QCM : Continuité et théorème des valeurs intermédiaires — 14 questions

Question 1

1. Comment reconnaît-on graphiquement qu’une fonction est continue sur un intervalle ?

Sa courbe reste située du même côté de l’axe des abscisses sur cet intervalle

Sa courbe possède une pente constante sur cet intervalle

Sa courbe peut être tracée sans lever le crayon sur cet intervalle

Sa courbe traverse chaque axe au moins une fois sur cet intervalle

Explication

La continuité sur un intervalle se traduit graphiquement par la possibilité de tracer la courbe sans interruption ni lever le crayon. Une pente constante ou une position particulière par rapport aux axes n’est pas requise pour assurer la continuité.

Answer

Sa courbe peut être tracée sans lever le crayon sur cet intervalle

Question 2

2. Comment qualifie-t-on une fonction qui n’est pas continue en un réel $a$ ?

Elle est discontinue en

a

Elle est croissante au point

a

Elle est dérivable au point

a

Elle est bornée au point

a

Explication

Par définition, une fonction qui n’est pas continue en $a$ est dite discontinue en $a$ . La croissance, la bornitude et la dérivabilité sont d’autres propriétés qui ne définissent pas cette situation.

Answer

Elle est discontinue en $$a$$

Question 3

3. Que représente la partie entière $E(x)$ d’un réel $x$ ?

Le plus petit entier strictement supérieur à

x

Le plus grand entier inférieur ou égal à

x

L’entier le plus proche de

x

La partie décimale située après la virgule de

x

Explication

La partie entière associe à chaque réel le plus grand entier qui lui est inférieur ou égal. L’entier le plus proche correspond à une idée d’arrondi, tandis que la partie décimale ne désigne pas un entier.

Answer

Le plus grand entier inférieur ou égal à $$x$$

Question 4

4. Pourquoi la fonction partie entière est-elle discontinue en l’entier $2$ ?

Parce que

E(2)=2

alors que

E(1,99)=1

Parce que

E(1,99)=2

alors que

E(2)=1

Parce que

E(2)=1

alors que

E(2,01)=2

Parce que

E(2)=2

alors que

E(2,01)=3

Explication

À l’entier $2$ , la valeur de la fonction passe de $1$ juste à gauche à $2$ au point considéré, ce qui crée une rupture. Les autres égalités proposées contredisent la définition de la partie entière.

Answer

Parce que $$E(2)=2$$ alors que $$E(1,99)=1$$

Question 5

5. Laquelle de ces affirmations décrit correctement la continuité des polynômes et de la fonction exponentielle ?

Ces fonctions sont continues sur

[0;+\infty[

, mais leur continuité n’est pas établie sur les réels négatifs

La fonction exponentielle est continue sur

\mathbb{R}

, mais les polynômes sont discontinus en leurs racines

Les fonctions polynômes et la fonction exponentielle sont continues sur

\mathbb{R}

Les fonctions polynômes sont continues sur

\mathbb{R}

, mais l’exponentielle ne l’est pas en

0

Explication

Toutes les fonctions polynômes ainsi que la fonction exponentielle sont continues sur $\mathbb{R}$ . La confusion avec la fonction inverse vient du fait que cette dernière n’est pas définie en $0$ .

Answer

Les fonctions polynômes et la fonction exponentielle sont continues sur $$\mathbb{R}$$

Question 6

6. Sur quel ensemble la fonction $x\mapsto\sqrt{x}$ est-elle continue ?

Sur

[0;+\infty[

Sur

\mathbb{R}

Sur

]-\infty;0[

Sur

]-\infty;+\infty[

privé de

1

Explication

La fonction racine carrée est définie et continue sur l’ensemble des réels positifs ou nuls, soit $[0;+\infty[$ . Elle n’est pas définie pour les réels négatifs, ce qui empêche d’affirmer sa continuité sur $\mathbb{R}$ .

Answer

Sur $$[0;+\infty[$$

Question 7

7. Sur quels intervalles la fonction $f(x)=\frac{x^2-3x+5}{x-1}$ est-elle continue ?

Sur

]-\infty;0[

et sur

]0;1[

Sur

\mathbb{R}

, y compris en

1

Sur

]-\infty;1[

et sur

]1;+\infty[

Sur

[0;+\infty[

et sur

]-\infty;0[

Explication

Le numérateur est un polynôme et le dénominateur est une fonction affine, donc leur quotient est continu là où le dénominateur ne s’annule pas. Comme $x-1=0$ pour $x=1$ , les intervalles de continuité sont $]-\infty;1[$ et $]1;+\infty[$ .

Answer

Sur $$]-\infty;1[$$ et sur $$]1;+\infty[$$

Question 8

8. Que garantit le théorème des valeurs intermédiaires lorsque les hypothèses nécessaires sont vérifiées pour une équation $f(x)=k$ ?

