthonormée directe composée des vecteurs tangent, normal et binormal à la trajectoire au point considéré. La base radiale-polaire-azimutale est sphérique, tandis que le rayon de courbure est une grandeur scalaire et non un vecteur de base.

Answer

Le vecteur tangent, le vecteur normal et le vecteur binormal

Question 9

9. Un point parcourt un élément de trajectoire $ds=0{,}24\,\text{m}$ tandis que sa direction tangentielle tourne d’un angle infinitésimal $d\alpha=0{,}08\,\text{rad}$ . Quel est le rayon de courbure local ?

6\,\text{m}

0{,}33\,\text{m}

0{,}24\,\text{m}

3\,\text{m}

Explication

La relation $ds=R\,d\alpha$ donne $R=ds/d\alpha=0{,}24/0{,}08=3\,\text{m}$ . La valeur $0{,}33\,\text{m}$ inverse le rapport, $0{,}24\,\text{m}$ confond rayon et déplacement, et $6\,\text{m}$ correspondrait à une confusion avec le diamètre.

Answer

$$3\,\text{m}$$

Question 10

10. Pour un point observé dans un référentiel $R$ , comment définit-on son accélération $\vec\gamma(M/R)$ ?

Comme la dérivée temporelle de sa position dans

R

Comme le vecteur vitesse du point dans

R

Comme la dérivée temporelle de sa vitesse dans

R

Comme la dérivée temporelle de sa vitesse dans un autre référentiel

Explication

L’accélération par rapport à $R$ est la dérivée temporelle, prise dans $R$ , du vecteur vitesse du point par rapport à ce même référentiel. La dérivée de la position définit la vitesse, et la dérivée dans un autre référentiel ne respecte pas la définition demandée.

Answer

Comme la dérivée temporelle de sa vitesse dans $$R$$

Question 11

11. Un mobile suit une trajectoire courbe avec une vitesse de norme $6\,\text{m/s}$ , une dérivée temporelle de cette norme égale à $2\,\text{m/s}^2$ et un rayon de courbure de $3\,\text{m}$ . Quelle expression donne son accélération dans la base de Frenet ?

36\vec\tau+2\vec n\;\text{m/s}^2

2\vec\tau+2\vec n\;\text{m/s}^2

2\vec\tau+12\vec n\;\text{m/s}^2

12\vec\tau+2\vec n\;\text{m/s}^2

Explication

En coordonnées curvilignes, $\vec\gamma=\dot V\vec\tau+(V^2/R)\vec n$ ; ici, $\dot V=2$ et $V^2/R=36/3=12$ . La valeur normale $2$ résulte d’une confusion entre vitesse et accélération normale, tandis que placer $36$ sur la tangente ou $12$ sur la tangente échange les composantes.

Answer

$$2\vec\tau+12\vec n\;\text{m/s}^2$$

Question 12

12. Un mobile se déplace à vitesse non nulle et le produit scalaire $\vec V\cdot\vec\gamma$ est négatif à un instant donné. Comment évolue son mouvement à cet instant ?

Le mouvement est uniforme

Le mouvement est décéléré

Le mouvement est accéléré

Le mouvement est rétrograde

Explication

Le signe de $\vec V\cdot\vec\gamma$ indique la variation de la vitesse : un produit négatif correspond à une diminution de sa norme et donc à un mouvement décéléré. Un produit positif signale une accélération de la vitesse, un produit nul une vitesse constante, et le caractère rétrograde concerne le sens du mouvement plutôt que sa variation de vitesse.

Answer

Le mouvement est décéléré

Question 13

13. Un ingénieur veut appliquer la relation fondamentale de la dynamique pour étudier un objet. Dans quel type de référentiel cette loi est-elle valable ?

Dans tout référentiel en mouvement relatif

Dans un référentiel inertiel, aussi appelé galiléen

Dans un référentiel relatif, quelle que soit sa rotation

Dans un référentiel absolu, quel que soit son mouvement

Explication

La relation fondamentale de la dynamique est valable dans un référentiel inertiel, également appelé galiléen. Un référentiel absolu n’est pas nécessairement galiléen, et le mouvement relatif ne suffit pas à établir cette propriété.

Answer

Dans un référentiel inertiel, aussi appelé galiléen

Question 14

14. Une bille tombe librement dans un train en mouvement. Quelle trajectoire décrit-elle pour une personne immobile sur le quai, alors que sa trajectoire est rectiligne dans le référentiel du train ?

