QCM : Continuité et étude des fonctions (64 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle écriture représente la forme algébrique unique d’un nombre complexe ?

z=ai+bz=ai+b avec a,b∈Ca,b\in\mathbb{C} et i2=−1i^2=-1
z=a+bz=a+b avec a,b∈Ra,b\in\mathbb{R} et i2=1i^2=1
z=a+ibz=a+ib avec a,b∈Ra,b\in\mathbb{R} et i2=1i^2=1
z=a+ibz=a+ib avec a,b∈Ra,b\in\mathbb{R} et i2=−1i^2=-1

$$z=a+ib$$ avec $$a,b\in\mathbb{R}$$ et $$i^2=-1$$

Explication

La forme algébrique d’un complexe est a+iba+ib, où les coefficients sont réels et où i2=−1i^2=-1. Une écriture sans unité imaginaire ou avec une relation différente pour ii ne décrit pas cette définition.

2. Pour z=4−7iz=4-7i, quelles sont sa partie réelle et sa partie imaginaire ?

Re⁡(z)=−4\operatorname{Re}(z)=-4 et Im⁡(z)=7\operatorname{Im}(z)=7
Re⁡(z)=−7\operatorname{Re}(z)=-7 et Im⁡(z)=4\operatorname{Im}(z)=4
Re⁡(z)=4\operatorname{Re}(z)=4 et Im⁡(z)=−7\operatorname{Im}(z)=-7
Re⁡(z)=4i\operatorname{Re}(z)=4i et Im⁡(z)=−7i\operatorname{Im}(z)=-7i

$$\operatorname{Re}(z)=4$$ et $$\operatorname{Im}(z)=-7$$

Explication

Dans a+iba+ib, le coefficient sans ii est la partie réelle et le coefficient de ii est la partie imaginaire. Ici, ces coefficients valent respectivement 44 et −7-7.

3. Si z1=2+3iz_1=2+3i et z2=4−iz_2=4-i, quelle est leur somme ?

6+4i6+4i
6+2i6+2i
−2+2i-2+2i
8+2i8+2i

$$6+2i$$

Explication

L’addition se fait séparément sur les parties réelle et imaginaire : z1+z2=(2+4)+(3−1)i=6+2iz_1+z_2=(2+4)+(3-1)i=6+2i. Le produit suivrait une règle différente et ne doit pas être utilisé ici.

4. Quelles sont les solutions de z2+4z+13=0z^2+4z+13=0 ?

z=−2+13iz=-2+\sqrt{13}i et z=−2−13iz=-2-\sqrt{13}i
z=−4+3iz=-4+3i et z=−4−3iz=-4-3i
z=−2+3iz=-2+3i et z=−2−3iz=-2-3i
z=2+3iz=2+3i et z=2−3iz=2-3i

$$z=-2+3i$$ et $$z=-2-3i$$

Explication

Le discriminant vaut Δ=42−4×1×13=−36\Delta=4^2-4\times1\times13=-36, donc les racines sont −4±i362=−2±3i\frac{-4\pm i\sqrt{36}}2=-2\pm3i. Le signe du terme linéaire détermine ici la partie réelle négative.

5. Quel est le module de z=3−4iz=3-4i ?

7\sqrt{7}
77
55
11

$$5$$

Explication

Le module se calcule par ∣z∣=a2+b2|z|=\sqrt{a^2+b^2}, donc ∣3−4i∣=32+(−4)2=5|3-4i|=\sqrt{3^2+(-4)^2}=5. Il représente une distance positive, et non un angle.

6. Deux points ont pour affixes zA=1+2iz_A=1+2i et zB=4+6iz_B=4+6i. Quelle est la distance ABAB ?

3+4i3+4i
29\sqrt{29}
55
2525

$$5$$

Explication

La distance est AB=∣zB−zA∣=∣(4+6i)−(1+2i)∣=∣3+4i∣=5AB=|z_B-z_A|=|(4+6i)-(1+2i)|=|3+4i|=5. Le complexe 3+4i3+4i est l’affixe du vecteur associé, pas une distance réelle.

7. Quelle forme polaire convient à tout nombre complexe non nul ?

z=ρeθz=\rho e^{\theta} avec ρ=∣z∣>0\rho=|z|>0 et θ∈R\theta\in\mathbb{R}
z=ρeiθz=\rho e^{i\theta} avec ρ=∣z∣>0\rho=|z|>0 et θ∈R\theta\in\mathbb{R}
z=θeiρz=\theta e^{i\rho} avec θ=∣z∣>0\theta=|z|>0 et ρ∈R\rho\in\mathbb{R}
z=ρ+iθz=\rho+i\theta avec ρ=∣z∣>0\rho=|z|>0 et θ∈R\theta\in\mathbb{R}

$$z=\rho e^{i\theta}$$ avec $$\rho=|z|>0$$ et $$\theta\in\mathbb{R}$$

Explication

Un complexe non nul s’écrit sous la forme ρeiθ\rho e^{i\theta}, où ρ\rho est son module strictement positif et θ\theta un argument réel. Les autres écritures ne séparent pas correctement le module et l’angle.

8. Quelle identité exprime sin⁡θ\sin\theta à l’aide des exponentielles complexes ?

sin⁡θ=eiθ+e−iθ2\sin\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}2
sin⁡θ=eiθ+e−iθ2i\sin\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2i}
sin⁡θ=eiθ−e−iθ2\sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}2
sin⁡θ=eiθ−e−iθ2i\sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}

$$\sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$$

Explication

La formule d’Euler donne sin⁡θ=eiθ−e−iθ2i\sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}. La somme des deux exponentielles correspond à cos⁡θ\cos\theta, ce qui distingue les deux identités.

9. Quelles sont les coordonnées du point image du nombre complexe z=−3+5iz=-3+5i ?

(−3,5)(-3,5)
(5,−3)(5,-3)
(3,5)(3,5)
(−3,−5)(-3,-5)

$$(-3,5)$$

Explication

Pour z=a+ibz=a+ib, l’image possède pour coordonnées (a,b)(a,b) : la partie réelle donne l’abscisse et la partie imaginaire l’ordonnée. Ainsi, −3+5i-3+5i correspond à (−3,5)( -3,5).

