Fiche de révision : Condensateurs, bobines et régimes électriques

📋 Plan du Cours

1. Lois fondamentales des circuits
2. Résistances et ponts diviseurs
3. Dipôles actifs linéaires
4. Méthodes de résolution des réseaux
5. Condensateur idéal
6. Condensateur idéal et énergie
7. Associations et condensateur réel
8. Bobine et induction magnétique
9. Régimes transitoires et continuité
10. Décharges RC, RL et RLC
11. Signaux sinusoïdaux et impédances
12. Impédance et association des dipôles
13. Puissance en régime sinusoïdal
14. Fonction de transfert et filtres
15. Passe-bande et stabilité
16. Conditions de stabilité des filtres
17. Exemple du filtre RLC
18. Références physiques et mathématiques

📖 1. Lois fondamentales des circuits

🔑 Notions clés & Définitions

• Régime continu : Situation où les tensions et les intensités électriques ne varient pas dans le temps.
• Approximation des régimes quasi-stationnaires : Consiste à négliger la durée de propagation devant le temps caractéristique des fluctuations, ce qui permet de conserver les lois des régimes permanents en régime variable.

📝 Points essentiels

📌 En convention récepteur, si le courant est orienté de A vers B, la tension vaut $u=V_A-V_B$, tandis qu’en convention générateur elle vaut $u=V_B-V_A$.

📐 Formule — La loi des nœuds s’écrit $\sum_{k=1}^{n}\epsilon_k i_k=0$, avec $\epsilon_k=+1$ pour un courant entrant et $\epsilon_k=-1$ pour un courant sortant.

📐 Formule — La loi des mailles s’écrit $\sum_{k=1}^{n}\epsilon_k u_k=0$, où le signe est positif lorsque la tension est orientée dans le sens de parcours et négatif dans le sens opposé.

📐 Formule — En convention récepteur, la puissance électrique reçue par un dipôle vaut $\mathcal{P}(t)=u(t)i(t)$.

💡 Astuce mémo

Nœud = courants ; maille = tensions

📖 2. Résistances et ponts diviseurs

★ À maîtriser

📐 Formule — La loi d’Ohm d’un conducteur ohmique en convention récepteur est $u(t)=Ri(t)$, où R est la résistance exprimée en ohms. — ROUSSEL (2016), Conducteurs électriques

📐 Formule — La puissance reçue par un conducteur ohmique vaut $\mathcal{P}=Ri^2>0$ et l’énergie électrique y est essentiellement convertie en chaleur par effet Joule.

📐 Formule — Pour N résistances en série, la résistance équivalente vaut $R_{eq}=\sum_{k=1}^{N}R_k$.

📐 Formule — Pour N résistances en parallèle, la résistance équivalente vérifie $\frac{1}{R_{eq}}=\sum_{k=1}^{N}\frac{1}{R_k}$.

📐 Formule — Dans un diviseur de tension formé de deux résistances en série, la tension aux bornes de R_k vaut $u_k=\frac{R_k}{R_1+R_2}u$.

Compléments

📐 Formule — Dans un diviseur de courant formé de deux résistances en parallèle, le courant de la branche k vaut $i_k=\frac{G_k}{G_1+G_2}i$, avec $G_k=1/R_k$.

💡 Astuce mémo

Série : même courant ; parallèle : même tension

📖 3. Dipôles actifs linéaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Source de tension idéale : Impose une tension constante $u=e$ quelle que soit l’intensité du courant.

★ À maîtriser

📐 Formule — Une source de tension réelle est modélisée par une force électromotrice e en série avec une résistance interne r et vérifie $u=e-ri$.

📐 Formule — La puissance délivrée par une source réelle de tension vaut $\mathcal{P}=ei-ri^2$ et atteint son maximum pour $i=e/(2r)$, avec $\mathcal{P}_{max}=e^2/(4r)$.

