QCM : Continuité des fonctions (8 questions)

Question 1

1. Une fonction $f$ est définie en $a$ et sa limite lorsque $x$ tend vers $a$ vaut $3$ . Quelle valeur doit avoir $f(a)$ pour que $f$ soit continue en $a$ ?

3

0

Une valeur infinie

-3

Explication

La continuité en $a$ exige que la limite de $f(x)$ en $a$ soit égale à $f(a)$ ; ici, $f(a)$ doit donc valoir $3$ . La valeur $0$ est arbitraire, $-3$ inverse le signe et une limite infinie ne satisfait pas cette égalité.

Answer

$$h$$ est continue sur $$I$$

Answer

$$x\mapsto \sin x$$

Answer

$$[0;+\infty[$$

Answer

Le quotient est continu si le dénominateur ne s’annule pas sur l’intervalle.

Answer

Elle admet au moins une solution dans $$[a;b]$$.

Answer

Il sert à repérer les intervalles où la fonction semble continue.

Answer

La racine carrée est continue sur $$[0;+[$$ et l’inverse sur chacun des intervalles $$]-;0[$$ et $$]0;+[$$.

Question 2

2. Une fonction $h$ est continue en chaque point de l’intervalle $I=[-1;4]$ . Que peut-on conclure sur sa continuité sur $I$ ?

h

est continue sur un intervalle plus vaste que

I

La continuité de

h

sur

I

reste indéterminée

h

est continue seulement aux extrémités de

I

h

est continue sur

I

Explication

Une fonction est continue sur un intervalle lorsqu’elle est continue en tout point de cet intervalle. La continuité aux seules extrémités ne suffit pas, et rien ne permet de conclure à sa continuité hors de $I$ .

Question 3

3. Parmi les fonctions suivantes, laquelle est assurée continue sur tout $\mathbb{R}$ par les propriétés des fonctions de référence ?

x\mapsto \frac{1}{x}

x\mapsto \sin x

x\mapsto \sqrt{x}

x\mapsto \frac{x+1}{x-2}

Explication

La fonction sinus est continue sur $\mathbb{R}$ . La racine carrée est continue sur $[0;+\infty[$ , tandis que la fonction inverse et la fonction rationnelle proposée ne sont pas définies sur toute la droite réelle.

Question 4

4. Un technicien modélise une grandeur par $r(t)=\sqrt{t}$ pour des durées $t\geq 0$ . Sur quel intervalle peut-il affirmer que cette fonction est continue ?

]-\infty;0]

[0;+\infty[

]0;+\infty[

]-\infty;0[\ \text{et}\ ]0;+\infty[

Explication

La fonction racine carrée est continue sur $[0;+\infty[$ , y compris en $0$ . Les durées négatives ne font pas partie de son domaine réel, et l’intervalle excluant $0$ est inutilement restreint.

Question 5

5. Que désigne la propriété selon laquelle deux fonctions continues sur un intervalle permettent de former une fonction quotient continue sur cet intervalle ?

Le quotient est continu si le dénominateur est monotone sur l’intervalle.

Le quotient est continu lorsque les deux fonctions sont strictement positives.

Le quotient est continu si le dénominateur ne s’annule pas sur l’intervalle.

Le quotient est continu si le numérateur ne s’annule pas sur l’intervalle.

Explication

La continuité du quotient est garantie lorsque les deux fonctions sont continues et que le dénominateur ne s’annule pas sur l’intervalle. La non-annulation du numérateur, à elle seule, ne suffit pas à assurer cette propriété.

Question 6

6. Si une fonction continue sur $[a;b]$ prend les valeurs $2$ et $7$ aux extrémités, que garantit le théorème des valeurs intermédiaires pour l’équation $f(x)=5$ ?

Elle admet une solution uniquement si elle est strictement monotone.

Elle admet au moins une solution dans

[a;b]

.

Elle admet exactement deux solutions dans

[a;b]

.

Elle n’admet une solution que si

5

est une valeur à une extrémité.

Explication

La continuité sur $[a;b]$ garantit que toute valeur comprise entre $f(a)$ et $f(b)$ est atteinte au moins une fois. La stricte monotonie permettrait de conclure à l’unicité, mais elle n’est pas nécessaire pour assurer l’existence d’une solution.

Question 7

7. Quel rôle joue le tracé « sans lever le crayon » pour représenter graphiquement une fonction ?

Il montre que la fonction possède une dérivée en chaque point.

Il sert à repérer les intervalles où la fonction semble continue.

Il permet de déterminer les valeurs exactes prises par la fonction.

