Fiche de révision : Conditionnement et indépendance

📋 Plan du Cours

1. Probabilités conditionnelles
2. Arbre des lancers francs
3. Partition et probabilités totales
4. Formule de Bayes
5. Indépendance des événements

📖 1. Probabilités conditionnelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité conditionnelle : Si P(B) > 0, la probabilité conditionnelle de A sachant B est $P(A\cap B)/P(B)$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour deux événements A et B de probabilités non nulles, $P(A\cap B)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)$.

Compléments

• Pour tout événement C de probabilité non nulle, l’application A ↦ P(A|C) définit une probabilité, notamment P(Ω|C)=1 et, pour des événements incompatibles A et B, P(A∪B|C)=P(A|C)+P(B|C).

📖 2. Arbre des lancers francs

★ À maîtriser

• Dans l’exemple des lancers francs, le joueur réussit le premier lancer avec une probabilité de 70 %.

• Dans l’exemple des lancers francs, la probabilité de réussir le second lancer sachant que le premier est réussi est de 70 %.

• Dans l’exemple des lancers francs, la probabilité de réussir le second lancer après un échec au premier est de 30 %.

Compléments

📐 Formule - La probabilité de réussir le second lancer est $P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|A^c)P(A^c)$, où A désigne la réussite du premier lancer et B celle du second.

📖 3. Partition et probabilités totales

🔑 Notions clés & Définitions

• Partition : Famille finie d’événements dont l’union est Ω et dont deux événements distincts sont disjoints ; ces événements constituent un système complet d’événements.

★ À maîtriser

📐 Formule - Si (B_i) forme une partition de Ω et si P(B_i)>0 pour tout i, alors, pour tout événement A, $P(A)=\sum_i P(A|B_i)P(B_i)$.

Compléments

📐 Formule - Pour deux événements B et B^c, la formule des probabilités totales s’écrit $P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|B^c)P(B^c)$.

📖 4. Formule de Bayes

📝 Points essentiels

📐 Formule - Si (B_i) forme une partition de Ω, si P(B_i)>0 pour tout i et si P(A)>0, alors $P(B_i|A)=\frac{P(A|B_i)P(B_i)}{P(A)}$.

📖 5. Indépendance des événements

🔑 Notions clés & Définitions

• Indépendance de deux événements : Deux événements A et B sont indépendants si $P(A\cap B)=P(A)P(B)$.
• Indépendance mutuelle : Une famille (A_i) vérifie, pour tout sous-ensemble J d’indices, $P\left(\bigcap_{j\in J}A_j\right)=\prod_{j\in J}P(A_j)$.

★ À maîtriser

📌 L’indépendance de A et B signifie que leur intersection a pour probabilité le produit de leurs probabilités, tandis que leur incompatibilité signifie qu’ils ne peuvent pas se réaliser simultanément ; ces notions ne sont pas équivalentes.

📌 Pour trois événements, l’indépendance mutuelle exige l’indépendance de chaque paire et l’égalité P(A∩B∩C)=P(A)P(B)P(C) ; l’indépendance deux à deux seule ne suffit pas à garantir l’indépendance mutuelle.

Compléments

• Si A et B sont indépendants, alors A^c et B^c le sont également.

• Si P(A)=0 ou P(A)=1, alors A et tout événement B sont indépendants.

💡 Astuce mémo

L’indépendance signifie absence d’information nouvelle ; l’incompatibilité signifie impossibilité de réalisation simultanée.