📐 Formule — Une source de courant réelle vérifie $i=i_0-gu$, où g=1/r est sa conductance interne, et devient idéale lorsque $g\to0$.

📌 La représentation de Thévenin associe une source de tension idéale en série avec une résistance, tandis que la représentation de Norton associe une source de courant idéale en parallèle avec une conductance.

📐 Formule — La loi de Pouillet donne, pour une maille, $i=\frac{\sum_k e_k-\sum_k e'_k}{R}$, où les e_k sont les forces électromotrices et les e'_k les forces contre-électromotrices.

Compléments

📐 Formule — Le courant de court-circuit d’une source réelle de tension vaut $i_{cc}=e/r$.

📐 Formule — L’équivalence Thévenin-Norton est donnée par $g=1/r$ et $i_0=e/r$.

💡 Astuce mémo

Thévenin impose une tension ; Norton impose un courant

📖 4. Méthodes de résolution des réseaux

★ À maîtriser

• 🔄 La résolution par les lois de Kirchhoff suit ces étapes:

  1. Définir les courants algébriques
  2. Compter les courants inconnus
  3. Choisir autant de mailles indépendantes
  4. Écrire les lois des mailles avec les caractéristiques des dipôles
  5. Résoudre le système obtenu

• Le théorème de superposition détermine la réponse d’un circuit linéaire en activant une seule source à la fois, en additionnant les réponses obtenues, en remplaçant une source de tension éteinte par un fil et une source de courant éteinte par un interrupteur ouvert.

📐 Formule — Le théorème de Millman donne le potentiel d’un nœud relié à des conductances G_k et à des potentiels V_k par $V_N=\frac{\sum_{k=1}^{n}G_kV_k}{\sum_{k=1}^{n}G_k}$.

Compléments

📐 Formule — Dans un réseau comportant b branches et n nœuds, le nombre de courants indépendants est $N=b-n+1$.

• Le théorème de Millman est dû à Jacob Millman et constitue une réécriture de la loi des nœuds en termes de potentiels.

💡 Astuce mémo

Kirchhoff → Thévenin-Norton → superposition → Millman

📖 5. Condensateur idéal

🔑 Notions clés & Définitions

• Condensateur idéal : Association de deux conducteurs en influence totale, appelés armatures, qui accumulent des charges opposées Q et −Q lorsqu’ils sont soumis à une tension.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La caractéristique d’un condensateur idéal est $q(t)=Cu(t)$, où C est la capacité exprimée en farads.

📐 Formule — En convention récepteur, le courant d’un condensateur idéal vaut $i(t)=C\frac{du(t)}{dt}$.

📌 En régime continu, un condensateur idéal se comporte comme un interrupteur ouvert parce que son courant est nul.

📐 Formule — L’énergie électrique emmagasinée dans un condensateur idéal vaut $W_E=\frac{1}{2}Cu^2=\frac{q^2}{2C}$.

💡 Astuce mémo

Variation de tension → courant capacitif

📖 6. Condensateur idéal et énergie

🔑 Notions clés & Définitions

• Condensateur idéal : ROUSSEL, Conducteurs électriques, 2016 — Association de deux conducteurs en influence totale, appelés armatures, qui accumulent des charges opposées lorsque leurs bornes sont soumises à une tension.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La charge d’un condensateur idéal vérifie $q(t)=Cu(t)$ et, en convention récepteur, le courant vérifie $i(t)=C\frac{du(t)}{dt}$.

📌 En régime continu, le courant d’un condensateur idéal est nul, si bien que le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert.

📐 Formule — L’énergie électrique stockée dans un condensateur vaut $W_E=\frac{1}{2}Cu^2=\frac{q^2}{2C}$.

📌 La charge et la tension aux bornes d’un condensateur évoluent continûment au cours du temps.

💡 Astuce mémo

Variation de tension → courant capacitif ; tension constante → courant nul

📖 7. Associations et condensateur réel

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour des condensateurs montés en parallèle sans influence mutuelle, la capacité équivalente vérifie $C_{eq}=\sum_{i=1}^{N}C_i$.