10. Pour zA=2−iz_A=2-i et zB=6+3iz_B=6+3i, quelle est l’affixe du milieu du segment [AB][AB] ?

4+i4+i
2+4i2+4i
8+2i8+2i
4+2i4+2i

$$4+i$$

Explication

L’affixe du milieu est la moyenne zI=12(zA+zB)=12(8+2i)=4+iz_I=\frac12(z_A+z_B)=\frac12(8+2i)=4+i. La différence zB−zAz_B-z_A donnerait l’affixe du vecteur AB→\overrightarrow{AB}, pas celle du milieu.

11. Quelle condition caractérise les points d’affixe zz situés sur le cercle de centre d’affixe zAz_A et de rayon r>0r>0 ?

z−zA=rz-z_A=r
∣z+zA∣=r|z+z_A|=r
∣z−zA∣=r|z-z_A|=r
∣z∣+∣zA∣=r|z|+|z_A|=r

$$|z-z_A|=r$$

Explication

La distance entre le point d’affixe zz et le centre d’affixe zAz_A est ∣z−zA∣|z-z_A| ; elle doit être égale à rr. L’expression ∣z∣|z| mesurerait la distance à l’origine, et non au centre donné.

12. Que désigne une équation différentielle ?

Une relation entre une fonction connue et ses primitives, sans faire intervenir ses dérivées
Une relation vérifiée en chaque point d’un intervalle par une fonction inconnue et certaines de ses dérivées
Une formule donnant les valeurs d’une fonction inconnue en quelques points isolés
Une identité algébrique vérifiée par plusieurs constantes indépendantes sur un intervalle

Une relation vérifiée en chaque point d’un intervalle par une fonction inconnue et certaines de ses dérivées

Explication

Une équation différentielle relie une fonction inconnue à certaines de ses dérivées en chaque point d’un intervalle. Une identité algébrique ou des valeurs isolées ne constituent pas cette définition.

13. Quelle caractéristique permet de qualifier une équation différentielle de linéaire à coefficients constants ?

Elle contient une puissance non linéaire de la fonction et des coefficients dépendant de la variable
Elle s’écrit comme une combinaison linéaire de la fonction et de ses dérivées, avec des coefficients constants
Elle ne comporte aucune dérivée et relie seulement plusieurs valeurs de la fonction
Elle possède un second membre nul et des coefficients nécessairement variables

Elle s’écrit comme une combinaison linéaire de la fonction et de ses dérivées, avec des coefficients constants

Explication

Une équation différentielle est linéaire lorsque la fonction et ses dérivées apparaissent au premier degré dans une combinaison linéaire, et ses coefficients sont constants lorsqu’ils ne dépendent pas de la variable. La nullité du second membre caractérise l’homogénéité, pas les coefficients constants.

14. Quelle est la solution générale de ay′(x)+by(x)=0ay'(x)+by(x)=0 avec a≠0a\neq0 ?

y(x)=C−baxy(x)=C-\frac ba x
y(x)=Ce−baxy(x)=Ce^{-\frac ba x}
y(x)=Ceabxy(x)=Ce^{\frac ab x}
y(x)=Ce−abxy(x)=Ce^{-\frac ab x}

$$y(x)=Ce^{-\frac ba x}$$

Explication

La résolution de l’équation homogène du premier ordre à coefficients constants donne y(x)=Ce−baxy(x)=Ce^{-\frac ba x}. Le second membre nul indique l’homogénéité, tandis que les autres expressions utilisent un rapport ou une dépendance en xx incorrects.

15. Pour ay′+by=Pn(x)eμxay'+by=P_n(x)e^{\mu x}, quelle forme doit prendre une solution particulière lorsque μ=−b/a\mu=-b/a ?

xPn(x)e−μxxP_n(x)e^{-\mu x}, où PnP_n est un polynôme de degré n+1n+1
Qn(x)eμxQ_n(x)e^{\mu x}, où QnQ_n est un polynôme de degré nn
Qn+1(x)eμxQ_{n+1}(x)e^{\mu x}, où Qn+1Q_{n+1} est un polynôme de degré n+1n+1
xQn(x)eμxxQ_n(x)e^{\mu x}, où QnQ_n est un polynôme de degré nn

$$xQ_n(x)e^{\mu x}$$, où $$Q_n$$ est un polynôme de degré $$n$$

Explication

Lorsque μ=−b/a\mu=-b/a, le terme exponentiel du second membre correspond à une solution homogène, ce qui impose le facteur supplémentaire xx. Sans ce facteur, on obtient la forme utilisée dans le cas non résonant.

16. Que garantit une condition initiale y(x0)=y0y(x_0)=y_0 pour une équation linéaire ay′(x)+by(x)=f(x)ay'(x)+by(x)=f(x), avec x0x_0 dans l’intervalle de définition ?

L’existence d’une solution seulement lorsque f(x0)=0f(x_0)=0
L’existence d’une solution seulement lorsque y0y_0 est une constante positive
L’existence d’une famille de solutions partageant cette valeur initiale
L’existence d’une unique solution satisfaisant cette valeur initiale

L’existence d’une unique solution satisfaisant cette valeur initiale

Explication

Pour tout point initial admissible et toute valeur réelle prescrite, l’équation admet une unique solution vérifiant la condition initiale. La valeur de f(x0)f(x_0) ou le signe de y0y_0 n’ajoute pas de restriction dans cette règle.

17. Quelle démarche permet de résoudre y′(x)+3y(x)=x2y'(x)+3y(x)=x^2 avec y(1)=2y(1)=2 ?

Résoudre l’équation homogène, puis choisir une constante arbitraire sans utiliser la condition initiale
Imposer d’abord y(1)=2y(1)=2, puis intégrer directement le second membre sans résoudre l’équation homogène
Résoudre l’homogène, trouver une particulière polynomiale, former la générale, puis imposer la condition initiale
Trouver une solution polynomiale unique, puis vérifier la condition initiale sans ajouter la solution homogène

Résoudre l’homogène, trouver une particulière polynomiale, former la générale, puis imposer la condition initiale

Explication

La méthode consiste à combiner la solution homogène avec une solution particulière polynomiale, puis à déterminer la constante grâce à y(1)=2y(1)=2. Une solution particulière seule ne représente pas la solution générale.