Une trajectoire circulaire

Une trajectoire rectiligne

Une trajectoire immobile

Une trajectoire parabolique

Explication

Le mouvement observé depuis le quai combine la chute de la bille et le mouvement du train, ce qui donne une trajectoire parabolique. La trajectoire rectiligne correspond au référentiel lié au train; une trajectoire circulaire ou immobile ne décrit pas ce cas.

Answer

Une trajectoire parabolique

Question 15

15. Un observateur décrit un repère relatif $R_1$ en mouvement par rapport à $R$ . Comment la base cartésienne de $R_1$ se comporte-t-elle dans ces deux repères ?

Mobile dans

R_1

et fixe par rapport à

R

Fixe dans

R_1

et mobile par rapport à

R

Fixe dans les deux repères malgré leur mouvement relatif

Mobile dans les deux repères de la même manière

Explication

La base cartésienne est fixe dans le repère auquel elle est attachée, ici $R_1$ , mais elle est mobile lorsqu’on l’observe depuis $R$ . La confondre avec une base fixe dans les deux repères efface leur mouvement relatif.

Answer

Fixe dans $$R_1$$ et mobile par rapport à $$R$$

Question 16

16. Un repère $R_1$ tourne par rapport à $R$ avec une vitesse angulaire $\vec\Omega$ . Pour un vecteur $\vec A$ , quelle relation permet de calculer sa dérivée temporelle dans $R$ à partir de celle dans $R_1$ ?

\left[\frac{d\vec A}{dt}\right]_R=\left[\frac{d\vec A}{dt}\right]_{R_1}+\vec A\wedge\vec\Omega

\left[\frac{d\vec A}{dt}\right]_{R_1}=\left[\frac{d\vec A}{dt}\right]_R+\vec\Omega\wedge\vec A

\left[\frac{d\vec A}{dt}\right]_R=\left[\frac{d\vec A}{dt}\right]_{R_1}+\vec\Omega\wedge\vec A

\left[\frac{d\vec A}{dt}\right]_R=\left[\frac{d\vec A}{dt}\right]_{R_1}

Explication

Le passage de la dérivée dans $R_1$ à celle dans $R$ ajoute le terme de rotation $\vec\Omega\wedge\vec A$ . L’absence de ce terme néglige la rotation, tandis que $\vec A\wedge\vec\Omega$ inverse l’ordre du produit vectoriel.

Answer

$$\left[\frac{d\vec A}{dt}\right]_R=\left[\frac{d\vec A}{dt}\right]_{R_1}+\vec\Omega\wedge\vec A$$

Question 17

17. Dans un montage, la vitesse d’un point $M$ mesurée dans $R_1$ vaut $3\,\text{m·s}^{-1}$ vers l’est, et sa vitesse d’entraînement vaut $2\,\text{m·s}^{-1}$ vers l’ouest. Quelle est sa vitesse absolue dans $R$ ?

2\,\text{m·s}^{-1}

vers l’ouest

5\,\text{m·s}^{-1}

vers l’est

1\,\text{m·s}^{-1}

vers l’ouest

1\,\text{m·s}^{-1}

vers l’est

Explication

La vitesse absolue est la somme vectorielle des vitesses relative et d’entraînement : $3$ vers l’est plus $2$ vers l’ouest donne $1\,\text{m·s}^{-1}$ vers l’est. La valeur $5$ provient d’une addition des normes, et le sens ouest résulte d’une inversion du résultat.

Answer

$$1\,\text{m·s}^{-1}$$ vers l’est

Question 18

18. Une caméra est fixée au repère $R_1$ et mesure le mouvement d’un point $M$ par rapport à ce repère. Quelle vitesse mesure-t-elle ?

La vitesse relative

\vec V_r(M)=\vec V(M/R_1)

La vitesse d’entraînement

\vec V_e(M)

La vitesse de l’origine

\vec V(O_1/R)

La vitesse absolue

\vec V(M/R)

Explication

Par définition, la vitesse relative de $M$ est sa vitesse mesurée dans $R_1$ . La vitesse d’entraînement décrit le mouvement transporté par le repère; la vitesse absolue est la somme de ces deux contributions.

Answer

La vitesse relative $$\vec V_r(M)=\vec V(M/R_1)$$

Question 19

19. Le repère $R_1$ se déplace en translation par rapport à $R$ : ses axes restent parallèles à ceux de $R$ . Quelle expression donne alors la vitesse d’entraînement d’un point $M$ ?