📐 Formule — Pour des condensateurs montés en série avec des liaisons inter-armatures neutres, la capacité équivalente vérifie $\frac{1}{C_{eq}}=\sum_{i=1}^{N}\frac{1}{C_i}$.

• Un condensateur réel est modélisé par un condensateur parfait de capacité C monté en parallèle avec une résistance de fuite R_f.

Compléments

• Le diélectrique augmente la capacité du condensateur par polarisation électrique, mais sa conductivité finie provoque un courant de fuite.

📌 La tension d’un condensateur réel est limitée par le champ disruptif au-delà duquel le diélectrique peut être détruit.

💡 Astuce mémo

Parallèle : capacités s’additionnent ; série : inverses s’additionnent

📖 8. Bobine et induction magnétique

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi de Lenz : Dans un circuit fermé, la variation du flux magnétique produit un courant induit dont les effets s’opposent aux causes qui lui ont donné naissance.
• Auto-induction : Phénomène dans lequel la source du champ magnétique responsable de l’induction est produite par le circuit lui-même.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La force électromotrice induite vérifie la loi de Faraday $e=-\frac{d\Phi_B}{dt}$.

📐 Formule — Pour une bobine, le flux propre vérifie $\Phi_B=Li$ et la tension en convention récepteur vérifie $u_L=L\frac{di}{dt}$.

📌 En régime continu, une bobine idéale se comporte comme un fil conducteur parfait, car sa tension est nulle.

📐 Formule — L’énergie magnétique stockée dans une bobine idéale vaut $W_B=\frac{1}{2}Li^2$.

💡 Astuce mémo

Variation du flux → f.é.m. induite qui s’oppose à la variation

📖 9. Régimes transitoires et continuité

🔑 Notions clés & Définitions

• Régime transitoire : Régime d’évolution d’un système qui n’a pas encore atteint son régime permanent et qui possède une durée caractéristique appelée temps de relaxation.
• Temps de réponse : Le temps de réponse T_r est le temps à partir duquel le régime libre devient négligeable devant le régime forcé, selon le critère $|y_0(t)|\ll|y_p(t)|$.

📝 Points essentiels

📌 La solution d’une équation différentielle de circuit est la somme d’un régime libre, solution de l’équation homogène, et d’un régime forcé, solution particulière liée au générateur.

📌 Dans une branche contenant un condensateur, la tension capacitive est continue, tandis que dans une branche contenant une bobine, l’intensité est continue.

💡 Astuce mémo

Condensateur : tension continue ; bobine : courant continu

📖 10. Décharges RC, RL et RLC

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une décharge RC, la tension capacitive et le courant décroissent exponentiellement avec la constante de temps $\tau=RC$.

📐 Formule — Lors de la décharge d’un condensateur initialement chargé à e_0, on a $u_C(t)=e_0e^{-t/\tau}$ et $i(t)=\frac{e_0}{R}e^{-t/\tau}$.

📐 Formule — Pour une décharge RL, le courant et la tension décroissent exponentiellement avec la constante de temps $\tau=\frac{L}{R}$.

📌 Un oscillateur RLC série est pseudo-périodique si R<R_c, critique si R=R_c et apériodique si R>R_c, avec $R_c=2\sqrt{\frac{L}{C}}$.

📐 Formule — En régime critique, le temps de relaxation minimal du circuit RLC vaut $\tau_{min}=\frac{1}{\omega_0}=\sqrt{LC}$.

Compléments

• La charge ou la décharge d’un dipôle RC peut être considérée comme terminée après une durée d’environ $T_r=5\tau$.

📐 Formule — Dans un circuit RL, le courant de décharge vérifie $i(t)=\frac{e_0}{r_0}e^{-t/\tau}$ et la tension inductive vérifie $u_L(t)=-\frac{Re_0}{r_0}e^{-t/\tau}$.