18. Comment se calcule le coefficient binomial (np)\binom{n}{p} lorsque n≥pn\ge p ?

(np)=n!p!(n−p)!\binom{n}{p}=\frac{n!}{p!(n-p)!}
(np)=p!(n−p)!n!\binom{n}{p}=\frac{p!(n-p)!}{n!}
(np)=n!−p!−(n−p)!\binom{n}{p}=n!-p!-(n-p)!
(np)=n!p!+(n−p)!n!\binom{n}{p}=\frac{n!}{p!}+\frac{(n-p)!}{n!}

$$\binom{n}{p}=\frac{n!}{p!(n-p)!}$$

Explication

Le coefficient binomial combine trois factorielles selon la relation (np)=n!p!(n−p)!\binom{n}{p}=\frac{n!}{p!(n-p)!}. Il ne se réduit donc ni à une factorielle isolée ni à l’inverse de cette fraction.

19. Quelle expression donne le binôme de Newton pour des complexes a,ba,b et un entier naturel nn ?

(a+b)n=∑k=0n(nk)akbn−k(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^kb^{n-k}
(a+b)n=∑k=1n(nk)akbn−k(a+b)^n=\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}a^kb^{n-k}
(a+b)n=∑k=0n(nk)an−kbn−k(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^{n-k}
(a+b)n=∑k=0n(kn)akbn−k(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{k}{n}a^kb^{n-k}

$$(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^kb^{n-k}$$

Explication

Le binôme de Newton additionne les termes pondérés par (nk)\binom{n}{k}, avec les puissances complémentaires aka^k et bn−kb^{n-k}. Les expressions proposées modifient soit les puissances, soit les bornes, soit l’ordre du coefficient binomial.

20. Si Z=ReiφZ=Re^{i\varphi} avec R>0R>0, quelle expression décrit ses nn racines nièmes ?

zk=R1/nei(nφ+2kπ/n)z_k=R^{1/n}e^{i(n\varphi+2k\pi/n)} pour k∈{1,…,n}k\in\{1,\ldots,n\}
zk=R1/nei(φ/n+2kπ/n)z_k=R^{1/n}e^{i(\varphi/n+2k\pi/n)} pour k∈{0,…,n−1}k\in\{0,\ldots,n-1\}
zk=Rnei(nφ+2kπ)z_k=R^ne^{i(n\varphi+2k\pi)} pour k∈{0,…,n−1}k\in\{0,\ldots,n-1\}
zk=Rei(φ+2kπ/n)z_k=Re^{i(\varphi+2k\pi/n)} pour k∈{0,…,n−1}k\in\{0,\ldots,n-1\}

$$z_k=R^{1/n}e^{i(\varphi/n+2k\pi/n)}$$ pour $$k\in\{0,\ldots,n-1\}$$

Explication

Les racines nièmes ont pour module R1/nR^{1/n} et pour arguments φ/n+2kπ/n\varphi/n+2k\pi/n, avec nn valeurs distinctes indexées de 00 à n−1n-1. Les autres formules utilisent un module ou un argument incorrect, ou une indexation décalée.

21. Laquelle des expressions est bien une fonction polynôme à coefficients dans un corps K ?

P(x)=anxn+⋯+a1x+a0P(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0 avec ai∈Ka_i\in K et n∈Nn\in\mathbb{N}
P(x)=a0ln⁡(x)+a1xP(x)=a_0\ln(x)+a_1x avec a0,a1∈Ka_0,a_1\in K
P(x)=1x+1+a0P(x)=\frac{1}{x+1}+a_0 avec a0∈Ka_0\in K
P(x)=a0sin⁡(x)+a1P(x)=a_0\sin(x)+a_1 avec a0,a1∈Ka_0,a_1\in K

$$P(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0$$ avec $$a_i\in K$$ et $$n\in\mathbb{N}$$

Explication

Une fonction polynôme est une somme finie de puissances entières positives ou nulles de x, avec des coefficients dans K. Les autres expressions comportent une fonction inverse, logarithmique ou trigonométrique, qui ne relève pas de cette forme polynomiale.

22. Pour le polynôme P(x)=4x5−3x2+xP(x)=4x^5-3x^2+x, quelles sont respectivement sa valuation et son degré ?

Sa valuation est 11 et son degré est 55.
Sa valuation est 55 et son degré est 11.
Sa valuation est 22 et son degré est 55.
Sa valuation est 11 et son degré est 22.

Sa valuation est $$1$$ et son degré est $$5$$.

Explication

La valuation correspond à la plus petite puissance de x présente, ici 1, tandis que le degré correspond à la plus grande puissance, ici 5. Intervertir ces deux notions conduit à choisir la deuxième réponse.

23. Si AA et BB sont deux polynômes non nuls, quelle relation est correcte pour leur produit ?

d(AB)=d(A) d(B)d(AB)=d(A)\,d(B) et v(AB)=v(A) v(B)v(AB)=v(A)\,v(B)
d(AB)=d(A)+d(B)d(AB)=d(A)+d(B) et v(AB)=v(A)+v(B)v(AB)=v(A)+v(B)
d(AB)=max⁡(d(A),d(B))d(AB)=\max(d(A),d(B)) et v(AB)=min⁡(v(A),v(B))v(AB)=\min(v(A),v(B))
d(AB)=d(A)−d(B)d(AB)=d(A)-d(B) et v(AB)=v(A)−v(B)v(AB)=v(A)-v(B)

$$d(AB)=d(A)+d(B)$$ et $$v(AB)=v(A)+v(B)$$

Explication

Lorsqu’on multiplie deux polynômes non nuls, les puissances extrêmes s’additionnent, ce qui donne les deux égalités indiquées. Les opérations par maximum, minimum, différence ou produit ne décrivent pas ces invariants multiplicatifs.

24. Dans une division euclidienne de AA par un polynôme non nul BB, quelle condition caractérise le reste RR ?

A=BQ+RA=BQ+R avec d(R)<d(B)d(R)<d(B)
A=BR+QA=BR+Q avec d(Q)<d(B)d(Q)<d(B)
A=B+Q+RA=B+Q+R avec d(R)=d(B)d(R)=d(B)
A=QR+BA=QR+B avec d(B)<d(R)d(B)<d(R)

$$A=BQ+R$$ avec $$d(R)<d(B)$$

Explication

La division euclidienne écrit de façon unique A=BQ+RA=BQ+R, avec un reste dont le degré est strictement inférieur à celui du diviseur. La deuxième réponse échange les rôles du quotient et du reste, tandis que les autres imposent une forme ou une inégalité incorrecte.

