Fiche de révision : Circuits linéaires du second ordre

📋 Plan du Cours

1. Régimes et dipôles réactifs
2. Condensateur et continuité de tension
3. Bobine et continuité du courant
4. Charge du circuit RC série
5. Réponse libre du circuit RC
6. Établissement du courant dans RL
7. Réponse libre du circuit RL
8. Méthode des circuits du premier ordre

📖 1. Régimes et dipôles réactifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Régime transitoire : Intervalle situé entre un premier régime permanent et un second régime permanent lors de l’évolution temporelle d’un circuit.
• Dipôle réactif : Dipôle capable de stocker de l’énergie puis de la restituer, et qui peut être considéré comme passif ou actif selon ses conditions d’utilisation.

📝 Points essentiels

• Un signal électrique peut passer d’un premier régime permanent, par exemple lors de la mise en route d’un GBF, à un second régime permanent continu, périodique ou sinusoïdal.

💡 Astuce mémo

RP1 → RT → RP2

📖 2. Condensateur et continuité de tension

🔑 Notions clés & Définitions

• Condensateur : Dipôle constitué de deux conducteurs métalliques séparés par un isolant.

📝 Points essentiels

📐 Formule — En convention récepteur, la charge et le courant d’un condensateur vérifient $q(t)=C u(t)$ et $i(t)=C\frac{du}{dt}$, où C est la capacité exprimée en farads.

📌 La tension aux bornes d’un condensateur est continue : $u(t^+)=u(t^-)$ à tout instant.

📌 En régime continu, un condensateur vérifie $u(t)=U$ constante et $i(t)=0$ ; il se comporte donc comme un interrupteur ouvert.

📐 Formule — L’énergie stockée dans un condensateur est $E_C(t)=\frac{1}{2}C u^2(t)$.

💡 Astuce mémo

Condensateur : tension continue, courant discontinu

📖 3. Bobine et continuité du courant

🔑 Notions clés & Définitions

• Bobine : Dipôle constitué d’un enroulement de spires de fil conducteur.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour une bobine idéale en convention récepteur, la tension vérifie $u(t)=L\frac{di}{dt}$, où L est l’inductance exprimée en henrys.

📌 Le courant traversant une bobine est continu : $i(t^+)=i(t^-)$ à tout instant.

📌 En régime continu, une bobine vérifie $i(t)=I$ constante et $u(t)=0$ ; elle se comporte comme un fil ou un interrupteur fermé.

📐 Formule — L’énergie stockée dans une bobine idéale est $E_L(t)=\frac{1}{2}L i^2(t)$.

💡 Astuce mémo

Bobine : courant continu, tension discontinue

📖 4. Charge du circuit RC série

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour un circuit RC série soumis à un échelon de tension E, l’équation différentielle est $\frac{du_C}{dt}+\frac{u_C}{\tau}=\frac{E}{\tau}$ avec $\tau=RC$.

📐 Formule — Si le condensateur est initialement déchargé, sa tension pendant la charge est $u_C(t)=E\left(1-e^{-t/\tau}\right)$ avec $\tau=RC$.

📐 Formule — Le courant de charge du circuit RC série est $i(t)=\frac{E}{R}e^{-t/\tau}$.

📐 Formule — L’énergie emmagasinée dans le condensateur pendant sa charge est $E_C(t)=\frac{1}{2}CE^2\left(1-e^{-t/\tau}\right)^2$ et vaut, pour $t\geq5\tau$, $E_C(\infty)=\frac{1}{2}CE^2$.

💡 Astuce mémo

Fermeture du circuit → charge exponentielle du condensateur

📖 5. Réponse libre du circuit RC

★ À maîtriser

• 🔄 La réponse libre du circuit RC suit cette évolution:
  1. Le condensateur est initialement chargé
  2. Le générateur est supprimé
  3. Le condensateur se décharge dans la résistance

📐 Formule — Lors de la décharge libre d’un circuit RC série, l’équation différentielle est $\frac{du_C}{dt}+\frac{u_C}{\tau}=0$ avec $\tau=RC$.

📐 Formule — Si le condensateur est initialement chargé à E, sa tension de décharge est $u_C(t)=E e^{-t/\tau}$ et tend vers zéro quand t tend vers l’infini.

Compléments

📐 Formule — Le courant de décharge du circuit RC est $i(t)=-\frac{E}{R}e^{-t/\tau}$.

💡 Astuce mémo

Suppression du générateur → décharge exponentielle

📖 6. Établissement du courant dans RL

📝 Points essentiels

📐 Formule — Si la bobine est initialement sans énergie, le courant d’établissement est $i(t)=\frac{E}{R}\left(1-e^{-t/\tau}\right)$ avec $\tau=L/R$.

📐 Formule — La tension aux bornes de la bobine pendant l’établissement du courant est $u_L(t)=E e^{-t/\tau}$.

📐 Formule — L’énergie emmagasinée dans la bobine pendant l’établissement du courant est $E_L(t)=\frac{1}{2}L\left(\frac{E}{R}\right)^2\left(1-e^{-t/\tau}\right)^2$ et vaut, après quelques constantes de temps, $E_L(\infty)=\frac{1}{2}L\left(\frac{E}{R}\right)^2$.

💡 Astuce mémo

Fermeture du circuit → retard d’établissement du courant

📖 7. Réponse libre du circuit RL

★ À maîtriser

📐 Formule — La réponse libre d’un circuit RL série vérifie $\frac{di}{dt}+\frac{i}{\tau}=0$ avec $\tau=L/R$.

📐 Formule — Si le courant initial de la bobine vaut I0, le courant de réponse libre est $i(t)=I_0e^{-t/\tau}$ et tend vers zéro quand t tend vers l’infini.

Compléments

📐 Formule — La tension aux bornes de la bobine en réponse libre est $u_L(t)=-RI_0e^{-t/\tau}$.

• La réponse libre RL peut être interprétée comme la réponse à un échelon de courant descendant de I0 à zéro.

💡 Astuce mémo

Suppression du générateur → restitution décroissante de l’énergie

📖 8. Méthode des circuits du premier ordre

★ À maîtriser

• Pour résoudre un circuit linéaire du premier ordre, on établit l’équation différentielle avec les lois de Kirchhoff et les relations constitutives, on la met sous forme canonique, puis on détermine les constantes avec les conditions initiales.

📌 Pour un condensateur, la condition initiale s’obtient par la continuité de la tension, tandis que pour une bobine elle s’obtient par la continuité du courant.

Compléments

• Après environ 5 à 6 constantes de temps, la réponse exponentielle d’un circuit RC ou RL est pratiquement en régime permanent.

📌 Dans un circuit RC, la solution particulière correspond au régime permanent de tension, tandis que la solution homogène décrit le régime transitoire exponentiel.

💡 Astuce mémo

Équation différentielle → conditions initiales → solution

📊 Tableaux de synthèse

Correspondance RC et RL