• Dans le circuit RLC étudié, 50 % de l’énergie fournie par la source est dissipée par effet Joule, quelle que soit la durée du régime transitoire.

💡 Astuce mémo

RC : décroissance ; RL : décroissance ; RLC : pseudo-périodique, critique ou apériodique

📖 11. Signaux sinusoïdaux et impédances

🔑 Notions clés & Définitions

• Signal périodique : Signal temporel constitué d’un motif de durée T qui se répète à l’identique, vérifiant $y(t+T)=y(t)$ pour tout t.
• Impédance : En régime sinusoïdal forcé, l’impédance complexe d’un dipôle passif linéaire est $Z=\frac{\underline U}{\underline I}=R+jX$ et se mesure en ohms.

★ À maîtriser

📐 Formule — La fréquence d’un signal périodique est l’inverse de sa période : $\nu=\frac{1}{T}$.

📐 Formule — Un signal sinusoïdal s’écrit $y(t)=A\cos(\omega t+\phi)$, avec une fréquence $\nu=\frac{\omega}{2\pi}$ et une période $T=\frac{2\pi}{\omega}$.

📐 Formule — Pour un signal sinusoïdal, la valeur crête-à-crête vaut $y_{pp}=2A$ et la valeur efficace vaut $y_{rms}=\frac{A}{\sqrt{2}}$.

📐 Formule — Les impédances idéales de la résistance, de la bobine et du condensateur sont respectivement $Z_R=R$, $Z_L=jL\omega$ et $Z_C=\frac{1}{jC\omega}$.

📌 En régime sinusoïdal forcé, les impédances s’additionnent en série selon $Z_{eq}=\sum_i Z_i$ et les admittances s’additionnent en parallèle selon $Y_{eq}=\sum_iY_i$.

Compléments

📌 Le déphasage entre deux signaux sinusoïdaux est indépendant de l’origine des temps et vérifie $\phi=\frac{2\pi}{T}\Delta t$.

📐 Formule — L’admittance d’un dipôle est l’inverse de son impédance : $Y=\frac{1}{Z}=G+jS$, et elle se mesure en siemens.

💡 Astuce mémo

Résistance : en phase ; bobine : tension en avance ; condensateur : tension en retard

📖 12. Impédance et association des dipôles

🔑 Notions clés & Définitions

• Impédance : définie par $Z=\frac{\underline{U}}{\underline{I}}=R+jX$, où R est la résistance et X la réactance, et elle se mesure en ohms (Ω).
• Admittance : définie par $Y=\frac{1}{Z}=G+jS$, où G est la conductance et S la susceptance, et elle se mesure en siemens (S ou Ω^{-1}).

📝 Points essentiels

📐 Formule — Le module et l’argument de l’impédance vérifient $|Z|=\frac{U_{\mathrm{rms}}}{I_{\mathrm{rms}}}$ et $\arg(Z)=\phi_u-\phi_i$.

• Les impédances d’un conducteur ohmique, d’une bobine idéale et d’un condensateur idéal sont respectivement $Z_R=R$, $Z_L=jL\omega$ et $Z_C=\frac{1}{jC\omega}$.

📌 Pour des dipôles associés en série, l’impédance équivalente est $Z_{\mathrm{eq}}=\sum_i Z_i$, tandis qu’en parallèle l’admittance équivalente est $Y_{\mathrm{eq}}=\sum_i Y_i$.

💡 Astuce mémo

Résistance : pas de déphasage ; bobine et condensateur : quadrature de phase.

📖 13. Puissance en régime sinusoïdal

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance active : la puissance électrique moyenne reçue par un dipôle et vaut $\mathcal{P}=U_{\mathrm{rms}}I_{\mathrm{rms}}\cos\phi$.
• Facteur de puissance : le rapport de la puissance active à la puissance apparente et vaut $\cos\phi=\frac{\mathcal{P}}{U_{\mathrm{rms}}I_{\mathrm{rms}}}$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour un dipôle passif linéaire, la puissance active moyenne vérifie $\mathcal{P}=RI_{\mathrm{rms}}^2$, où $R=\operatorname{Re}(Z)$.