\vec V_e(M)=\vec V(M/R_1)

\vec V_e(M)=\vec V(O_1/R)

\vec V_e(M)=\vec V(O_1/R)+\overrightarrow{O_1M}

\vec V_e(M)=\vec V(O_1/R)+\vec\Omega\wedge\overrightarrow{O_1M}

Explication

En translation, les axes de $R_1$ restent parallèles à ceux de $R$ , donc $\vec\Omega=\vec 0$ et la vitesse d’entraînement se réduit à celle de l’origine $O_1$ . Garder le terme de rotation ou ajouter directement le vecteur position ne respecte pas cette réduction.

Answer

$$\vec V_e(M)=\vec V(O_1/R)$$

Question 20

20. Un point M est décrit dans deux référentiels R et R₁. Quelle grandeur désigne son accélération relative ?

L’accélération de M dans R

L’accélération de l’origine O₁ dans R

L’accélération due à la rotation de R₁

L’accélération de M dans R₁

Explication

L’accélération relative est l’accélération de M mesurée dans le référentiel R₁. L’accélération dans R est l’absolue, celle de O₁ concerne l’origine du référentiel, et l’accélération de Coriolis est un terme distinct.

Answer

L’accélération de M dans R₁

Question 21

21. Dans une situation donnée, le référentiel R₁ tourne par rapport à R avec une vitesse angulaire non nulle et M possède une vitesse relative non nulle. Quelle expression permet de déterminer l’accélération de Coriolis de M ?

2\vec V_r(M)\wedge\vec\Omega(R_1/R)

\vec\Omega(R_1/R)\wedge\vec V_r(M)

2\vec\Omega(R_1/R)\wedge\vec V_r(M)

2\vec\Omega(R_1/R)\wedge\overrightarrow{O_1M}

Explication

L’accélération de Coriolis est le double du produit vectoriel de la vitesse angulaire de R₁ par rapport à R et de la vitesse relative de M. Omettre le facteur 2, utiliser la position ou inverser l’ordre du produit vectoriel modifie cette relation.

Answer

$$2\vec\Omega(R_1/R)\wedge\vec V_r(M)$$

Question 22

22. Pour un point M, on connaît les accélérations relative, d’entraînement et de Coriolis dans deux référentiels R et R₁. Comment obtient-on son accélération absolue dans R ?

\vec\gamma_r(M)+\vec\gamma_e(M)-\vec\gamma_c(M)

\vec\gamma_r(M)+\vec\gamma_e(M)+\vec\gamma_c(M)

\vec\gamma_r(M)+\vec\gamma_c(M)

\vec\gamma_r(M)\wedge\vec\gamma_e(M)+\vec\gamma_c(M)

Explication

La composition des accélérations donne l’accélération absolue comme somme vectorielle des accélérations relative, d’entraînement et de Coriolis. Soustraire le terme de Coriolis, omettre l’entraînement ou remplacer la somme par un produit vectoriel ne respecte pas cette règle.

Answer

$$\vec\gamma_r(M)+\vec\gamma_e(M)+\vec\gamma_c(M)$$

Question 23

23. Une équipe choisit des bases différentes dans R et R₁ pour simplifier les calculs d’un mouvement. Que peut-elle conclure sur les relations de composition des vitesses et des accélérations ?

Elles restent valables pour les vitesses, mais pas pour les accélérations

Elles exigent que les deux référentiels aient la même base

Elles doivent être reformulées pour chaque choix de base

Elles restent valables avec ces bases différentes

Explication

Les relations de composition des vitesses et des accélérations sont valables quel que soit le choix des bases dans les deux référentiels. Exiger des bases identiques ou exclure les accélérations confond le choix pratique des bases avec la validité des relations.

Answer

Elles restent valables avec ces bases différentes

Question 24

24. Un point se déplace avec $\dot{\rho}=3$ , $\rho=2$ , $\dot{\varphi}=4$ et $\dot{z}=-1$ . Quelle est sa vitesse absolue en coordonnées cylindriques ?

