Fiche de révision : Continuité et théorèmes associés

📋 Plan du Cours

1. Définition et propriétés de continuité
2. Continuité des fonctions usuelles
3. Opérations et fonctions par morceaux
4. Théorème des valeurs intermédiaires
5. Démontrer existence et unicité
6. Continuité et suites récurrentes

📖 1. Définition et propriétés de continuité

🔑 Notions clés & Définitions

• Continuité en un point : Une fonction f définie au voisinage de a est continue en a si $\lim_{x\to a} f(x)=f(a)$.
• Continuité sur un intervalle : Une fonction est continue en tout point de I.

★ À maîtriser

📌 Si une fonction est dérivable sur un intervalle I, alors elle est continue sur I.

Compléments

• Graphiquement, une fonction continue sur un intervalle a une courbe représentative que l’on peut tracer sans lever le crayon.

• Karl Weierstrass (1815 ; 1897), mathématicien allemand, apporte les premières définitions rigoureuses du concept de limite et de continuité.

💡 Astuce mémo

Imagine une courbe que le crayon peut suivre sans être levé.

📖 2. Continuité des fonctions usuelles

★ À maîtriser

• La fonction valeur absolue est continue sur ℝ.

• Les fonctions puissance $x^n$, pour n ∈ ℕ, et les fonctions polynômes sont continues sur ℝ.

Compléments

• La fonction exponentielle est continue sur ℝ.

• La fonction racine carrée est continue sur [0 ; +∞[.

• La fonction inverse est continue sur ]−∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[.

• Les fonctions sinus et cosinus sont continues sur ℝ.

📖 3. Opérations et fonctions par morceaux

★ À maîtriser

📌 Si f et g sont continues sur I, alors f + g, f × g, f^n pour n ∈ ℕ et e^g sont continues sur I.

📌 Si f et g sont continues sur I et si g ne s’annule pas sur I, alors f/g est continue sur I.

• Pour étudier la continuité d’une fonction définie par morceaux, on vérifie d’abord sa continuité sur chaque intervalle où une même expression s’applique, puis on compare les limites à gauche et à droite aux points de raccordement avec la valeur de la fonction.

Compléments

📌 Si f est continue et positive sur I, alors √f est continue sur I.

• Dans l’exemple de fonction définie par morceaux, les limites à gauche et à droite en 3 valent −1 et f(3)=−1, tandis qu’en 5 elles valent respectivement 1 et 3, donc la fonction est continue en 3 mais pas en 5.

📖 4. Théorème des valeurs intermédiaires

★ À maîtriser

📌 Si f est continue sur [a ; b], alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l’équation f(x)=k admet au moins une solution entre a et b.

📌 Si, en plus, f est strictement monotone sur [a ; b], la solution de f(x)=k est unique.

Compléments

• Un tableau de variations permet de lire le nombre de solutions éventuelles de l’équation f(x)=k selon les valeurs prises par f sur les intervalles considérés.

📖 5. Démontrer existence et unicité

★ À maîtriser

• Pour démontrer que f(x)=0 admet une unique solution sur [a ; b], on établit que f est continue sur [a ; b], qu’elle change de signe sur [a ; b] et qu’elle est strictement monotone sur [a ; b].

• La continuité et le changement de signe assurent l’existence d’une solution, tandis que la stricte monotonie supplémentaire en assure l’unicité.

Compléments

• Pour f(x)=x^3−x^2−1, on a f(1)=−1 et f(2)=3, et f est strictement croissante sur [1 ; 2] ; l’équation f(x)=0 y admet donc une unique solution α.

• Pour cette solution α, les évaluations f(1,46)≈−0,019 et f(1,47)≈0,0156 donnent l’encadrement 1,46<α<1,47.

• Pour f(x)=x^3−4x^2+6, les valeurs f(−1)=1 et f(4)=6 encadrent 2, donc f(x)=2 admet au moins une solution sur [−1 ; 4], sans que l’unicité soit établie.

💡 Astuce mémo

Continuité + changement de signe → existence ; monotonie stricte en plus → unicité.

📖 6. Continuité et suites récurrentes

★ À maîtriser

📌 Si f est continue sur un intervalle I, si u_n∈I pour tout n et si u_{n+1}=f(u_n), alors toute limite L∈I de la suite convergente (u_n) vérifie f(L)=L.

Compléments

• Pour construire graphiquement les termes d’une suite définie par u_{n+1}=f(u_n), on reporte alternativement les images par f et les valeurs sur la droite y=x afin de former un tracé en escalier.

• Pour la suite définie par u_0=8 et u_{n+1}=0,85u_n+1,8, si elle converge vers L, alors 0,85L+1,8=L, d’où L=12.

💡 Astuce mémo

Récurrence dans un intervalle → convergence → limite point fixe.