L’absence de solution aux extrémités de l’intervalle

L’existence d’au moins une solution dans l’intervalle considéré

La stricte monotonie de la fonction sur l’intervalle

L’existence d’une solution unique dans l’intervalle considéré

Explication

La continuité et l’encadrement de $k$ entre les valeurs aux extrémités garantissent qu’au moins une solution existe. La solution n’est pas forcément unique, car cette conclusion exige une condition supplémentaire de stricte monotonie.

Answer

L’existence d’au moins une solution dans l’intervalle considéré

Question 9

9. Quelle démarche permet d’appliquer correctement le théorème des valeurs intermédiaires sur l’intervalle $[a;b]$ ?

Établir la dérivabilité, calculer les variations, puis conclure à l’unicité

Calculer une valeur approchée, étudier le signe, puis conclure à la continuité

Établir la continuité, encadrer

k

par les valeurs aux extrémités, puis conclure à l’existence

Vérifier la stricte monotonie, comparer les dérivées, puis conclure à l’existence

Explication

L’application du théorème repose sur la continuité sur $[a;b]$ et sur le fait que $k$ soit compris entre $f(a)$ et $f(b)$ . L’étude de la dérivée et de la monotonie n’est pas nécessaire pour établir la simple existence.

Answer

Établir la continuité, encadrer $$k$$ par les valeurs aux extrémités, puis conclure à l’existence

Question 10

10. Quelle condition supplémentaire permet de passer de l’existence d’une solution à son unicité dans le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires ?

La connaissance d’une valeur exacte de la solution

La positivité de la fonction sur tout l’intervalle

La dérivabilité de la fonction aux extrémités

La stricte monotonie de la fonction sur l’intervalle

Explication

Une fonction continue et strictement monotone ne peut prendre une même valeur qu’une seule fois, ce qui donne l’unicité. La continuité et l’encadrement suffisent à l’existence, mais ne suffisent pas à eux seuls à l’unicité.

Answer

La stricte monotonie de la fonction sur l’intervalle

Question 11

11. Quelle appellation désigne également le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires pour les fonctions strictement monotones ?

Le théorème de Rolle

Le théorème des accroissements finis

Le théorème de la valeur moyenne

Le théorème de la bijection

Explication

Le corollaire considéré est aussi appelé théorème de la bijection pour les fonctions strictement monotones. Le théorème des valeurs intermédiaires général garantit une existence, sans fournir nécessairement l’unicité.

Answer

Le théorème de la bijection

Question 12

12. Pour démontrer qu’une équation possède une unique solution grâce au corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, quel enchaînement faut-il suivre ?

Établir l’encadrement, trouver une solution numérique et vérifier sa dérivée, puis conclure à l’existence

Prouver la dérivabilité, calculer une primitive et encadrer la dérivée, puis conclure à l’unicité

Étudier le signe aux extrémités, choisir une valeur approchée et démontrer la continuité, puis conclure

Prouver la continuité, la stricte monotonie et l’encadrement, puis conclure à l’unicité

Explication

La continuité et l’encadrement assurent l’existence, tandis que la stricte monotonie ajoute l’unicité. Une approximation numérique ou le calcul d’une primitive ne remplace pas ces trois vérifications.

Answer

Prouver la continuité, la stricte monotonie et l’encadrement, puis conclure à l’unicité

Question 13

13. Pourquoi la fonction $f(x)=e^x+x-2$ est-elle strictement croissante sur $\mathbb{R}$ ?

Parce que la fonction

x\mapsto e^x+x-2

est continue sur

\mathbb{R}

Parce que

f(x)

est strictement positif pour tout réel

x

Parce que

f'(x)=e^x+1

est strictement positif pour tout réel

x

Parce que

e^x+x-2

possède une unique valeur nulle sur

\mathbb{R}

Explication

La dérivée vérifie $f'(x)=e^x+1>0$ pour tout réel, donc la fonction est strictement croissante. La continuité seule garantit une propriété d’existence, mais elle ne suffit pas à établir la stricte croissance.

Answer

Parce que $$f'(x)=e^x+1$$ est strictement positif pour tout réel $$x$$

Question 14

14. Que peut-on conclure des valeurs $f(0)=-1<0$ et $f(1)=e-1>0$ pour $f(x)=e^x+x-2$ ?

L’équation ne possède aucune solution dans l’intervalle fermé

[0;1]

L’équation possède une unique solution dans l’intervalle

(-1;0)

L’équation possède au moins deux solutions dans l’intervalle ouvert

(0;1)

L’équation possède une unique solution dans l’intervalle ouvert

(0;1)

Explication

Le changement de signe entre $0$ et $1$ donne l’existence d’une solution dans $(0;1)$ , et la stricte croissance de la fonction assure qu’elle est unique. Les valeurs aux bornes ne suffiraient pas à établir l’unicité sans cette monotonie.