25. Pour un polynôme AA, quelle condition est équivalente au fait que α\alpha soit une racine de AA ?

A(α)≠0A(\alpha)\neq0, ce qui équivaut à la divisibilité de AA par x+αx+\alpha
A′(α)=0A'(\alpha)=0, ce qui équivaut à la divisibilité de AA par x−αx-\alpha
A(α)=1A(\alpha)=1, ce qui équivaut à la divisibilité de AA par x+αx+\alpha
A(α)=0A(\alpha)=0, ce qui équivaut à la divisibilité de AA par x−αx-\alpha

$$A(\alpha)=0$$, ce qui équivaut à la divisibilité de $$A$$ par $$x-\alpha$$

Explication

Le théorème de factorisation relie exactement l’annulation A(α)=0A(\alpha)=0 à la divisibilité par x−αx-\alpha. L’annulation de la dérivée concerne plutôt une information de multiplicité, et non la définition générale d’une racine.

26. Si P(x)=(x−2)3Q(x)P(x)=(x-2)^3Q(x) et Q(2)≠0Q(2)\neq0, quelle est la multiplicité de la racine 22 ?

La racine 22 est d’ordre 44.
La racine 22 est d’ordre 11.
La racine 22 est d’ordre 33.
La racine 22 est d’ordre 22.

La racine $$2$$ est d’ordre $$3$$.

Explication

Le facteur maximal visible est (x−2)3\left(x-2\right)^3 et le facteur restant ne s’annule pas en 2, donc l’ordre de la racine est 3. Un ordre inférieur ou supérieur ne respecterait pas la factorisation donnée et la condition sur Q.

27. Combien de racines un polynôme complexe de degré n≥1n\geq1 possède-t-il dans C\mathbb{C} lorsqu’elles sont comptées avec leur multiplicité ?

Exactement 2n2n racines comptées avec leur multiplicité
Exactement nn racines comptées avec leur multiplicité
Au plus n−1n-1 racines comptées avec leur multiplicité
Au moins n+1n+1 racines comptées avec leur multiplicité

Exactement $$n$$ racines comptées avec leur multiplicité

Explication

Tout polynôme complexe non constant possède exactement autant de racines complexes comptées avec multiplicité que son degré. La borne « au plus » est la formulation générale pour un polynôme sur un corps quelconque, mais elle devient une égalité dans C.

28. Si un polynôme réel possède la racine complexe non réelle 2+3i2+3i de multiplicité kk, quelle autre propriété est nécessairement vérifiée ?

−2+3i-2+3i est aussi une racine de multiplicité kk.
2+3i2+3i est une racine réelle de multiplicité 2k2k.
2−3i2-3i est aussi une racine de multiplicité kk.
2−3i2-3i est une racine de multiplicité k+1k+1.

$$2-3i$$ est aussi une racine de multiplicité $$k$$.

Explication

Les coefficients réels imposent que toute racine complexe non réelle apparaisse avec sa conjuguée, et les deux multiplicités sont égales. Le conjugué de 2+3i2+3i est 2−3i2-3i, et non une racine obtenue en changeant seulement le signe de la partie réelle.

29. Quelle équation homogène est associée à ay′′(x)+by′(x)+cy(x)=f(x)ay''(x)+by'(x)+cy(x)=f(x) ?

ay′′(x)+by′(x)+cy(x)=f′(x)ay''(x)+by'(x)+cy(x)=f'(x)
ay′′(x)+by′(x)+cy(x)=0ay''(x)+by'(x)+cy(x)=0
ay′′(x)+by′(x)+cy(x)=f(x)+1ay''(x)+by'(x)+cy(x)=f(x)+1
ay′′(x)+by′(x)+cy(x)=1ay''(x)+by'(x)+cy(x)=1

$$ay''(x)+by'(x)+cy(x)=0$$

Explication

L’équation homogène s’obtient en remplaçant le second membre par zéro. Conserver f(x)f(x), le dériver ou lui ajouter une constante produit des équations différentes, qui ne sont pas l’équation homogène associée.

30. Quelle équation caractéristique correspond à l’équation différentielle homogène ay′′+by′+cy=0ay''+by'+cy=0 ?

ay′′+by′+cy=0ay''+by'+cy=0
aλ2+bλ+c=f(x)a\lambda^2+b\lambda+c=f(x)
ar+b+c=0ar+b+c=0
ar2+br+c=0ar^2+br+c=0

$$ar^2+br+c=0$$

Explication

L’équation caractéristique est une équation algébrique obtenue en remplaçant les dérivations par les puissances de la variable r, d’où ar2+br+c=0ar^2+br+c=0. L’équation homogène reste une équation différentielle en y et ne constitue pas l’équation caractéristique.

31. Quelle forme prennent les solutions homogènes lorsque l’équation caractéristique possède une racine réelle double rr ?

y(x)=c1cos⁡(rx)+c2sin⁡(rx)y(x)=c_1\cos(rx)+c_2\sin(rx)
y(x)=c1erx+c2e−rxy(x)=c_1e^{rx}+c_2e^{-rx}
y(x)=(c1+c2x)e−rxy(x)=(c_1+c_2x)e^{-rx}
y(x)=(c1+c2x)erxy(x)=(c_1+c_2x)e^{rx}

$$y(x)=(c_1+c_2x)e^{rx}$$

Explication

Une racine caractéristique réelle double fournit deux solutions indépendantes, erxe^{rx} et xerxxe^{rx}, dont la combinaison donne la forme indiquée. Les autres propositions correspondent à des racines distinctes, à des racines imaginaires ou à un signe exponentiel incorrect.

32. Laquelle des expressions définit une fonction rationnelle ?

F=PQF=\frac{P}{Q}, avec P et Q polynômes et Q non nul
F=P+QF=P+Q, avec P et Q polynômes quelconques
F=PQF=\frac{P}{Q}, avec Q nécessairement constant
F=P×QF=P\times Q, avec P et Q polynômes non constants

$$F=\frac{P}{Q}$$, avec P et Q polynômes et Q non nul

Explication

Une fonction rationnelle s’écrit comme le quotient de deux polynômes, avec un dénominateur qui n’est pas le polynôme nul. Elle peut donc comporter un dénominateur non constant, contrairement à ce qu’affirme la troisième proposition.

