QCM : Conditionnement et indépendance (9 questions)

Question 1

1. Si $P(B)>0$ , comment exprime-t-on la probabilité de $A$ sachant $B$ ?

P(A\mid B)=P(A\cap B)P(B)

P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}

P(A\mid B)=\frac{P(A\cup B)}{P(B)}

P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}

Explication

La probabilité conditionnelle rapporte la probabilité de la réalisation simultanée de $A$ et $B$ à celle de $B$ . Le quotient par $P(A)$ correspondrait à la probabilité de $B$ sachant $A$ .

Answer

$$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$$

Question 2

2. Pour deux événements $A$ et $B$ de probabilités non nulles, quelle relation permet de calculer leur probabilité d’intersection à partir de $P(A\mid B)$ ?

P(A\cap B)=\frac{P(A\mid B)}{P(B)}

P(A\cap B)=P(A)P(B\mid A)P(B)

P(A\cap B)=P(A\mid B)+P(B)

P(A\cap B)=P(A\mid B)P(B)

Explication

La probabilité de l’intersection s’obtient en multipliant la probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$ par $P(B)$ , et elle peut aussi s’écrire $P(B\mid A)P(A)$ . L’addition des probabilités ne donne pas cette intersection.

Answer

$$P(A\cap B)=P(A\mid B)P(B)$$

Question 3

3. Dans l’exemple de l’arbre des lancers francs, quelle est la probabilité que le joueur réussisse son premier lancer ?

30\%

70\%

49\%

90\%

Explication

La branche correspondant à la réussite du premier lancer porte une probabilité de $70\%$ . Le taux de $30\%$ concerne la réussite du second lancer après un échec au premier.

Answer

Une famille finie d’événements disjoints deux à deux dont l’union est l’univers.

Answer

La probabilité de l’événement $$A$$

Answer

Elle permet de vérifier que la réalisation de l’un n’apporte pas d’information sur l’autre.

Answer

En multipliant $$P(A\mid B)$$ par $$P(B)$$

Answer

Elle vaut 70 % après une réussite et 30 % après un échec au premier lancer.

Question 4

4. Dans cet arbre, quelle probabilité conditionnelle est associée à la réussite du second lancer lorsque le premier est réussi ?

70\%

100\%

49\%

30\%

Explication

Après une réussite au premier lancer, la probabilité conditionnelle de réussir le second est de $70\%$ . Le taux de $30\%$ s’applique au second lancer lorsque le premier a été manqué.

Question 5

5. Qu’est-ce qu’une partition de l’univers en probabilités ?

Une famille finie d’événements dont les probabilités ont toutes la même valeur.

Une famille finie d’événements disjoints deux à deux dont l’union est l’univers.

Une famille de deux événements complémentaires ayant chacun une probabilité positive.

Une famille d’événements dont l’union est l’univers, même s’ils peuvent se chevaucher.

Explication

Une partition est constituée d’événements disjoints deux à deux dont la réunion couvre tout l’univers. Une famille dont les événements se chevauchent peut couvrir l’univers, mais ne constitue pas une partition.

Question 6

6. Dans la formule de Bayes, quelle quantité sert de dénominateur pour calculer $P(B_i\mid A)$ ?

La probabilité de l’intersection de

A

et

B_i

La probabilité conditionnelle de

A

sachant

B_i

La probabilité de l’événement

A

La probabilité de l’événement

B_i

Explication

La formule de Bayes divise le produit $P(A\mid B_i)P(B_i)$ par $P(A)$ , qui doit être non nulle. La probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B_i$ apparaît au numérateur, et non au dénominateur.

Question 7

7. Quel rôle joue la condition $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ dans la définition de l’indépendance de deux événements ?

Elle permet de vérifier que la réalisation de l’un n’apporte pas d’information sur l’autre.

Elle garantit que les deux événements ont la même probabilité de réalisation.

Elle établit que les deux événements ne peuvent pas se produire ensemble.

Elle indique que leur réunion a une probabilité égale au produit de leurs probabilités.

Explication

Cette égalité sert de critère pour reconnaître l’indépendance : la probabilité conjointe se déduit du produit des probabilités individuelles. L’incompatibilité, contrairement à l’indépendance, signifie que les deux événements ne peuvent pas se réaliser simultanément.

Question 8

8. Sachant que $P(B)>0$ , comment se calcule la probabilité de $A$ et $B$ simultanément à partir de la probabilité de $A$ sachant $B$ ?

