Fiche de révision : Continuité et étude des fonctions

📋 Plan du Cours

1. Fondamentaux des nombres complexes
2. Géométrie et forme exponentielle
3. Applications géométriques complexes
4. Équations différentielles linéaires d’ordre un
5. Condition initiale des équations différentielles
6. Formules et racines complexes
7. Polynômes et division euclidienne
8. Racines et factorisation des polynômes
9. Équations différentielles d’ordre deux
10. Fonctions rationnelles irréductibles
11. Décomposition en éléments simples
12. Intervalles et voisinages
13. Limites et opérations
14. Continuité et prolongement
15. Dérivabilité et régularité
16. Outils d’étude des fonctions
17. Fonctions usuelles
18. Théorèmes fondamentaux de continuité

📖 1. Fondamentaux des nombres complexes

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre complexe : s’écrit de manière unique $z=a+ib$ avec $a,b\in\mathbb{R}$ et un élément $i$ vérifiant $i^2=-1$.
• Parties réelle et imaginaire : Pour $z=a+ib$, $a=\operatorname{Re}(z)$ est la partie réelle et $b=\operatorname{Im}(z)$ est la partie imaginaire.
• Conjugué complexe : le nombre complexe $\overline z=a-ib$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour $z_1=a_1+ib_1$ et $z_2=a_2+ib_2$, on a $z_1+z_2=(a_1+a_2)+i(b_1+b_2)$ et $z_1z_2=(a_1a_2-b_1b_2)+i(a_1b_2+a_2b_1)$.

📌 Pour $az^2+bz+c=0$ avec $a\neq0$ et $\Delta=b^2-4ac<0$, les deux solutions complexes sont $z_1=\frac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}$ et $z_2=\frac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a}$.

Compléments

📐 Formule - Pour $z=a+ib\neq0$, son inverse est $\frac{1}{z}=\frac{\overline z}{z\overline z}=\frac{a-ib}{a^2+b^2}$.

📐 Formule - Si $z_1$ et $z_2$ sont les solutions de $az^2+bz+c=0$, alors $z_1+z_2=-\frac ba$ et $z_1z_2=\frac ca$.

💡 Astuce mémo

Réel : partie imaginaire nulle ; imaginaire pur : partie réelle nulle

📖 2. Géométrie et forme exponentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Module complexe : le réel positif $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$.
• Écriture exponentielle : Tout nombre complexe non nul s’écrit de manière unique sous la forme $z=\rho e^{i\theta}$ avec $\rho=|z|>0$ et $\theta\in\mathbb{R}$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour deux points d’affixes $z_A$ et $z_B$, la distance vérifie $AB=|z_B-z_A|$.

📐 Formule - Pour tout réel $\theta$, on définit $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$, d’où $\cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}2$ et $\sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$.

Compléments

📐 Formule - Pour des complexes non nuls $z_1=\rho_1e^{i\theta_1}$ et $z_2=\rho_2e^{i\theta_2}$, leur produit vaut $z_1z_2=\rho_1\rho_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}$.

💡 Astuce mémo

Algébrique → polaire → exponentielle

📖 3. Applications géométriques complexes

🔑 Notions clés & Définitions

• Affixe d’un point : Au nombre complexe $z=a+ib$ correspond le point de coordonnées $(a,b)$, appelé son image, et réciproquement $z$ est l’affixe de ce point.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour deux points $A(z_A)$ et $B(z_B)$, l’affixe du vecteur $\overrightarrow{AB}$ est $z_B-z_A$ et l’affixe du milieu est $z_I=\frac12(z_A+z_B)$.

📌 Le point d’affixe $z$ appartient au cercle de centre d’affixe $z_A$ et de rayon $r>0$ si et seulement si $|z-z_A|=r$.

Compléments

• Les transformations usuelles de centre l’origine associent à $M(z)$ le point $M'(z+z_0)$ par translation, $M'(ze^{i\theta})$ par rotation d’angle $\theta$ et $M'(kz)$ par homothétie de rapport $k$.

💡 Astuce mémo

Les transformations déplacent, tournent ou dilatent les points du plan complexe

📖 4. Équations différentielles linéaires d’ordre un

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation différentielle : une relation vérifiée en chaque point d’un intervalle par une fonction inconnue et certaines de ses dérivées.
• Équation linéaire : s’écrit $a_n(x)y^{(n)}(x)+\cdots+a_1(x)y'(x)+a_0(x)y(x)=f(x)$, et elle est à coefficients constants lorsque les fonctions $a_k$ sont constantes.