33. Quelle propriété caractérise la forme irréductible d’une fonction rationnelle F=PQF=\frac{P}{Q} ?

P et Q n’ont aucune racine commune dans C\mathbb{C}
P et Q ont le même degré et des coefficients réels
Q possède au moins une racine commune avec P
P et Q sont deux polynômes unitaires de degrés différents

P et Q n’ont aucune racine commune dans $$\mathbb{C}$$

Explication

La forme irréductible exige que le numérateur et le dénominateur n’aient aucune racine commune dans C\mathbb{C}. Une racine commune peut apparaître dans une écriture initiale, mais elle doit disparaître après simplification.

34. Pour une fraction rationnelle irréductible F=PQF=\frac{P}{Q}, quelle affirmation décrit correctement les racines de P et de Q ?

Les racines de P sont les zéros, celles de Q sont les pôles, et le domaine exclut les pôles
Les racines de P sont les pôles, celles de Q sont les zéros, et le domaine exclut les zéros
Les racines de P et de Q sont toutes des zéros appartenant au domaine de définition
Les racines de P sont les pôles, tandis que les racines de Q restent toujours dans le domaine

Les racines de P sont les zéros, celles de Q sont les pôles, et le domaine exclut les pôles

Explication

Dans une fraction irréductible, les racines du numérateur donnent les zéros et celles du dénominateur donnent les pôles; le domaine est privé de ces pôles. La deuxième proposition inverse précisément les rôles du numérateur et du dénominateur.

35. Si la division euclidienne donne P=EQ+RP=EQ+R avec d(R)<d(Q)d(R)<d(Q), quelle est la partie entière de PQ\frac{P}{Q} ?

La fraction RQ\frac{R}{Q}
Le polynôme R
Le polynôme E
La somme E+RE+R

Le polynôme E

Explication

La division euclidienne fournit PQ=E+RQ\frac{P}{Q}=E+\frac{R}{Q}, donc E est la partie entière de la fraction rationnelle. Le terme RQ\frac{R}{Q} constitue la partie propre restante.

36. Laquelle des fractions suivantes est un élément simple de K(x)K(x) selon la définition donnée ?

AQk\frac{A}{Q^k} avec k>1, Q unitaire irréductible et d(A)<d(Q)d(A)<d(Q)
AQ\frac{A}{Q} avec Q réductible et d(A)<d(Q)d(A)<d(Q)
AQk\frac{A}{Q^k} avec k=1, Q unitaire irréductible et d(A)<d(Q)d(A)<d(Q)
AQk\frac{A}{Q^k} avec k>1, Q non unitaire et d(A)=d(Q)d(A)=d(Q)

$$\frac{A}{Q^k}$$ avec k>1, Q unitaire irréductible et $$d(A)<d(Q)$$

Explication

Un élément simple possède un dénominateur égal à une puissance, d’exposant supérieur à un, d’un polynôme unitaire irréductible, avec un numérateur de degré strictement inférieur. La deuxième proposition échoue notamment parce que son dénominateur est réductible.

37. Quelle différence distingue les éléments simples de C(x)\mathbb{C}(x) de ceux qui peuvent apparaître dans R(x)\mathbb{R}(x) ?

Dans R(x)\mathbb{R}(x), les facteurs quadratiques irréductibles sont exclus dès qu’un facteur linéaire apparaît
Dans C(x)\mathbb{C}(x), les facteurs irréductibles sont quadratiques; dans R(x)\mathbb{R}(x), ils sont tous linéaires
Dans les deux corps, les éléments simples ont des dénominateurs formés de facteurs quadratiques irréductibles
Dans C(x)\mathbb{C}(x), les facteurs irréductibles sont linéaires; dans R(x)\mathbb{R}(x), des facteurs quadratiques irréductibles sont aussi possibles

Dans $$\mathbb{C}(x)$$, les facteurs irréductibles sont linéaires; dans $$\mathbb{R}(x)$$, des facteurs quadratiques irréductibles sont aussi possibles

Explication

Sur C\mathbb{C}, tout facteur irréductible est linéaire, ce qui donne des termes de type a(x−α)k\frac{a}{(x-\alpha)^k}. Sur R\mathbb{R}, un facteur quadratique sans racine réelle peut rester irréductible et produire un numérateur affine.

38. Quel ordre d’opérations convient pour décomposer une fraction rationnelle en éléments simples ?

Déterminer les coefficients, factoriser Q, diviser P par Q, puis écrire la forme générale
Écrire directement les termes simples, effectuer la division, puis regrouper les facteurs de Q
Diviser P par Q, factoriser Q, écrire la forme générale, puis déterminer les coefficients
Factoriser P, développer Q, supprimer la partie entière, puis calculer les coefficients

Diviser P par Q, factoriser Q, écrire la forme générale, puis déterminer les coefficients

Explication

La procédure commence par la division de P par Q, puis se poursuit par la factorisation de Q en facteurs unitaires irréductibles, l’écriture de la forme générale et le calcul des coefficients. Factoriser le numérateur ou supprimer la partie entière ne constitue pas l’ordre défini par cette méthode.

39. Quelle condition caractérise une partie I de R\mathbb{R} comme un intervalle ?

Pour tous a,b dans I avec a≤b, le segment [a,b] est contenu dans I
Pour tout a dans I, toute demi-droite issue de a est contenue dans I
I est bornée et contient chaque segment dont les extrémités sont réelles
I contient au moins deux points et tous ses points sont strictement positifs

Pour tous a,b dans I avec a≤b, le segment [a,b] est contenu dans I

Explication

Un intervalle contient tout le segment reliant deux de ses points, c’est-à-dire [a,b] dès qu'a≤b appartiennent à I. Une demi-droite n’est pas requise, et un intervalle peut être vide, non borné ou contenir des nombres négatifs.

