Fiche de révision : Continuité et théorème des valeurs intermédiaires

📋 Plan du Cours

1. Définition de la continuité
2. Exemples de discontinuité
3. Fonctions continues usuelles
4. Théorème des valeurs intermédiaires
5. Corollaire et unicité
6. Méthodes et exemples

📖 1. Définition de la continuité

🔑 Notions clés & Définitions

• Continuité : si l’on peut tracer sa courbe représentative sur cet intervalle sans lever le crayon.
• Discontinuité : Une fonction non continue en un réel a est dite discontinue en a.

💡 Astuce mémo

Tracer la courbe sans lever le crayon

📖 2. Exemples de discontinuité

🔑 Notions clés & Définitions

• Partie entière : associe à tout réel x le plus grand entier inférieur ou égal à x.

★ À maîtriser

• La fonction partie entière est discontinue en chaque entier relatif ; par exemple, E(2)=2 tandis que E(1,99)=1.

Compléments

📌 Pour tout réel x, il existe un unique entier relatif n tel que n≤x<n+1 et E(x)=n.

💡 Astuce mémo

Courbe continue d’un seul trait, partie entière en marches

📖 3. Fonctions continues usuelles

★ À maîtriser

• Les fonctions polynômes et la fonction exponentielle sont continues sur R.

• La fonction racine carrée x↦√x est continue sur [0;+∞[.

• La fonction inverse x↦1/x est continue sur ]−∞;0[ et sur ]0;+∞[.

Compléments

📌 Toute fonction définie sur un intervalle I et construite algébriquement à partir des fonctions précédentes est continue sur I.

• La fonction f(x)=(x²−3x+5)/(x−1) est continue sur ]−∞;1[ et sur ]1;+∞[.

📖 4. Théorème des valeurs intermédiaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Théorème des valeurs intermédiaires : Si f est continue sur un intervalle I, si a<b appartiennent à I et si k est compris entre f(a) et f(b), alors l’équation f(x)=k possède au moins une solution c comprise entre a et b.

★ À maîtriser

• Pour utiliser le TVI, il faut établir la continuité de f sur [a;b], vérifier que k est compris entre f(a) et f(b), puis conclure à l’existence d’une solution dans [a;b].

Compléments

• Pour f(x)=x−2√x+3 sur [0;+∞[, on a f(4)=3 et f(9)=6 ; comme 5 est compris entre ces deux valeurs, l’équation f(x)=5 possède au moins une solution dans [4;9].

💡 Astuce mémo

Continuité + valeurs encadrantes → existence d’une solution

📖 5. Corollaire et unicité

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction monotone : Une fonction croissante ou décroissante sur un intervalle I est dite monotone sur I.

★ À maîtriser

📌 Si f est continue et strictement monotone sur [a;b] et si k est compris entre f(a) et f(b), alors l’équation f(x)=k admet une unique solution dans [a;b].

Compléments

• Le corollaire du TVI est aussi appelé TVI pour les fonctions strictement monotones ou théorème de la bijection.

💡 Astuce mémo

TVI : au moins une solution ; corollaire : une seule

📖 6. Méthodes et exemples

📝 Points essentiels

• 🔄 La démonstration suit quatre étapes:

  1. Établir la continuité
  2. Démontrer la stricte monotonie
  3. Vérifier l’encadrement des valeurs
  4. Conclure à l’unicité

• Pour f(x)=e^x+x−2, on a f'(x)=e^x+1>0 pour tout réel x, donc f est strictement croissante sur R.

• Comme f(0)=−1<0 et f(1)=e−1>0, l’équation e^x+x−2=0 admet une unique solution dans (0,1).

💡 Astuce mémo

Continuité → encadrement → monotonicité → conclusion

📊 Tableaux de synthèse

TVI et corollaire du TVI