3\vec{e}_{\rho}+8\vec{e}_{\varphi}-\vec{k}

3\vec{e}_{\rho}+8\vec{k}-\vec{e}_{\varphi}

8\vec{e}_{\rho}+3\vec{e}_{\varphi}-\vec{k}

3\vec{e}_{\rho}+4\vec{e}_{\varphi}-\vec{k}

Explication

La vitesse absolue comprend les composantes $\dot{\rho}\vec{e}_{\rho}$ , $\rho\dot{\varphi}\vec{e}_{\varphi}$ et $\dot{z}\vec{k}$ ; ici, $\rho\dot{\varphi}=2\times4=8$ . La valeur 4 oublie le facteur $\rho$ , l’échange des bases confond les directions et la valeur radiale 8 intervertit les composantes.

Answer

$$3\vec{e}_{\rho}+8\vec{e}_{\varphi}-\vec{k}$$

Question 25

25. À un instant donné, un point a $\rho=3$ et $\dot{\varphi}=2$ . Quelle est sa vitesse d’entraînement dans la base cylindrique ?

2\vec{e}_{\varphi}

3\vec{e}_{\rho}

6\vec{e}_{\rho}

6\vec{e}_{\varphi}

Explication

La vitesse d’entraînement vaut $\rho\dot{\varphi}\vec{e}_{\varphi}$ , soit $3\times2\vec{e}_{\varphi}=6\vec{e}_{\varphi}$ . La valeur 2 omet le rayon, tandis que les réponses selon $\vec{e}_{\rho}$ confondent la direction azimutale avec la direction radiale; la vitesse relative ne comprend pas cette composante.

Answer

$$6\vec{e}_{\varphi}$$

Question 26

26. Pour un mouvement cylindrique, on a $\rho=2$ , $\dot{\rho}=1$ , $\ddot{\rho}=5$ , $\dot{\varphi}=3$ , $\ddot{\varphi}=4$ , $\ddot{z}=-2$ . Quelle est l’accélération absolue ?

5\vec{e}_{\rho}+14\vec{e}_{\varphi}-2\vec{k}

14\vec{e}_{\rho}-13\vec{e}_{\varphi}-2\vec{k}

-13\vec{e}_{\rho}+14\vec{e}_{\varphi}-2\vec{k}

-13\vec{e}_{\rho}+8\vec{e}_{\varphi}-2\vec{k}

Explication

Les composantes sont $\ddot{\rho}-\rho\dot{\varphi}^{2}=5-2\times9=-13$ , $\rho\ddot{\varphi}+2\dot{\rho}\dot{\varphi}=2\times4+2\times1\times3=14$ et $\ddot{z}=-2$ . La valeur radiale 5 oublie le terme centripète, la valeur azimutale 8 omet Coriolis, et l’échange des directions radiale et azimutale inverse les bases.

Answer

$$-13\vec{e}_{\rho}+14\vec{e}_{\varphi}-2\vec{k}$$

Question 27

27. Un point a $\dot{\rho}=2$ et $\dot{\varphi}=3$ à un instant donné. Quelle est son accélération de Coriolis ?

12\vec{e}_{\rho}

12\vec{e}_{\varphi}

6\vec{e}_{\varphi}

\rho\ddot{\varphi}\vec{e}_{\varphi}

Explication

L’accélération de Coriolis est $2\dot{\rho}\dot{\varphi}\vec{e}_{\varphi}$ , donc sa valeur ici est $2\times2\times3=12$ dans la direction azimutale. La valeur 6 oublie le facteur 2, la direction radiale est erronée et $\rho\ddot{\varphi}\vec{e}_{\varphi}$ correspond à une composante d’entraînement.

Answer

$$12\vec{e}_{\varphi}$$

Question 28

28. Un point a pour coordonnées sphériques instantanées $r=4$ et $\theta=\frac{\pi}{6}$ , avec $\dot r=2$ , $\dot\theta=3$ et $\dot\varphi=2$ . Quelle est sa vitesse absolue dans la base sphérique ?

2\vec{e}_r+12\vec{e}_{\theta}+4\vec{e}_{\varphi}

2\vec{e}_r+3\vec{e}_{\theta}+4\vec{e}_{\varphi}

2\vec{e}_r+12\vec{e}_{\theta}+8\vec{e}_{\varphi}

2\vec{e}_r+4\vec{e}_{\theta}+12\vec{e}_{\varphi}

Explication

La vitesse sphérique est $\dot r\vec{e}_r+r\dot\theta\vec{e}_{\theta}+r\dot\varphi\sin(\theta)\vec{e}_{\varphi}$ ; ici les coefficients valent $2$ , $12$ et $4$ . L’option avec $3$ omet le facteur $r$ , celle avec $8$ omet $\sin(\theta)$ , et celle qui échange $4$ et $12$ confond les directions angulaires.