📝 Points essentiels

📐 Formule - L’équation différentielle linéaire homogène du premier ordre à coefficients constants s’écrit $ay'(x)+by(x)=0$ avec $a\neq0$, et ses solutions sont $y(x)=Ce^{-\frac ba x}$.

• Si $w$ est une solution particulière de $ay'+by=f$, toute solution générale est la somme d’une solution $v$ de l’équation homogène et de $w$, soit $y=v+w$.

📌 Pour $ay'+by=P_n(x)e^{\mu x}$, une solution particulière est de la forme $Q_n(x)e^{\mu x}$ si $\mu\neq-b/a$, et de la forme $xQ_n(x)e^{\mu x}$ si $\mu=-b/a$, où $Q_n$ est un polynôme de degré $n$.

📌 Pour tout réel $x_0$ et toute valeur $y_0$, l’équation $ay'(x)+by(x)=f(x)$ munie de la condition $y(x_0)=y_0$ admet une unique solution.

💡 Astuce mémo

Homogène → particulière → condition initiale

📖 5. Condition initiale des équations différentielles

📝 Points essentiels

📌 Pour tout x_0 dans l’intervalle de définition et tout réel y_0, l’équation différentielle linéaire ay'(x)+by(x)=f(x) admet une unique solution vérifiant y(x_0)=y_0.

• Pour résoudre y'(x)+3y(x)=x^2 avec y(1)=2, on résout d’abord l’équation homogène, on détermine une solution particulière polynomiale, on forme la solution générale puis on impose la condition initiale.

💡 Astuce mémo

Condition initiale → une solution unique

📖 6. Formules et racines complexes

🔑 Notions clés & Définitions

• Coefficient binomial : est défini par $\binom{n}{p}=\frac{n!}{p!(n-p)!}$ si $n\ge p$ et vaut 0 si $n<p.

📝 Points essentiels

📐 Formule - La formule de Moivre donne $(e^{i\theta})^n=e^{in\theta}$, soit $(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta).$

📐 Formule - La formule du binôme de Newton est $(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^kb^{n-k}$ pour tous complexes $a,b$ et tout entier naturel $n$.

📐 Formule - Si $Z=Re^{i\varphi}$ avec $R>0$, ses $n$ racines nièmes sont $z_k=R^{1/n}e^{i(\varphi/n+2k\pi/n)}$ pour $k\in\{0,\ldots,n-1\}$.

💡 Astuce mémo

Moivre → Newton → linéarisation → racines

📖 7. Polynômes et division euclidienne

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme : est une fonction définie sur R de la forme $P(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0$ avec $n$ naturel et $a_i\in K.
• Division euclidienne : consiste à écrire de manière unique $A=BQ+R$ avec $$d(R)<d(B).

📝 Points essentiels

📌 Pour un polynôme non nul, le degré est la plus grande puissance de x apparaissant dans le polynôme et la valuation est la plus petite puissance apparaissant dans le polynôme.

📐 Formule - Pour deux polynômes A et B, on a généralement $d(A+B)\le\max(d(A),d(B))$ et $v(A+B)\ge\min(v(A),v(B))$, tandis que $d(AB)=d(A)+d(B)$ et $v(AB)=v(A)+v(B).$

💡 Astuce mémo

Degré maximal, valuation minimale

📖 8. Racines et factorisation des polynômes

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine d’un polynôme : est un élément α de K tel que A(α)=0, ce qui équivaut à dire que x−α divise A.
• Racine multiple : est une racine d’ordre k de P si P(x)=(x−α)^kQ(x) avec Q(α)≠0, ce qui équivaut à P(α)=P'(α)=\cdots=P^{(k-1)}(α)=0 et P^{(k)}(α)≠0.
• Polynôme irréductible : ne peut pas être factorisé en deux polynômes de degré supérieur à 1.

📝 Points essentiels

📌 Un polynôme de degré n possède au plus n racines comptées avec leur multiplicité, et un polynôme complexe de degré n supérieur ou égal à 1 possède exactement n racines comptées avec leur multiplicité dans C.

