Fiche de révision : Continuité des fonctions

📋 Plan du Cours

1. Continuité graphique et en un point
2. Fonctions de référence continues
3. Opérations sur les fonctions continues
4. Théorème des valeurs intermédiaires

📖 1. Continuité graphique et en un point

🔑 Notions clés & Définitions

• Continuité en un point : Une fonction f définie en a est continue en a si $\lim_{x\to a} f(x)=f(a)$.
• Continuité sur un intervalle : Continue en tout point de I.

📝 Points essentiels

📌 Graphiquement, une fonction semble continue sur un intervalle lorsque sa courbe peut être tracée sans lever le crayon.

• Sur [-2 ; 2], la courbe de f semble continue, tandis que celle de g ne l’est pas sur tout l’intervalle, mais semble continue sur [-2 ; 1] et sur ]1 ; 2].

💡 Astuce mémo

Une courbe continue se trace d’un seul trait, sans lever le crayon.

📖 2. Fonctions de référence continues

★ À maîtriser

• Les fonctions suivantes sont continues sur ℝ :
  • valeur absolue
  • puissance entière positive ou nulle
  • polynôme
  • exponentielle
  • sinus
  • cosinus

Compléments

• La fonction racine carrée est continue sur [0 ; +∞[.

• La fonction inverse est continue sur ]−∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[.

📖 3. Opérations sur les fonctions continues

★ À maîtriser

📌 Si f et g sont continues sur un intervalle I, alors f + g, f × g, fⁿ pour n ∈ ℕ et eᶠ sont continues sur I.

📌 Si f et g sont continues sur I et si g ne s’annule pas sur I, alors f/g est continue sur I.

Compléments

📌 Si f est continue et positive sur I, alors √f est continue sur I.

📖 4. Théorème des valeurs intermédiaires

📝 Points essentiels

📌 Si f est continue sur [a ; b], alors, pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l’équation f(x)=k admet au moins une solution dans [a ; b].

📌 Si f est strictement monotone sur [a ; b] dans les conditions du théorème des valeurs intermédiaires, la solution de f(x)=k est unique.