Answer

$$2\vec{e}_r+12\vec{e}_{\theta}+4\vec{e}_{\varphi}$$

Question 29

29. Un point se déplace radialement dans le repère sphérique, avec $\dot r=-1{,}5$ , tandis que ses angles restent constants. Quelle est sa vitesse relative sphérique ?

-1{,}5\vec{e}_{\theta}

-1{,}5\vec{e}_r

1{,}5\vec{e}_r

-1{,}5\vec{e}_{\varphi}

Explication

La vitesse relative sphérique vaut $\dot r\vec{e}_r$ ; le signe négatif indique ici un mouvement radial vers les valeurs décroissantes de $r$ . La valeur positive perd ce signe, tandis que les directions $\vec{e}_{\theta}$ et $\vec{e}_{\varphi}$ correspondent à des variations angulaires.

Answer

$$-1{,}5\vec{e}_r$$

Question 30

30. Un point se déplace radialement avec $\dot r=2$ dans un repère sphérique où $\dot\varphi=3$ et $\theta=\frac{\pi}{6}$ , tandis que $\dot\theta=0$ . Quelle est son accélération de Coriolis ?

6\sqrt{3}\vec{e}_{\varphi}

6\vec{e}_{\varphi}

3\vec{e}_{\varphi}

-6\vec{e}_r

Explication

L’accélération de Coriolis sphérique est $2\dot r(\dot\varphi\sin(\theta)\vec{e}_{\varphi}+\dot\theta\vec{e}_{\theta})$ ; les valeurs données donnent $2\cdot2\cdot3\cdot\frac12=6$ selon $\vec{e}_{\varphi}$ . Le coefficient $3$ oublie le facteur deux, $6\sqrt{3}$ emploie le cosinus, et une composante radiale correspond à une autre contribution.

Answer

$$6\vec{e}_{\varphi}$$

QCM : Changement de référentiel (30 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Une étude décrit la trajectoire d’un mobile sans examiner les forces qui la produisent. Quelle discipline adopte cette démarche ?

2. Pour modéliser le déplacement d’un petit satellite, on néglige ses dimensions et on suit le mouvement de son centre de masse. Comment le représente-t-on dans ce modèle ?

3. Quel élément doit être ajouté à un repère pour qu’il constitue un référentiel au sens cinématique ?

4. Dans un référentiel donné, quelle opération définit le vecteur vitesse d’un point à partir de son vecteur position ?

5. Un mobile a pour coordonnées cartésiennes x(t)=2tx(t)=2tx(t)=2t, y(t)=t2y(t)=t^2y(t)=t2 et z(t)=3z(t)=3z(t)=3. Quelle est son expression de vitesse à l’instant t=2t=2t=2 dans la base cartésienne ?

6. Un point se déplace en coordonnées cylindriques avec ρ˙=3\dot{\rho}=3ρ˙​=3, ρ=2\rho=2ρ=2, φ˙=4\dot{\varphi}=4φ˙​=4 et z˙=0\dot{z}=0z˙=0. Quelle est son expression de vitesse ?

7. Sur une trajectoire, quelle grandeur représente l’abscisse curviligne sss mesurée depuis le point origine PPP ?

8. Pour décrire localement la trajectoire d’un point en MMM, quels vecteurs forment la base de Frenet ?

9. Un point parcourt un élément de trajectoire ds=0,24 mds=0{,}24\,\text{m}ds=0,24m tandis que sa direction tangentielle tourne d’un angle infinitésimal dα=0,08 radd\alpha=0{,}08\,\text{rad}dα=0,08rad. Quel est le rayon de courbure local ?

10. Pour un point observé dans un référentiel RRR, comment définit-on son accélération γ⃗(M/R)\vec\gamma(M/R)γ​(M/R) ?

11. Un mobile suit une trajectoire courbe avec une vitesse de norme 6 m/s6\,\text{m/s}6m/s, une dérivée temporelle de cette norme égale à 2 m/s22\,\text{m/s}^22m/s2 et un rayon de courbure de 3 m3\,\text{m}3m. Quelle expression donne son accélération dans la base de Frenet ?

12. Un mobile se déplace à vitesse non nulle et le produit scalaire V⃗⋅γ⃗\vec V\cdot\vec\gammaV⋅γ​ est négatif à un instant donné. Comment évolue son mouvement à cet instant ?