40. Quelle condition définit un voisinage d’un point fini a dans R\mathbb{R} ?

Il contient une demi-droite de la forme ]A,+∞[]A,+\infty[
Il contient un segment fermé dont une extrémité est a
Il contient un intervalle ouvert centré en a
Il contient au moins un intervalle fermé ne contenant pas a

Il contient un intervalle ouvert centré en a

Explication

Un voisinage d’un point fini a contient un intervalle ouvert de centre a. Une demi-droite de la forme ]A,+∞[]A,+\infty[ caractérise plutôt un voisinage de +∞+\infty, et non d’un point fini.

41. Quelle condition caractérise la limite finie d’une fonction ff en un point aa ?

La fonction possède une dérivée en aa dont la valeur est égale à ℓ\ell
Pour tout ε>0\varepsilon>0, il existe η>0\eta>0 tel que ∣x−a∣≤η|x-a|\leq\eta entraîne ∣f(x)−ℓ∣≤ε|f(x)-\ell|\leq\varepsilon
La fonction est définie en aa et vérifie f(a)=ℓf(a)=\ell pour tout voisinage de aa
Pour tout η>0\eta>0, il existe ε>0\varepsilon>0 tel que ∣f(x)−ℓ∣≤η|f(x)-\ell|\leq\eta entraîne ∣x−a∣≤ε|x-a|\leq\varepsilon

Pour tout $$\varepsilon>0$$, il existe $$\eta>0$$ tel que $$|x-a|\leq\eta$$ entraîne $$|f(x)-\ell|\leq\varepsilon$$

Explication

La définition exige que les valeurs de f(x)f(x) soient aussi proches que voulu de ℓ\ell lorsque xx est suffisamment proche de aa. La fonction n’a pas besoin d’être définie en aa, contrairement à ce qu’impliquerait la continuité en ce point.

42. Que peut-on affirmer au sujet de la limite d’une fonction en un point lorsqu’elle existe ?

Elle dépend du choix du voisinage utilisé
Elle est unique
Elle coïncide nécessairement avec la valeur de la fonction au point
Elle peut prendre deux valeurs si les limites latérales existent

Elle est unique

Explication

Une fonction ne peut tendre que vers une seule valeur en un point donné. La valeur de la fonction au point peut toutefois être différente de cette limite, voire ne pas être définie.

43. Si lim⁡x→af(x)=L\lim_{x\to a}f(x)=L et lim⁡x→ag(x)=M\lim_{x\to a}g(x)=M, quelle limite obtient-on pour f(x)g(x)f(x)g(x) lorsque le produit n’est pas indéterminé ?

lim⁡x→af(x)g(x)=LM\lim_{x\to a}f(x)g(x)=LM
lim⁡x→af(x)g(x)=LM\lim_{x\to a}f(x)g(x)=\frac{L}{M}
lim⁡x→af(x)g(x)=L−M\lim_{x\to a}f(x)g(x)=L-M
lim⁡x→af(x)g(x)=L+M\lim_{x\to a}f(x)g(x)=L+M

$$\lim_{x\to a}f(x)g(x)=LM$$

Explication

La règle des opérations sur les limites transforme un produit en produit des limites, sous réserve que l’opération soit définie et non indéterminée. La somme et le quotient suivent d’autres règles, ce qui rend les autres expressions inadaptées.

44. À quelle condition une fonction admet-elle une limite en aa ?

Sa valeur en aa est égale à chacune de ses limites latérales
Elle est dérivable à droite et à gauche avec des valeurs éventuellement différentes
Ses limites à droite et à gauche en aa existent et sont égales
Sa limite à droite existe, même si sa limite à gauche est différente

Ses limites à droite et à gauche en $$a$$ existent et sont égales

Explication

L’existence de la limite bilatérale exige que les deux limites latérales existent et coïncident. Des limites latérales différentes empêchent donc l’existence d’une limite en aa.

45. Quelles conditions définissent la continuité d’une fonction ff en aa ?

ff est définie dans un voisinage de aa, sans condition sur f(a)f(a)
ff admet une limite en aa, même si sa valeur en aa diffère
ff est définie en aa et lim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x\to a}f(x)=f(a)
ff possède une dérivée en aa, sans condition sur sa limite

$$f$$ est définie en $$a$$ et $$\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$$

Explication

La continuité combine l’existence de la valeur f(a)f(a) et l’égalité entre cette valeur et la limite en aa. Une limite existante ne suffit pas si la fonction est non définie en aa ou si sa valeur y est différente.

46. Une fonction est continue sauf en aa et vérifie lim⁡x→af(x)=ℓ\lim_{x\to a}f(x)=\ell, avec ℓ\ell fini. Quelle valeur faut-il lui attribuer en aa pour obtenir un prolongement continu ?

f(a)=0f(a)=0
f(a)=f(a−)+f(a+)f(a)=f(a^-)+f(a^+)
f(a)=aℓf(a)=a\ell
f(a)=ℓf(a)=\ell

$$f(a)=\ell$$

Explication

Le prolongement par continuité comble le point manquant en lui attribuant la limite finie de la fonction au voisinage de ce point. Les autres choix ne garantissent pas l’égalité entre la valeur au point et la limite.

47. Si ff et gg sont continues sur un intervalle II, quelle affirmation est correcte ?

λf+μg\lambda f+\mu g est continue, mais fgfg peut cesser de l’être sur II
La continuité de ff et gg ne permet pas de conclure pour leurs combinaisons
f/gf/g est continue sur II, y compris aux points où gg s’annule
λf+μg\lambda f+\mu g et fgfg sont continues sur II, tandis que f/gf/g l’est sur son domaine de définition

$$\lambda f+\mu g$$ et $$fg$$ sont continues sur $$I$$, tandis que $$f/g$$ l’est sur son domaine de définition

Explication

Les combinaisons linéaires et les produits de fonctions continues restent continus, tandis qu’un quotient est continu là où son dénominateur ne s’annule pas. Le quotient n’est donc pas défini aux zéros de gg.

48. Soient ff continue sur II, gg continue sur JJ et f(I)⊂Jf(I)\subset J. Que peut-on conclure pour g∘fg\circ f ?

La continuité de la composée exige que ff soit dérivable sur II
La composée g∘fg\circ f est continue sur JJ
La composée est continue si ff et gg ont la même valeur en tout point
La composée g∘fg\circ f est continue sur II

La composée $$g\circ f$$ est continue sur $$I$$

Explication

La continuité de ff permet de rester dans l’ensemble JJ, où gg est continue, ce qui rend la composée continue sur II. La dérivabilité de ff n’est pas nécessaire pour cette conclusion.

