Continuité et théorème des valeurs intermédiaires

Extrait de la fiche de révision

Plan du Cours

  1. Définition de la continuité
  2. Exemples de discontinuité
  3. Fonctions continues usuelles
  4. Théorème des valeurs intermédiaires
  5. Corollaire et unicité
  6. Méthodes et exemples

1. Définition de la continuité

Notions clés & Définitions

  • Continuité : si l’on peut tracer sa courbe représentative sur cet intervalle sans lever le crayon.
  • Discontinuité : Une fonction non continue en un réel a est dite discontinue en a.

Astuce mémo

Tracer la courbe sans lever le crayon

2. Exemples de discontinuité

Notions clés & Définitions

  • Partie entière : associe à tout réel x le plus grand entier inférieur ou égal à x.

★ À maîtriser

  • La fonction partie entière est discontinue en chaque entier relatif ; par exemple, E(2)=2 tandis que E(1,99)=1.

Compléments

📌 Pour tout réel x, il existe un unique entier relatif n tel que n≤x<n+1 et E(x)=n.

Astuce mémo

Courbe continue d’un seul trait, partie entière en marches

3. Fonctions continues usuelles

★ À maîtriser

  • Les fonctions polynômes et la fonction exponentielle sont continues sur R.

  • La fonction racine carrée x↦√x est continue sur [0;+∞[.

  • La fonction inverse x↦1/x est continue sur ]−∞;0[ et sur ]0;+∞[.

Compléments

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Aperçu du QCM

1. Comment reconnaît-on graphiquement qu’une fonction est continue sur un intervalle ?

2. Comment qualifie-t-on une fonction qui n’est pas continue en un réel aa ?

3. Que représente la partie entière E(x)E(x) d’un réel xx ?

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Aperçu des flashcards

Quelle condition caractérise la continuité d'une fonction sur un intervalle ?

On peut tracer sa courbe sans lever le crayon.

Comment appelle-t-on une fonction non continue en un réel a ?

Une fonction discontinue en a.

Qu'est-ce que la partie entière E d'un réel x ?

Le plus grand entier inférieur ou égal à x.

En quels points la fonction partie entière est-elle discontinue ?

En chaque entier relatif.

Que vaut E(2) et E(1,99) ?

E(2)=2 et E(1,99)=1.

Quelle condition unique relie un réel x à un entier relatif n selon la partie entière ?

Il existe un unique n tel que n≤x<n+1 et E(x)=n.

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Questions fréquentes

Que contient la fiche de révision sur Continuité et théorème des valeurs intermédiaires ?

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