13. Un ingénieur veut appliquer la relation fondamentale de la dynamique pour étudier un objet. Dans quel type de référentiel cette loi est-elle valable ?

14. Une bille tombe librement dans un train en mouvement. Quelle trajectoire décrit-elle pour une personne immobile sur le quai, alors que sa trajectoire est rectiligne dans le référentiel du train ?

15. Un observateur décrit un repère relatif R1R_1R1​ en mouvement par rapport à RRR. Comment la base cartésienne de R1R_1R1​ se comporte-t-elle dans ces deux repères ?

16. Un repère R1R_1R1​ tourne par rapport à RRR avec une vitesse angulaire Ω⃗\vec\OmegaΩ. Pour un vecteur A⃗\vec AA, quelle relation permet de calculer sa dérivée temporelle dans RRR à partir de celle dans R1R_1R1​ ?

17. Dans un montage, la vitesse d’un point MMM mesurée dans R1R_1R1​ vaut 3 m⋅s−13\,\text{m·s}^{-1}3m⋅s−1 vers l’est, et sa vitesse d’entraînement vaut 2 m⋅s−12\,\text{m·s}^{-1}2m⋅s−1 vers l’ouest. Quelle est sa vitesse absolue dans RRR ?

18. Une caméra est fixée au repère R1R_1R1​ et mesure le mouvement d’un point MMM par rapport à ce repère. Quelle vitesse mesure-t-elle ?

19. Le repère R1R_1R1​ se déplace en translation par rapport à RRR : ses axes restent parallèles à ceux de RRR. Quelle expression donne alors la vitesse d’entraînement d’un point MMM ?

20. Un point M est décrit dans deux référentiels R et R₁. Quelle grandeur désigne son accélération relative ?

21. Dans une situation donnée, le référentiel R₁ tourne par rapport à R avec une vitesse angulaire non nulle et M possède une vitesse relative non nulle. Quelle expression permet de déterminer l’accélération de Coriolis de M ?

22. Pour un point M, on connaît les accélérations relative, d’entraînement et de Coriolis dans deux référentiels R et R₁. Comment obtient-on son accélération absolue dans R ?

23. Une équipe choisit des bases différentes dans R et R₁ pour simplifier les calculs d’un mouvement. Que peut-elle conclure sur les relations de composition des vitesses et des accélérations ?

24. Un point se déplace avec ρ˙=3\dot{\rho}=3ρ˙​=3, ρ=2\rho=2ρ=2, φ˙=4\dot{\varphi}=4φ˙​=4 et z˙=−1\dot{z}=-1z˙=−1. Quelle est sa vitesse absolue en coordonnées cylindriques ?

25. À un instant donné, un point a ρ=3\rho=3ρ=3 et φ˙=2\dot{\varphi}=2φ˙​=2. Quelle est sa vitesse d’entraînement dans la base cylindrique ?

26. Pour un mouvement cylindrique, on a ρ=2\rho=2ρ=2, ρ˙=1\dot{\rho}=1ρ˙​=1, ρ¨=5\ddot{\rho}=5ρ¨​=5, φ˙=3\dot{\varphi}=3φ˙​=3, φ¨=4\ddot{\varphi}=4φ¨​=4, z¨=−2\ddot{z}=-2z¨=−2. Quelle est l’accélération absolue ?

27. Un point a ρ˙=2\dot{\rho}=2ρ˙​=2 et φ˙=3\dot{\varphi}=3φ˙​=3 à un instant donné. Quelle est son accélération de Coriolis ?

28. Un point a pour coordonnées sphériques instantanées r=4r=4r=4 et θ=π6\theta=\frac{\pi}{6}θ=6π​, avec r˙=2\dot r=2r˙=2, θ˙=3\dot\theta=3θ˙=3 et φ˙=2\dot\varphi=2φ˙​=2. Quelle est sa vitesse absolue dans la base sphérique ?

29. Un point se déplace radialement dans le repère sphérique, avec r˙=−1,5\dot r=-1{,}5r˙=−1,5, tandis que ses angles restent constants. Quelle est sa vitesse relative sphérique ?

30. Un point se déplace radialement avec r˙=2\dot r=2r˙=2 dans un repère sphérique où φ˙=3\dot\varphi=3φ˙​=3 et θ=π6\theta=\frac{\pi}{6}θ=6π​, tandis que θ˙=0\dot\theta=0θ˙=0. Quelle est son accélération de Coriolis ?