📌 Si P est un polynôme réel et α une racine complexe de multiplicité k, alors le conjugué de α est aussi une racine de P de multiplicité k.

📐 Formule - Si $P(x)=a_nx^n+\cdots+a_0$ est scindé et possède les racines r_i comptées avec multiplicité, alors $\sum_{i=1}^n r_i=-\frac{a_{n-1}}{a_n}$ et $\prod_{i=1}^n r_i=(-1)^n\frac{a_0}{a_n}.$

💡 Astuce mémo

Racine réelle vs racine complexe conjuguée

📖 9. Équations différentielles d’ordre deux

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation différentielle homogène : associée à $ay''(x)+by'(x)+cy(x)=f(x)$ est $ay''(x)+by'(x)+cy(x)=0.$

📝 Points essentiels

📐 Formule - L’équation caractéristique associée à $ay''+by'+cy=0$ est $ar^2+br+c=0.$

• Si l’équation caractéristique possède une racine réelle double r, les solutions homogènes sont $y(x)=(c_1+c_2x)e^{rx}.$

• Si l’équation caractéristique possède deux racines réelles distinctes r_1 et r_2, les solutions homogènes sont $y(x)=c_1e^{r_1x}+c_2e^{r_2x}.$

• Si les racines caractéristiques sont complexes conjuguées α+iβ et α−iβ, les solutions réelles sont $y(x)=e^{\alpha x}(c_1\cos(\beta x)+c_2\sin(\beta x)).$

• Pour un second membre P_n(x)e^{\mu x}, une solution particulière est de la forme Q_n(x)e^{\mu x} si \mu{} n’est pas racine caractéristique, xQ_n(x)e^{\mu x} si \mu{} est une racine simple et x^2Q_n(x)e^{\mu x} si \mu{} est une racine double.

💡 Astuce mémo

Caractéristique → homogène → particulière → générale

📖 10. Fonctions rationnelles irréductibles

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction rationnelle : Fonction de la forme $F=\frac{P}{Q}$ où P et Q sont des polynômes et où Q n’est pas le polynôme nul.
• Forme irréductible : Écriture dans laquelle P et Q n’ont aucune racine commune dans C; elle est unique si Q est unitaire.

📝 Points essentiels

📌 Pour une fraction rationnelle irréductible $F=\frac{P}{Q}$, les racines de P sont les zéros de F, les racines de Q sont ses pôles, et son domaine de définition est K privé de ses pôles.

📌 La division euclidienne $P=EQ+R$ avec $d(R)<d(Q)$ donne $F=E+\frac{R}{Q}$, où E est la partie entière de la fraction rationnelle.

💡 Astuce mémo

Zéros au numérateur, pôles au dénominateur

📖 11. Décomposition en éléments simples

🔑 Notions clés & Définitions

• Élément simple : Fraction $F=\frac{A}{Q^k}$ avec k>1, Q unitaire et irréductible dans K[x], et $d(A)<d(Q)$.

★ À maîtriser

📌 Dans C(x), les éléments simples ont la forme $\frac{a}{(x-\alpha)^k}$, tandis que dans R(x), ils peuvent aussi avoir la forme $\frac{ax+b}{(x^2+px+q)^k}$ avec $p^2-4q<0$.

• La décomposition en éléments simples s’effectue en divisant d’abord P par Q, en factorisant ensuite Q en facteurs unitaires irréductibles, puis en écrivant la forme générale de la décomposition et en déterminant ses coefficients.

Compléments

• La méthode du cache consiste à multiplier la fraction par la puissance du facteur correspondant à un pôle, puis à évaluer au pôle pour déterminer le coefficient du terme de plus haute puissance.

💡 Astuce mémo

Diviser, factoriser, écrire, déterminer

📖 12. Intervalles et voisinages

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle : Partie I de R telle que, pour tous a et b appartenant à I avec a≤b, le segment [a,b] est inclus dans I.
• Voisinage : Un voisinage d’un point fini a est une partie de R qui contient un intervalle ouvert de centre a, et un voisinage de +∞ ou de −∞ contient respectivement une demi-droite de la forme ]A,+∞[ ou ]−∞,A[.

📝 Points essentiels

• L’intersection de deux intervalles est toujours un intervalle, et leur réunion est un intervalle lorsque leur intersection est non vide.