49. Quelle condition définit la dérivabilité de ff en aa ?

Les limites à droite et à gauche de f(x)f(x) existent, sans comparaison de leurs valeurs
La limite finie de f(x)−f(a)x−a\frac{f(x)-f(a)}{x-a} lorsque x→ax\to a existe
La limite de f(x)f(x) lorsque x→ax\to a existe, sans condition de finitude
La fonction possède une valeur en aa, même si le taux d’accroissement diverge

La limite finie de $$\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$ lorsque $$x\to a$$ existe

Explication

La dérivabilité repose sur l’existence d’une limite finie du taux d’accroissement, et cette limite est la dérivée f′(a)f'(a). La simple existence de la limite des valeurs caractérise une condition liée à la continuité, pas à la dérivabilité.

50. Quelle relation logique existe entre dérivabilité et continuité en un point aa ?

Les deux propriétés sont équivalentes en tout point de leur domaine
Aucune des deux propriétés ne permet de déduire l’autre
La dérivabilité en aa implique la continuité en aa, mais la réciproque peut être fausse
La continuité en aa implique la dérivabilité en aa, mais la réciproque peut être fausse

La dérivabilité en $$a$$ implique la continuité en $$a$$, mais la réciproque peut être fausse

Explication

Une limite finie du taux d’accroissement entraîne l’existence de la limite des valeurs et son égalité avec f(a)f(a). En revanche, une fonction peut être continue avec un point anguleux et ne pas y être dérivable.

51. Quelle équation décrit la tangente à la courbe de ff au point d’abscisse aa ?

y=f(a)+f′(a)(x−a)y=f(a)+f'(a)(x-a)
y=a+f(a)f′(a)xy=a+f(a)f'(a)x
y=f′(a)+f(a)(x−a)y=f'(a)+f(a)(x-a)
y=f(a)+f′(x)(a−x)y=f(a)+f'(x)(a-x)

$$y=f(a)+f'(a)(x-a)$$

Explication

La tangente passe par le point (a,f(a))\bigl(a,f(a)\bigr) et possède la pente f′(a)f'(a), d’où l’expression donnée. L’échange entre la valeur et la dérivée ne garantit pas le passage par ce point ni la bonne pente.

52. Si ff et gg sont dérivables et composables, quelle formule donne la dérivée de g∘fg\circ f ?

(g∘f)′(x)=g′(f′(x))f(x)(g\circ f)'(x)=g'(f'(x))f(x)
(g∘f)′(x)=g′(f(x))f′(x)(g\circ f)'(x)=g'(f(x))f'(x)
(g∘f)′(x)=g(f′(x))f(x)(g\circ f)'(x)=g(f'(x))f(x)
(g∘f)′(x)=g′(x)f′(x)(g\circ f)'(x)=g'(x)f'(x)

$$(g\circ f)'(x)=g'(f(x))f'(x)$$

Explication

La règle de la chaîne évalue la dérivée de la fonction extérieure en f(x)f(x), puis la multiplie par la dérivée de la fonction intérieure. Utiliser g′(x)g'(x) ignore l’effet de la transformation opérée par ff.

53. Quelle propriété caractérise une fonction paire et son graphe ?

Elle vérifie une symétrie par rapport à l’axe des abscisses pour tout point de son domaine
Elle possède un domaine positif et son graphe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées
Son domaine est symétrique par rapport à 0 et son graphe est symétrique par rapport à l’origine
Son domaine est symétrique par rapport à 0 et son graphe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées

Son domaine est symétrique par rapport à 0 et son graphe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées

Explication

Une fonction paire vérifie f(−x)=f(x)f(-x)=f(x) sur un domaine symétrique par rapport à 0, ce qui entraîne une symétrie du graphe par rapport à l’axe des ordonnées. La symétrie par rapport à l’origine correspond plutôt à une propriété de fonction impaire.

54. Une fonction f est continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[ et vérifie f′(x)>0 sur ]a,b[ ; quelle conclusion peut-on tirer ?

f est strictement décroissante sur [a,b]
f est strictement croissante sur [a,b]
f atteint nécessairement un maximum à l’intérieur de ]a,b[
f est constante sur [a,b] malgré les variations de f′

f est strictement croissante sur [a,b]

Explication

Une dérivée strictement positive sur l’intervalle ouvert implique que la fonction est strictement croissante sur le segment considéré. Une fonction strictement décroissante aurait une dérivée négative dans les conditions usuelles.

55. Quelle inégalité exprime la convexité d’une fonction f sur un intervalle I pour x,y∈I et t∈[0,1] ?

f(tx+(1−t)y)=f(x)+f(y)f(tx+(1-t)y)=f(x)+f(y)
f(tx+(1−t)y)=tf(x)−(1−t)f(y)f(tx+(1-t)y)=t f(x)-(1-t)f(y)
f(tx+(1−t)y)≥tf(x)+(1−t)f(y)f(tx+(1-t)y)\geq tf(x)+(1-t)f(y)
f(tx+(1−t)y)≤tf(x)+(1−t)f(y)f(tx+(1-t)y)\leq tf(x)+(1-t)f(y)

$$f(tx+(1-t)y)\leq tf(x)+(1-t)f(y)$$

Explication

La convexité signifie que l’image d’une combinaison convexe de deux points est inférieure ou égale à la combinaison convexe de leurs images. L’inégalité opposée caractérise la concavité dans ce cadre.

56. Pour une fonction deux fois dérivable sur I, quelle condition caractérise la concavité ?

f′′(x)≤0f''(x)\leq 0 sur I
f′(x)≤0f'(x)\leq 0 sur I
f′(x)≥0f'(x)\geq 0 sur I
f′′(x)≥0f''(x)\geq 0 sur I

$$f''(x)\leq 0$$ sur I

Explication

Une fonction deux fois dérivable est concave lorsque sa dérivée seconde est négative ou nulle sur I. La condition f′′(x)≥0f''(x)\geq 0 caractérise au contraire la convexité.

