Fiche de révision : Fonctions usuelles

📋 Plan du Cours

1. Logarithme népérien
2. Fonction exponentielle
3. Bases quelconques
4. Fonctions puissances
5. Croissances comparées
6. Cercle trigonométrique
7. Formules trigonométriques
8. Fonctions circulaires réciproques

📖 1. Logarithme népérien

🔑 Notions clés & Définitions

• Logarithme népérien : L’unique primitive sur R*+ de la fonction x ↦ 1/x qui s’annule en 1, et $\ln(x)=\int_1^x\frac{du}{u}$ pour tout x>0.

★ À maîtriser

📌 Pour tous x,y>0, $\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y)$, d’où $\ln(x^{-1})=-\ln(x)$ et $\ln(x^n)=n\ln(x)$ pour tout entier n.

• La fonction ln est une bijection strictement croissante de R*+ sur R, avec $\lim_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty$ et $\lim_{x\to0^+}\ln(x)=-\infty$.

Compléments

📐 Formule — La limite fondamentale du logarithme est $\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1$.

💡 Astuce mémo

Dérivée positive → logarithme strictement croissant

📖 2. Fonction exponentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction exponentielle : La fonction réciproque du logarithme népérien.

📝 Points essentiels

• La fonction exp est une bijection strictement croissante de R sur R*+, vérifie exp(0)=1, et satisfait $\lim_{x\to-\infty}\exp(x)=0$ et $\lim_{x\to+\infty}\exp(x)=+\infty$.

📌 La fonction exponentielle est dérivable sur R et vérifie $\exp'(x)=\exp(x)$.

📌 Pour tous réels x,y et tout entier n, $\exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)$, $\exp(x-y)=\frac{\exp(x)}{\exp(y)}$ et $\exp(nx)=(\exp(x))^n$.

💡 Astuce mémo

ln : R*+ → R ; exp : R → R*+

📖 3. Bases quelconques

🔑 Notions clés & Définitions

• Logarithme de base a : Pour a>0 et a≠1, la fonction définie sur R*+ par $\log_a(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(a)}$.
• Exponentielle de base a : Pour a>0 et a≠1, la fonction réciproque du logarithme de base a.

★ À maîtriser

📌 La fonction log_a vérifie log_a(1)=0 et log_a(a)=1 ; elle est strictement croissante si a>1 et strictement décroissante si 0<a<1.

Compléments

• Pour a=10, on obtient le logarithme décimal noté log, utilisé en physique et en chimie, tandis que pour a=2, on obtient le logarithme binaire utilisé en informatique.

📐 Formule — Pour tout réel x, $\exp_a(x)=\exp(x\ln(a))$.

📖 4. Fonctions puissances

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction puissance : Pour tout réel a, la fonction définie sur R*+ par $\varphi_a(x)=\exp(a\ln(x))$.

★ À maîtriser

📌 Pour x,y>0 et a,b réels, $x^ay^a=(xy)^a$, $x^ax^b=x^{a+b}$, $(x^a)^b=x^{ab}$, $1^a=1$, $x^0=1$ et $\ln(x^a)=a\ln(x)$.

📐 Formule — La fonction φ_a est dérivable sur R*+ et vérifie $\varphi_a'(x)=ax^{a-1}$.

Compléments

• La fonction φ_0 est constante égale à 1 et la fonction φ_1 est l’identité de R*+.

📖 5. Croissances comparées

★ À maîtriser

📐 Formule — Les limites fondamentales sont $\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}{x}=0$ et $\lim_{x\to0^+}x\ln(x)=0$.

Compléments

📐 Formule — Pour a,b>0, $\lim_{x\to+\infty}\frac{(\ln x)^b}{x^a}=0$ et $\lim_{x\to0^+}x^a(\ln x)^b=0$.

💡 Astuce mémo

L’exponentielle domine la puissance, la puissance domine le logarithme

📖 6. Cercle trigonométrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Congruence modulo α : Deux réels θ_1 et θ_2 sont congrus modulo α s’il existe k∈Z tel que $\theta_1-\theta_2=k\alpha$.
• Cercle trigonométrique : Le cercle de centre O et de rayon 1 dans un repère orthonormé direct.

📝 Points essentiels

📌 Le paramétrage du cercle trigonométrique associe à tout réel θ le point $U_\theta=(\cos\theta,\sin\theta)$, et tout point du cercle est obtenu ainsi.

📌 Deux angles θ_1 et θ_2 ont les mêmes cosinus et sinus si et seulement s’il existe k∈Z tel que $\theta_1=\theta_2+2k\pi$.

💡 Astuce mémo

Un point du cercle unité repéré par l’angle θ

📖 7. Formules trigonométriques

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour tout réel θ, $\cos^2(\theta)+\sin^2(\theta)=1$.

📐 Formule — Pour tous réels a,b, $\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)$ et $\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\cos(a)\sin(b)$.

• La fonction sinus est 2π-périodique et impaire, tandis que la fonction cosinus est 2π-périodique et paire.

📐 Formule — Les dérivées sont $\sin'(x)=\cos(x)$ et $\cos'(x)=-\sin(x)$.

📖 8. Fonctions circulaires réciproques

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction tangente : Définie sur R{π/2+kπ\mid k∈Z} par $\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$.
• Arcsin : La réciproque du sinus restreint à ]−π/2,π/2[, donc une bijection strictement croissante et continue de [-1,1] sur ]−π/2,π/2[.
• Arccos : La réciproque du cosinus restreint à [0,π], donc une bijection strictement décroissante et continue de [-1,1] sur [0,π].
• Arctan : La réciproque de la tangente restreinte à ]−π/2,π/2[, donc une bijection strictement croissante et continue de R sur ]−π/2,π/2[.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Sur son domaine, $\tan'(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}=1+\tan^2(x)$.

• La tangente est π-périodique, strictement croissante sur ]−π/2,π/2[ et réalise une bijection de cet intervalle sur R.

📌 Les équations trigonométriques vérifient $\sin(\theta)=\sin(\alpha)\iff\theta=\alpha+2k\pi\ \text{ou}\ \theta=\pi-\alpha+2k\pi$, $\cos(\theta)=\cos(\alpha)\iff\theta=\pm\alpha+2k\pi$ et $\tan(\theta)=\tan(\alpha)\iff\theta=\alpha+k\pi$, avec k∈Z et les domaines respectés.

📐 Formule — Sur ]−1,1[, $\operatorname{Arcsin}'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ et $\operatorname{Arccos}'(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.

📐 Formule — Pour tout réel x, $\operatorname{Arctan}'(x)=\frac{1}{1+x^2}$.

💡 Astuce mémo

Arcsin, Arccos et Arctan imposent chacune un intervalle principal