Compléments

📐 Formule — À puissance active et tension efficaces fixées, le courant d’alimentation vaut $I_{\mathrm{rms}}=\frac{\mathcal{P}}{U_{\mathrm{rms}}\cos\phi}$ et les pertes Joule dans une ligne de résistance R valent $P_{\mathrm{ligne}}=\frac{R\mathcal{P}^2}{U_{\mathrm{rms}}^2\cos^2\phi}$.

📌 Un condensateur placé en parallèle d’une installation permet généralement de relever son facteur de puissance.

💡 Astuce mémo

Facteur de puissance faible → courant plus grand → pertes Joule accrues.

📖 14. Fonction de transfert et filtres

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction de transfert : la grandeur complexe $H(j\omega)=\frac{\underline{s}(t)}{\underline{e}(t)}=\frac{\underline{S}}{\underline{E}}$, qui dépend de la pulsation et des caractéristiques du filtre.
• Bande passante : l’intervalle de fréquences pour lequel le gain est compris entre le gain maximal Gmax et $G_{\max}/\sqrt{2}$, les limites étant les fréquences de coupure.

★ À maîtriser

📌 Un filtre passe-bas transmet les basses fréquences et coupe les hautes fréquences, tandis qu’un filtre passe-haut transmet les hautes fréquences et coupe les basses fréquences.

📐 Formule — Pour un filtre RC passe-bas du premier ordre, $H=\frac{1}{1+jRC\omega}$ et la pulsation de coupure vaut $\omega_c=\frac{1}{RC}$.

• Pour un signal périodique décomposé en série de Fourier, le filtre modifie chaque harmonique selon son gain et son déphasage à la fréquence de cette harmonique, puis la sortie est reconstruite par superposition.

Compléments

• Dans un diagramme de Bode, une fréquence de coupure correspond à une diminution de 3 dB du gain par rapport à son maximum.

📌 Un filtre passe-haut du premier ordre élimine la composante continue car son gain est nul à $\omega=0$ et tend vers $|G_0|$ lorsque $\omega\to\infty$.

📌 Un filtre passe-bas du premier ordre se comporte comme un intégrateur lorsque les harmoniques du signal sont suffisamment éloignées au-dessus de sa bande passante, avec $s(t)\simeq 2\pi\nu_c\int e(t)\,dt$.

💡 Astuce mémo

Passe-bas : basses fréquences transmises ; passe-haut : hautes fréquences transmises.

📖 15. Passe-bande et stabilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Filtre passe-bande : transmet une bande limitée de fréquences autour d’une pulsation de résonance $\omega_0$ et atténue les fréquences situées en dessous et au-dessus de cette bande.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour un filtre passe-bande du second ordre, la bande passante vaut $\Delta\omega=\frac{\omega_0}{Q}$, où Q est le facteur de qualité.

📐 Formule — Pour un circuit RLC série avec sortie aux bornes de la résistance, la pulsation de résonance et le facteur de qualité sont $\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$ et $Q=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}$.

📌 Un filtre est stable si toute entrée bornée produit une sortie bornée ; pour les filtres d’ordre 1 ou 2, le degré du dénominateur doit être supérieur ou égal à celui du numérateur et les coefficients du dénominateur doivent être non nuls et de même signe.

Compléments

• Pour un filtre RLC dont la sortie est prélevée aux bornes du condensateur, une résonance n’apparaît que si $Q>\sqrt{2}/2$.

💡 Astuce mémo

Facteur de qualité élevé → bande passante étroite → meilleure sélectivité.

📖 16. Conditions de stabilité des filtres

★ À maîtriser

📌 Lorsque le discriminant d’un filtre d’ordre 2 est positif, les racines sont réelles et la stabilité impose qu’elles soient toutes deux négatives.