💡 Astuce mémo

Un intervalle contient toujours tout le segment entre deux de ses points

📖 13. Limites et opérations

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite finie : Fonction définie au voisinage de a telle que, pour tout ε>0, il existe η>0 tel que $|x-a|\leq\eta$ entraîne $|f(x)-\ell|\leq\varepsilon$.

📝 Points essentiels

• Lorsqu’elle existe, la limite d’une fonction en un point est unique.

• Les opérations sur les limites d’une somme, d’un produit ou d’un quotient donnent respectivement la somme, le produit ou le quotient des limites lorsque l’opération n’est pas indéterminée et que la fonction résultante est définie.

• Si f(x)≤g(x)≤h(x) au voisinage de a et si f et h tendent toutes deux vers ℓ en a, alors g tend aussi vers ℓ en a.

• Une fonction admet une limite en a si et seulement si ses limites à droite et à gauche en a existent et sont égales.

💡 Astuce mémo

Variable proche → image proche

📖 14. Continuité et prolongement

🔑 Notions clés & Définitions

• Continuité en un point : Une fonction f est continue en a si elle est définie en a et si $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$.
• Prolongement par continuité : Si f est continue sur un intervalle sauf en a et admet une limite finie ℓ en a, le prolongement par continuité lui attribue la valeur ℓ en a.
• Prolongement par continuité : Consiste à définir sa valeur en a par la limite finie l=lim x→a f(x), lorsque f est continue ailleurs sur I.

★ À maîtriser

• Les combinaisons linéaires et les produits de fonctions continues sur un intervalle sont continus, et leur quotient est continu sur son domaine de définition.

• Si f et g sont continues sur un intervalle I, alors λf+\mu{}g et fg sont continues sur I, tandis que f/g est continue sur son domaine de définition.

• Si f est continue sur I, si g est continue sur J et si f(I)⊂J, alors la composée g∘f est continue sur I.

Compléments

📌 Une fonction est continue en a si et seulement si elle est continue à droite et à gauche en a.

• La fonction x↦sin(x)/x, non définie en 0, est prolongeable par continuité en 0 car lim x→0 sin(x)/x=1.

💡 Astuce mémo

La limite décrit l’approche, la continuité impose aussi la valeur au point

📖 15. Dérivabilité et régularité

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée en un point : Une fonction f est dérivable en a si la limite du taux d'accroissement $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ existe et est finie ; cette limite est notée f′(a).
• Classe C∞ : Une fonction est de classe C∞ sur I si elle est de classe Cp sur I pour tout entier naturel p.

📝 Points essentiels

📌 Pour un point intérieur, f est dérivable en a si et seulement si ses dérivées à droite et à gauche existent et sont égales.

📌 Si f est dérivable en a, alors f est continue en a, mais une fonction continue en a peut ne pas être dérivable en a.

📐 Formule - La tangente à la courbe de f en a a pour équation $y=f(a)+f'(a)(x-a)$ et sa pente vaut f′(a).

📐 Formule - Pour deux fonctions dérivables f et g, la dérivée du produit vérifie $(fg)'=f'g+fg'.$

📐 Formule - La règle de la chaîne donne, pour des fonctions composables dérivables, $(g\circ f)'(x)=g'(f(x))f'(x).$

💡 Astuce mémo

Continuité nécessaire, mais continuité ≠ dérivabilité

📖 16. Outils d’étude des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction paire : Une fonction paire a un domaine symétrique par rapport à 0 et vérifie f(−x)=f(x), ce qui rend son graphe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
• Convexité : Une fonction f est convexe sur I si, pour tous x,y∈I et t∈[0{,}1], $f(tx+(1-t)y)\le tf(x)+(1-t)f(y).$
• Périodicité : Une fonction est T-périodique si T>0 et si f(x+T)=f(x−T)=f(x) lorsque les arguments appartiennent au domaine.

★ À maîtriser

📌 Si f est continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[ et vérifie f′(x)>0 sur ]a,b[, alors f est strictement croissante sur [a,b].

📌 Une fonction deux fois dérivable est convexe si et seulement si f′′(x)≥0 sur I, et elle est concave si et seulement si f′′(x)≤0 sur I.