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5. Un mobile a pour coordonnées cartésiennes $x(t)=2t$ , $y(t)=t^2$ et $z(t)=3$ . Quelle est son expression de vitesse à l’instant $t=2$ dans la base cartésienne ?

6. Un point se déplace en coordonnées cylindriques avec $\dot{\rho}=3$ , $\rho=2$ , $\dot{\varphi}=4$ et $\dot{z}=0$ . Quelle est son expression de vitesse ?

7. Sur une trajectoire, quelle grandeur représente l’abscisse curviligne $s$ mesurée depuis le point origine $P$ ?

8. Pour décrire localement la trajectoire d’un point en $M$ , quels vecteurs forment la base de Frenet ?

9. Un point parcourt un élément de trajectoire $ds=0{,}24\,\text{m}$ tandis que sa direction tangentielle tourne d’un angle infinitésimal $d\alpha=0{,}08\,\text{rad}$ . Quel est le rayon de courbure local ?

10. Pour un point observé dans un référentiel $R$ , comment définit-on son accélération $\vec\gamma(M/R)$ ?

11. Un mobile suit une trajectoire courbe avec une vitesse de norme $6\,\text{m/s}$ , une dérivée temporelle de cette norme égale à $2\,\text{m/s}^2$ et un rayon de courbure de $3\,\text{m}$ . Quelle expression donne son accélération dans la base de Frenet ?

12. Un mobile se déplace à vitesse non nulle et le produit scalaire $\vec V\cdot\vec\gamma$ est négatif à un instant donné. Comment évolue son mouvement à cet instant ?

15. Un observateur décrit un repère relatif $R_1$ en mouvement par rapport à $R$ . Comment la base cartésienne de $R_1$ se comporte-t-elle dans ces deux repères ?

16. Un repère $R_1$ tourne par rapport à $R$ avec une vitesse angulaire $\vec\Omega$ . Pour un vecteur $\vec A$ , quelle relation permet de calculer sa dérivée temporelle dans $R$ à partir de celle dans $R_1$ ?

17. Dans un montage, la vitesse d’un point $M$ mesurée dans $R_1$ vaut $3\,\text{m·s}^{-1}$ vers l’est, et sa vitesse d’entraînement vaut $2\,\text{m·s}^{-1}$ vers l’ouest. Quelle est sa vitesse absolue dans $R$ ?

18. Une caméra est fixée au repère $R_1$ et mesure le mouvement d’un point $M$ par rapport à ce repère. Quelle vitesse mesure-t-elle ?

19. Le repère $R_1$ se déplace en translation par rapport à $R$ : ses axes restent parallèles à ceux de $R$ . Quelle expression donne alors la vitesse d’entraînement d’un point $M$ ?

24. Un point se déplace avec $\dot{\rho}=3$ , $\rho=2$ , $\dot{\varphi}=4$ et $\dot{z}=-1$ . Quelle est sa vitesse absolue en coordonnées cylindriques ?

25. À un instant donné, un point a $\rho=3$ et $\dot{\varphi}=2$ . Quelle est sa vitesse d’entraînement dans la base cylindrique ?

26. Pour un mouvement cylindrique, on a $\rho=2$ , $\dot{\rho}=1$ , $\ddot{\rho}=5$ , $\dot{\varphi}=3$ , $\ddot{\varphi}=4$ , $\ddot{z}=-2$ . Quelle est l’accélération absolue ?

27. Un point a $\dot{\rho}=2$ et $\dot{\varphi}=3$ à un instant donné. Quelle est son accélération de Coriolis ?

28. Un point a pour coordonnées sphériques instantanées $r=4$ et $\theta=\frac{\pi}{6}$ , avec $\dot r=2$ , $\dot\theta=3$ et $\dot\varphi=2$ . Quelle est sa vitesse absolue dans la base sphérique ?

29. Un point se déplace radialement dans le repère sphérique, avec $\dot r=-1{,}5$ , tandis que ses angles restent constants. Quelle est sa vitesse relative sphérique ?

30. Un point se déplace radialement avec $\dot r=2$ dans un repère sphérique où $\dot\varphi=3$ et $\theta=\frac{\pi}{6}$ , tandis que $\dot\theta=0$ . Quelle est son accélération de Coriolis ?