• Lorsque le discriminant est négatif, les racines s’écrivent $r_{1{,}2}=-\frac{\beta_1}{2\beta_2}\pm j\Omega$ et la solution s’écrit $s(t)=C_1e^{-\beta_1t/(2\beta_2)}\cos(\Omega t+\varphi)$.

📌 Un filtre d’ordre 1 ou 2 est stable si le degré du dénominateur est supérieur ou égal à celui du numérateur et si les coefficients du dénominateur sont tous non nuls et de même signe.

Compléments

📐 Formule — Pour des racines réelles, leur somme vaut $S=-\frac{\beta_1}{\beta_2}$ et la stabilité impose notamment $\beta_1>0$.

💡 Astuce mémo

Coefficients de même signe → racines dans la partie stable

📖 17. Exemple du filtre RLC

🔑 Notions clés & Définitions

• Filtre coupe-bande : Le filtre RLC étudié est un filtre coupe-bande centré sur la pulsation $\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour le circuit RLC série dont la sortie est recueillie aux bornes de l’ensemble LC, la fonction de transfert est $H=\frac{Z_L+Z_C}{Z_R+Z_L+Z_C}=\frac{1+LC(j\omega)^2}{1+RCj\omega+LC(j\omega)^2}$.

📌 Le filtre RLC est stable parce que le degré du numérateur est égal à celui du dénominateur et que tous les coefficients du dénominateur sont positifs.

💡 Astuce mémo

Un circuit RLC série laissant passer les fréquences sauf autour de ω₀

📖 18. Références physiques et mathématiques

📝 Points essentiels

• Les constantes définies par le SI comprennent la constante de Planck $h=6{,}626\ 070\ 15\times10^{-34}\ \mathrm{J\,Hz^{-1}}$, la vitesse de la lumière dans le vide $c=299\ 792\ 458\ \mathrm{m\,s^{-1}}$, la charge élémentaire $e=1{,}602\ 176\ 634\times10^{-19}\ \mathrm{C}$, la constante de Boltzmann $k_B=1{,}380\ 649\times10^{-23}\ \mathrm{J\,K^{-1}}$ et le nombre d’Avogadro $N_A=6{,}022\ 140\ 76\times10^{23}\ \mathrm{mol^{-1}}$.

• La constante des gaz parfaits vérifie $R=k_BN_A=8{,}314\ 462\ 618\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}$ et l’efficacité lumineuse vaut $K_{cd}=683\ \mathrm{lm\,W^{-1}}$.

• Parmi les autres constantes physiques figurent la constante gravitationnelle $G=6{,}67430\times10^{-11}\ \mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}}$, la permittivité du vide $\epsilon_0=8{,}85418781\times10^{-12}\ \mathrm{F\,m^{-1}}$ et la perméabilité du vide $\mu_0=1{,}256637062\times10^{-6}\ \mathrm{H\,m^{-1}}$.

• Les grandeurs physiques répertoriées comprennent notamment la conductivité électrique γ en S·m⁻¹, l’énergie ℰ en J, la puissance 𝒫 en W, la fréquence ν en Hz, la pulsation ω en rad·s⁻¹, le champ magnétique B en T, le champ électrique E en V·m⁻¹, la capacité C en F, la résistance R en Ω, l’intensité I en A, l’auto-inductance L en H et l’impédance Z en Ω.

• Les symboles mathématiques comprennent la dérivée première $\frac{df}{dt}$, la dérivée n-ième $\frac{d^nf}{dt^n}$, le complexe conjugué z⋆, la partie réelle Re(z), la partie imaginaire Im(z), l’argument arg(z), la moyenne temporelle de f(t), son amplitude crête-à-crête fpp et sa valeur efficace frms.

📊 Tableaux de synthèse

Modèles des sources linéaires

Comportement des dipôles idéaux