Compléments

📐 Formule - L'inégalité de Young affirme que, pour tous a,b∈R et ε>0, $ab\le\frac{\varepsilon a^2}{2}+\frac{b^2}{2\varepsilon}.$

💡 Astuce mémo

Domaine → dérivée → variations → asymptotes → convexité

📖 17. Fonctions usuelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Logarithme népérien : Le logarithme népérien est la primitive de x↦1/x sur R⁺* qui s'annule en 1.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour a,b>0, le logarithme vérifie $\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$ et $\ln(a/b)=\ln(a)-\ln(b).$

📌 La fonction exponentielle est définie sur R, strictement croissante, de classe C∞, et vérifie exp′(x)=exp(x).

📐 Formule - Pour tous a,b∈R, $\exp(a+b)=\exp(a)\exp(b).$

📐 Formule - La fonction tangente est définie par $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ sur l'ensemble où cos x ne s'annule pas.

Compléments

📐 Formule - Les fonctions hyperboliques sont définies par $\operatorname{ch}(x)=\frac{\exp(x)+\exp(-x)}{2}$ et $\operatorname{sh}(x)=\frac{\exp(x)-\exp(-x)}{2}.$

💡 Astuce mémo

Trigonométriques : périodiques ; hyperboliques : exponentielles

📖 18. Théorèmes fondamentaux de continuité

🔑 Notions clés & Définitions

• Théorème de Weierstrass : Toute fonction continue sur un segment [a,b] est bornée et atteint ses bornes, donc elle possède un minimum et un maximum sur ce segment.
• Théorème des valeurs intermédiaires : L'image d'un segment [a,b] par une fonction continue est un segment [m,M], et toute valeur ℓ∈[m,M] est atteinte par f.
• Théorème de la bijection : Continue et strictement monotone sur un intervalle I de R, la fonction f réalise une bijection de I sur J = f(I).
• Fonction réciproque : Pour une bijection f de I sur J, la fonction réciproque f^{-1} est définie sur J à valeurs dans I par $x=f^{-1}(y)\Longleftrightarrow y=f(x)$.
• Arctangente : Fonction définie sur R par $\operatorname{Arctan}(y)=x\Longleftrightarrow y=\tan(x)$ avec x∈]−π/2,π/2[.

★ À maîtriser

• Si f est continue sur [a,b] et f(a)f(b)<0, alors il existe s∈]a,b[ tel que f(s)=0.

• Une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I réalise une bijection de I sur son image f(I).

• Une fonction continue sur un intervalle peut donner plusieurs antécédents à une valeur, alors qu’une fonction continue et strictement monotone donne un unique antécédent.

📐 Formule - Les compositions d’une fonction et de sa réciproque vérifient $f^{-1}(f(x))=x$ pour tout x∈I et $f(f^{-1}(y))=y$ pour tout y∈J.

• La fonction réciproque d’une fonction continue et strictement monotone est continue sur J et possède la même monotonie que la fonction initiale.

📐 Formule - Si f est dérivable en x₀ avec f′(x₀)≠0, alors f^{-1} est dérivable en y₀=f(x₀) et vérifie $(f^{-1})′(y₀)=\frac{1}{f′(x₀)}=\frac{1}{f′(f^{-1}(y₀))}$.

• La restriction de la fonction tangente à ]−π/2,π/2[ est une bijection continue et strictement croissante de cet intervalle sur R.

📐 Formule - La fonction Arctangente est impaire, strictement croissante et dérivable sur R, avec $\operatorname{Arctan}′(x)=\frac{1}{1+x²}$.

• La fonction Arctangente admet les limites $\lim_{x\to+\infty}\operatorname{Arctan}(x)=\pi/2$ et $\lim_{x\to-\infty}\operatorname{Arctan}(x)=-\pi/2$, donc y=π/2 et y=−π/2 sont ses asymptotes horizontales respectives.

Compléments

• Pour f(x)=x^3−x sur [−2{,}2], le changement de signe entre f(−2)=−6 et f(2)=6 garantit un zéro, mais −1, 0 et 1 sont tous des zéros.

• Pour une fonction croissante, l’image d’un intervalle se détermine en conservant les bornes atteintes et en remplaçant les bornes ouvertes par les limites latérales correspondantes.

💡 Astuce mémo

Continuité sur un segment → bornes atteintes et valeurs intermédiaires

📊 Tableaux de synthèse

Racines de l’équation caractéristique

Zéros, pôles et domaine