Il indique que la fonction est strictement monotone sur l’intervalle.

Explication

Un tracé réalisable d’un seul trait constitue un indice graphique de continuité sur l’intervalle considéré. Il ne permet pas, à lui seul, de conclure à la monotonie de la fonction.

Question 8

8. Quelle différence de domaine de continuité distingue la fonction racine carrée de la fonction inverse parmi les fonctions de référence ?

La racine carrée est continue sur

[0;+[

et l’inverse sur chacun des intervalles

]-;0[

et

]0;+[

.

La racine carrée est continue sur

\mathbb{R}

et l’inverse sur chacun des intervalles

]-\infty;0[

et

]0;+\infty[

.

La racine carrée est continue sur

[0;+[

et l’inverse sur

\mathbb{R}

privé de ses valeurs positives.

La racine carrée est continue sur

]0;+[

et l’inverse sur

]-;0]

et

[0;+[

.

Explication

La racine carrée est continue à partir de zéro, tandis que la fonction inverse est continue séparément sur les deux intervalles délimités par zéro. Contrairement à l’inverse, la racine carrée n’est pas définie sur les réels négatifs.

QCM : Continuité des fonctions (8 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Une fonction $f$ est définie en $a$ et sa limite lorsque $x$ tend vers $a$ vaut $3$ . Quelle valeur doit avoir $f(a)$ pour que $f$ soit continue en $a$ ?

2. Une fonction $h$ est continue en chaque point de l’intervalle $I=[-1;4]$ . Que peut-on conclure sur sa continuité sur $I$ ?

3. Parmi les fonctions suivantes, laquelle est assurée continue sur tout $\mathbb{R}$ par les propriétés des fonctions de référence ?

4. Un technicien modélise une grandeur par $r(t)=\sqrt{t}$ pour des durées $t\geq 0$ . Sur quel intervalle peut-il affirmer que cette fonction est continue ?

5. Que désigne la propriété selon laquelle deux fonctions continues sur un intervalle permettent de former une fonction quotient continue sur cet intervalle ?

6. Si une fonction continue sur $[a;b]$ prend les valeurs $2$ et $7$ aux extrémités, que garantit le théorème des valeurs intermédiaires pour l’équation $f(x)=5$ ?

7. Quel rôle joue le tracé « sans lever le crayon » pour représenter graphiquement une fonction ?

8. Quelle différence de domaine de continuité distingue la fonction racine carrée de la fonction inverse parmi les fonctions de référence ?

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Questions et réponses du QCM

1. Une fonction fff est définie en aaa et sa limite lorsque xxx tend vers aaa vaut 333. Quelle valeur doit avoir f(a)f(a)f(a) pour que fff soit continue en aaa ?

2. Une fonction hhh est continue en chaque point de l’intervalle I=[−1;4]I=[-1;4]I=[−1;4]. Que peut-on conclure sur sa continuité sur III ?

3. Parmi les fonctions suivantes, laquelle est assurée continue sur tout R\mathbb{R}R par les propriétés des fonctions de référence ?

4. Un technicien modélise une grandeur par r(t)=tr(t)=\sqrt{t}r(t)=t​ pour des durées t≥0t\geq 0t≥0. Sur quel intervalle peut-il affirmer que cette fonction est continue ?

5. Que désigne la propriété selon laquelle deux fonctions continues sur un intervalle permettent de former une fonction quotient continue sur cet intervalle ?

6. Si une fonction continue sur [a;b][a;b][a;b] prend les valeurs 222 et 777 aux extrémités, que garantit le théorème des valeurs intermédiaires pour l’équation f(x)=5f(x)=5f(x)=5 ?

7. Quel rôle joue le tracé « sans lever le crayon » pour représenter graphiquement une fonction ?

8. Quelle différence de domaine de continuité distingue la fonction racine carrée de la fonction inverse parmi les fonctions de référence ?

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2. Une fonction $h$ est continue en chaque point de l’intervalle $I=[-1;4]$ . Que peut-on conclure sur sa continuité sur $I$ ?

3. Parmi les fonctions suivantes, laquelle est assurée continue sur tout $\mathbb{R}$ par les propriétés des fonctions de référence ?

4. Un technicien modélise une grandeur par $r(t)=\sqrt{t}$ pour des durées $t\geq 0$ . Sur quel intervalle peut-il affirmer que cette fonction est continue ?

6. Si une fonction continue sur $[a;b]$ prend les valeurs $2$ et $7$ aux extrémités, que garantit le théorème des valeurs intermédiaires pour l’équation $f(x)=5$ ?