Answer

L’équation possède une unique solution dans l’intervalle ouvert $$(0;1)$$

QCM : Continuité et théorème des valeurs intermédiaires — 14 questions

Questions et réponses du QCM

1. Comment reconnaît-on graphiquement qu’une fonction est continue sur un intervalle ?

2. Comment qualifie-t-on une fonction qui n’est pas continue en un réel $a$ ?

3. Que représente la partie entière $E(x)$ d’un réel $x$ ?

4. Pourquoi la fonction partie entière est-elle discontinue en l’entier $2$ ?

5. Laquelle de ces affirmations décrit correctement la continuité des polynômes et de la fonction exponentielle ?

6. Sur quel ensemble la fonction $x\mapsto\sqrt{x}$ est-elle continue ?

7. Sur quels intervalles la fonction $f(x)=\frac{x^2-3x+5}{x-1}$ est-elle continue ?

8. Que garantit le théorème des valeurs intermédiaires lorsque les hypothèses nécessaires sont vérifiées pour une équation $f(x)=k$ ?

9. Quelle démarche permet d’appliquer correctement le théorème des valeurs intermédiaires sur l’intervalle $[a;b]$ ?

10. Quelle condition supplémentaire permet de passer de l’existence d’une solution à son unicité dans le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires ?

11. Quelle appellation désigne également le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires pour les fonctions strictement monotones ?

12. Pour démontrer qu’une équation possède une unique solution grâce au corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, quel enchaînement faut-il suivre ?

13. Pourquoi la fonction $f(x)=e^x+x-2$ est-elle strictement croissante sur $\mathbb{R}$ ?

14. Que peut-on conclure des valeurs $f(0)=-1<0$ et $f(1)=e-1>0$ pour $f(x)=e^x+x-2$ ?

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QCM : Continuité et théorème des valeurs intermédiaires — 14 questions

Questions et réponses du QCM

1. Comment reconnaît-on graphiquement qu’une fonction est continue sur un intervalle ?

2. Comment qualifie-t-on une fonction qui n’est pas continue en un réel aaa ?

3. Que représente la partie entière E(x)E(x)E(x) d’un réel xxx ?

4. Pourquoi la fonction partie entière est-elle discontinue en l’entier 222 ?

5. Laquelle de ces affirmations décrit correctement la continuité des polynômes et de la fonction exponentielle ?

6. Sur quel ensemble la fonction x↦xx\mapsto\sqrt{x}x↦x​ est-elle continue ?

7. Sur quels intervalles la fonction f(x)=x2−3x+5x−1f(x)=\frac{x^2-3x+5}{x-1}f(x)=x−1x2−3x+5​ est-elle continue ?

8. Que garantit le théorème des valeurs intermédiaires lorsque les hypothèses nécessaires sont vérifiées pour une équation f(x)=kf(x)=kf(x)=k ?

9. Quelle démarche permet d’appliquer correctement le théorème des valeurs intermédiaires sur l’intervalle [a;b][a;b][a;b] ?

10. Quelle condition supplémentaire permet de passer de l’existence d’une solution à son unicité dans le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires ?

11. Quelle appellation désigne également le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires pour les fonctions strictement monotones ?

12. Pour démontrer qu’une équation possède une unique solution grâce au corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, quel enchaînement faut-il suivre ?

13. Pourquoi la fonction f(x)=ex+x−2f(x)=e^x+x-2f(x)=ex+x−2 est-elle strictement croissante sur R\mathbb{R}R ?

14. Que peut-on conclure des valeurs f(0)=−1<0f(0)=-1<0f(0)=−1<0 et f(1)=e−1>0f(1)=e-1>0f(1)=e−1>0 pour f(x)=ex+x−2f(x)=e^x+x-2f(x)=ex+x−2 ?

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2. Comment qualifie-t-on une fonction qui n’est pas continue en un réel $a$ ?

3. Que représente la partie entière $E(x)$ d’un réel $x$ ?

4. Pourquoi la fonction partie entière est-elle discontinue en l’entier $2$ ?

6. Sur quel ensemble la fonction $x\mapsto\sqrt{x}$ est-elle continue ?

7. Sur quels intervalles la fonction $f(x)=\frac{x^2-3x+5}{x-1}$ est-elle continue ?

8. Que garantit le théorème des valeurs intermédiaires lorsque les hypothèses nécessaires sont vérifiées pour une équation $f(x)=k$ ?

9. Quelle démarche permet d’appliquer correctement le théorème des valeurs intermédiaires sur l’intervalle $[a;b]$ ?

13. Pourquoi la fonction $f(x)=e^x+x-2$ est-elle strictement croissante sur $\mathbb{R}$ ?

14. Que peut-on conclure des valeurs $f(0)=-1<0$ et $f(1)=e-1>0$ pour $f(x)=e^x+x-2$ ?