En soustrayant

P(B)

de

P(A\mid B)

En multipliant

P(A\mid B)

par

P(B)

En divisant

P(A\mid B)

par

P(B)

En additionnant

P(A\mid B)

et

P(B)

Explication

La probabilité de l’intersection est le produit de la probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$ par la probabilité de $B$ . La division par $P(B)$ ne reconstitue pas l’intersection, mais intervient dans le calcul de la probabilité conditionnelle.

Question 9

9. Dans l’arbre des lancers francs, comment la probabilité de réussir le second lancer diffère-t-elle selon que le premier lancer est réussi ou manqué ?

Elle vaut 30 % dans les deux cas, quel que soit le résultat du premier lancer.

Elle vaut 70 % dans les deux cas, quel que soit le résultat du premier lancer.

Elle vaut 70 % après une réussite et 30 % après un échec au premier lancer.

Elle vaut 30 % après une réussite et 70 % après un échec au premier lancer.

Explication

La probabilité conditionnelle de réussir le second lancer est de 70 % si le premier est réussi, contre 30 % si le premier est manqué. L’idée d’une probabilité identique dans les deux cas confond ces deux branches de l’arbre.

QCM : Conditionnement et indépendance (9 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Si $P(B)>0$ , comment exprime-t-on la probabilité de $A$ sachant $B$ ?

2. Pour deux événements $A$ et $B$ de probabilités non nulles, quelle relation permet de calculer leur probabilité d’intersection à partir de $P(A\mid B)$ ?

3. Dans l’exemple de l’arbre des lancers francs, quelle est la probabilité que le joueur réussisse son premier lancer ?

4. Dans cet arbre, quelle probabilité conditionnelle est associée à la réussite du second lancer lorsque le premier est réussi ?

5. Qu’est-ce qu’une partition de l’univers en probabilités ?

6. Dans la formule de Bayes, quelle quantité sert de dénominateur pour calculer $P(B_i\mid A)$ ?

7. Quel rôle joue la condition $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ dans la définition de l’indépendance de deux événements ?

8. Sachant que $P(B)>0$ , comment se calcule la probabilité de $A$ et $B$ simultanément à partir de la probabilité de $A$ sachant $B$ ?

9. Dans l’arbre des lancers francs, comment la probabilité de réussir le second lancer diffère-t-elle selon que le premier lancer est réussi ou manqué ?

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QCM : Conditionnement et indépendance (9 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Si P(B)>0P(B)>0P(B)>0, comment exprime-t-on la probabilité de AAA sachant BBB ?

2. Pour deux événements AAA et BBB de probabilités non nulles, quelle relation permet de calculer leur probabilité d’intersection à partir de P(A∣B)P(A\mid B)P(A∣B) ?

3. Dans l’exemple de l’arbre des lancers francs, quelle est la probabilité que le joueur réussisse son premier lancer ?

4. Dans cet arbre, quelle probabilité conditionnelle est associée à la réussite du second lancer lorsque le premier est réussi ?

5. Qu’est-ce qu’une partition de l’univers en probabilités ?

6. Dans la formule de Bayes, quelle quantité sert de dénominateur pour calculer P(Bi∣A)P(B_i\mid A)P(Bi​∣A) ?

7. Quel rôle joue la condition P(A∩B)=P(A)P(B)P(A\cap B)=P(A)P(B)P(A∩B)=P(A)P(B) dans la définition de l’indépendance de deux événements ?

8. Sachant que P(B)>0P(B)>0P(B)>0, comment se calcule la probabilité de AAA et BBB simultanément à partir de la probabilité de AAA sachant BBB ?

9. Dans l’arbre des lancers francs, comment la probabilité de réussir le second lancer diffère-t-elle selon que le premier lancer est réussi ou manqué ?

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1. Si $P(B)>0$ , comment exprime-t-on la probabilité de $A$ sachant $B$ ?

2. Pour deux événements $A$ et $B$ de probabilités non nulles, quelle relation permet de calculer leur probabilité d’intersection à partir de $P(A\mid B)$ ?

6. Dans la formule de Bayes, quelle quantité sert de dénominateur pour calculer $P(B_i\mid A)$ ?

7. Quel rôle joue la condition $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ dans la définition de l’indépendance de deux événements ?

8. Sachant que $P(B)>0$ , comment se calcule la probabilité de $A$ et $B$ simultanément à partir de la probabilité de $A$ sachant $B$ ?