57. Comment le logarithme népérien se définit-il et quel est son domaine ?

C’est la primitive de x↦1xx\mapsto\frac{1}{x} sur R\mathbb{R} qui s’annule en 0
C’est la primitive de x↦exp⁡(x)x\mapsto\exp(x) sur R+∗\mathbb{R}_+^* qui s’annule en 1
C’est la primitive de x↦1xx\mapsto\frac{1}{x} sur R+∗\mathbb{R}_+^* qui s’annule en 1
C’est la primitive de x↦xx\mapsto x sur R\mathbb{R} qui s’annule en 0

C’est la primitive de $$x\mapsto\frac{1}{x}$$ sur $$\mathbb{R}_+^*$$ qui s’annule en 1

Explication

Le logarithme népérien est défini sur les réels strictement positifs comme la primitive de 1/x1/x qui vaut 0 en 1. Il ne s’étend pas comme fonction réelle à 0 ou aux nombres négatifs.

58. Pour a,b>0, quelle transformation correcte du logarithme d’un quotient est-elle donnée par la propriété algébrique du logarithme ?

ln⁡(ab)=ln⁡(a)−ln⁡(b)\ln\left(\frac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b)
ln⁡(ab)=ln⁡(a)ln⁡(b)\ln\left(\frac{a}{b}\right)=\frac{\ln(a)}{\ln(b)}
ln⁡(ab)=ln⁡(a)+ln⁡(b)\ln\left(\frac{a}{b}\right)=\ln(a)+\ln(b)
ln⁡(ab)=ln⁡(b)−ln⁡(a)\ln\left(\frac{a}{b}\right)=\ln(b)-\ln(a)

$$\ln\left(\frac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b)$$

Explication

Le logarithme transforme un quotient de nombres positifs en différence de logarithmes. La somme de logarithmes correspond au logarithme d’un produit, et non d’un quotient.

59. Quelle relation décrit correctement la dérivée de la fonction exponentielle réelle ?

exp⁡′(x)=exp⁡(x)\exp'(x)=\exp(x)
exp⁡′(x)=1x\exp'(x)=\frac{1}{x}
exp⁡′(x)=ln⁡(x)\exp'(x)=\ln(x)
exp⁡′(x)=xexp⁡(x)\exp'(x)=x\exp(x)

$$\exp'(x)=\exp(x)$$

Explication

La fonction exponentielle est définie sur R\mathbb{R} et sa dérivée est égale à elle-même en tout point. La formule 1/x1/x est celle de la dérivée du logarithme népérien sur R+∗\mathbb{R}_+^*.

60. Comment simplifier l’expression exp⁡(a+b)\exp(a+b) pour a,b∈R ?

exp⁡(a)exp⁡(b)\frac{\exp(a)}{\exp(b)}
exp⁡(a)exp⁡(b)\exp(a)\exp(b)
exp⁡(a−b)\exp(a-b)
exp⁡(a)+exp⁡(b)\exp(a)+\exp(b)

$$\exp(a)\exp(b)$$

Explication

L’exponentielle transforme une somme en produit : exp⁡(a+b)=exp⁡(a)exp⁡(b)\exp(a+b)=\exp(a)\exp(b). Une différence dans l’exposant conduit plutôt à un quotient des exponentielles.

61. Que garantit la continuité d’une fonction sur un segment [a,b] ?

La fonction est bornée et atteint un minimum ainsi qu’un maximum sur [a,b]
La fonction est strictement monotone et prend chaque valeur une seule fois
La fonction possède une limite finie aux deux extrémités sans atteindre ses bornes
La fonction est dérivable en tout point intérieur et atteint une seule borne

La fonction est bornée et atteint un minimum ainsi qu’un maximum sur [a,b]

Explication

Le théorème des extrema garantit qu’une fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes, donc possède un minimum et un maximum. La continuité n’implique ni dérivabilité ni stricte monotonie.

62. Si f est continue sur [a,b] et vérifie f(a)f(b)<0, que peut-on affirmer ?

La fonction garde un signe constant entre a et b malgré les valeurs aux extrémités
La fonction possède une dérivée nulle en un point de ]a,b[
Il existe s∈]a,b[ tel que f(s)f(s) atteint nécessairement un maximum
Il existe s∈]a,b[ tel que f(s)=0f(s)=0

Il existe s∈]a,b[ tel que $$f(s)=0$$

Explication

Le changement de signe aux extrémités, combiné à la continuité, implique par le théorème des valeurs intermédiaires l’existence d’un zéro intérieur. Cette conclusion ne porte pas directement sur un extremum ni sur la dérivée.

63. Quelle est l’image d’un segment [a,b] par une fonction continue f ?

Un segment [m,M] dont chaque valeur intermédiaire est atteinte par f
Un ensemble réduit aux valeurs f(a) et f(b), sans valeurs intermédiaires garanties
Un ensemble de valeurs nécessairement distinctes lorsque les points de [a,b] sont distincts
Un intervalle ouvert dont les extrémités sont exclues de l’image

Un segment [m,M] dont chaque valeur intermédiaire est atteinte par f

Explication

La continuité transforme un segment en un segment [m,M], et toute valeur comprise entre m et M possède un antécédent dans [a,b]. L’image n’est donc pas limitée aux valeurs prises aux extrémités.

64. Pourquoi une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I est-elle bijective de I sur f(I) ?

La stricte monotonie garantit l’existence et la continuité garantit que l’image est bornée
La continuité assure l’existence des antécédents et la stricte monotonie leur unicité
La continuité et la stricte monotonie garantissent chacune simultanément existence et unicité
La continuité assure l’unicité des antécédents et la stricte monotonie leur existence

La continuité assure l’existence des antécédents et la stricte monotonie leur unicité

Explication

Sur son image, la continuité fournit l’existence d’un antécédent pour chaque valeur atteinte, tandis que la stricte monotonie empêche deux antécédents distincts d’avoir la même image. Ces deux propriétés donnent donc la bijectivité de I vers f(I).

Révisez avec les flashcards

Mémorisez les réponses avec 83 flashcards sur Continuité et étude des fonctions.

Comment s'écrit un nombre complexe de façon unique ?

z=a+ibz=a+ib avec a,b∈Ra,b\in\mathbb{R} et i2=−1i^2=-1.

Quelle est la partie réelle de z=a+ibz=a+ib ?

a=Re⁡(z)a=\operatorname{Re}(z).

Quelle est la partie imaginaire de z=a+ibz=a+ib ?

b=Im⁡(z)b=\operatorname{Im}(z).

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