QCM : Continuité et théorèmes associés (14 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Une fonction f est définie au voisinage de a. Quelle condition caractérise sa continuité en a ?

lim⁡x→af′(x)=f(a)\lim_{x\to a} f'(x)=f(a)
lim⁡x→af(x)=0\lim_{x\to a} f(x)=0
lim⁡x→af(x)=f(a+1)\lim_{x\to a} f(x)=f(a+1)
lim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x\to a} f(x)=f(a)

$$\lim_{x\to a} f(x)=f(a)$$

Explication

La continuité en a signifie que la limite de f(x) lorsque x tend vers a est égale à f(a). La valeur en un point voisin, la limite nulle et la dérivée ne sont pas la condition définissant la continuité.

2. Une fonction h est continue en chaque point de l’intervalle [−2;4][-2;4]. Quelle conclusion peut-on tirer ?

h est dérivable sur [−2;4][-2;4]
h est continue sur [−2;4][-2;4]
h est monotone sur [−2;4][-2;4]
h est continue seulement sur ]−2;4[]-2;4[

h est continue sur $$[-2;4]$$

Explication

Une fonction est continue sur un intervalle lorsqu’elle est continue en tout point de cet intervalle. La continuité n’implique pas la dérivabilité ni la monotonie, et la définition inclut les points de l’intervalle considéré.

3. Une fonction p est dérivable sur l’intervalle ]1;6[]1;6[. Quelle propriété garantit-on pour p sur cet intervalle ?

p est discontinue en tout point de ]1;6[]1;6[
p est strictement croissante sur ]1;6[]1;6[
p est dérivable sur [1;6][1;6]
p est continue sur ]1;6[]1;6[

p est continue sur $$]1;6[$$

Explication

Toute fonction dérivable sur un intervalle y est continue. La réciproque n’est pas garantie, et la dérivabilité n’impose ni monotonie ni une propriété aux points extérieurs à l’intervalle.

4. On considère la fonction u(x)=∣x−3∣u(x)=|x-3| pour tout réel x. Sur quel ensemble u est-elle continue ?

Sur ]−∞;3]]-\infty;3]
Sur R\mathbb{R}
Sur [3;+∞[[3;+\infty[
Sur R∖{3}\mathbb{R}\setminus\{3\}

Sur $$\mathbb{R}$$

Explication

La fonction valeur absolue est continue sur R\mathbb{R}, donc son décalage ∣x−3∣|x-3| l’est aussi. La restriction à un demi-axe évoque à tort le domaine de la racine carrée, et le point x=3 ne crée pas de rupture.

5. Un ingénieur modélise un phénomène par le polynôme P(x)=2x5−3x2+7P(x)=2x^5-3x^2+7. Sur quel ensemble peut-il affirmer que P est continue ?

Sur R\mathbb{R}
Sur R∖{0}\mathbb{R}\setminus\{0\}
Sur [−1;1][-1;1]
Sur [0;+∞[[0;+\infty[

Sur $$\mathbb{R}$$

Explication

Les fonctions polynômes sont continues sur R\mathbb{R}, donc P est continue pour tout réel. Une restriction aux x positifs correspond plutôt au domaine de la racine carrée; ni l’exposant ni le passage par zéro ne limitent la continuité d’un polynôme.

6. Sur un intervalle I, les fonctions continues f et g sont définies par f(x)=x² et g(x)=sin(x). Quelle propriété permet de conclure que h(x)=f(x)+g(x) est continue sur I ?

Le quotient de deux fonctions continues est continu.
La somme est continue seulement si les fonctions sont dérivables.
La somme de deux fonctions continues est continue.
La somme est continue si la seconde fonction ne s’annule pas.

La somme de deux fonctions continues est continue.

Explication

La somme de deux fonctions continues sur le même intervalle y est continue. La règle du quotient concerne f/g, la dérivabilité est une condition inutile ici, et la non-annulation concerne le dénominateur d’un quotient.

7. Sur un intervalle I, f et g sont continues et g(x) ne s’annule pas pour x dans I. Quelle conclusion peut-on tirer pour la fonction h(x)=f(x)/g(x) ?

h est continue sur I seulement si f est positive.
h est continue sur I.
h est continue sur I même si g s’annule.
h est continue sur I si f et g sont dérivables.

h est continue sur I.

Explication

Le quotient de deux fonctions continues est continu sur l’intervalle où le dénominateur ne s’annule pas. La positivité de f concerne la racine carrée, une annulation de g invalide la règle, et la dérivabilité n’est pas requise.

8. Une fonction est définie par deux expressions sur des intervalles adjacents, avec un raccordement en c. Quelle démarche permet de vérifier sa continuité en c ?

Étudier la continuité sur chaque intervalle, puis comparer seulement les deux limites latérales.
Étudier la formule à droite de c, puis comparer sa limite à la valeur en c.
Étudier la continuité sur chaque intervalle, puis comparer les limites latérales à la valeur en c.
Étudier la continuité sur chaque intervalle sans examiner le raccordement en c.

Étudier la continuité sur chaque intervalle, puis comparer les limites latérales à la valeur en c.

Explication

Pour une fonction par morceaux, on vérifie d’abord la continuité sur chaque intervalle de définition d’une même expression, puis on compare les limites à gauche et à droite avec f(c). Comparer seulement les limites omet la valeur en c, tandis que l’examen d’un seul côté ou l’oubli du raccordement laisse une vérification incomplète.

9. Une fonction f est continue sur [2 ; 6], avec f(2)=−4 et f(6)=5. Que peut-on conclure pour l’équation f(x)=1 sur cet intervalle ?

Elle admet au moins une solution dans [2 ; 6].
Elle n’admet une solution que si 1 est strictement entre f(2) et f(6).
Elle admet une solution quelle que soit la valeur choisie à droite.
Elle admet exactement une solution dans [2 ; 6].

Elle admet au moins une solution dans [2 ; 6].

Explication

Comme 1 est compris entre f(2)=−4 et f(6)=5, la continuité garantit au moins une solution dans l’intervalle. L’unicité exige en plus une stricte monotonie, et une valeur aux bornes peut aussi être atteinte.

10. Sur [a ; b], une fonction f est continue et strictement décroissante, et k est compris entre f(a) et f(b). Combien de solutions l’équation f(x)=k possède-t-elle sur cet intervalle ?

Aucune solution, car f est décroissante.
Au moins une solution, sans garantie d’unicité.
Au moins deux solutions.
Une unique solution.

Une unique solution.

Explication

La continuité garantit l’existence d’une solution pour une valeur comprise entre f(a) et f(b), et la stricte monotonie garantit qu’il ne peut y en avoir qu’une. La décroissance stricte n’empêche pas l’existence, et la stricte monotonie ajoute l’unicité.

11. Une fonction continue sur [−2;3][-2;3] prend des valeurs de signes opposés aux extrémités et est strictement décroissante sur cet intervalle. Quelle conclusion peut-on tirer pour l’équation f(x)=0f(x)=0 sur [−2;3][-2;3] ?

Elle admet plusieurs solutions, sans nombre précisé.
Elle admet au moins une solution, sans unicité garantie.
Elle admet une unique solution.
Elle n’admet aucune solution sur cet intervalle.

Elle admet une unique solution.

Explication

La continuité et le changement de signe assurent l’existence d’une solution, et la stricte monotonie garantit qu’elle est unique. Le changement de signe seul ne prouve pas l’unicité, l’absence de continuité fragilise l’existence, et la stricte décroissance n’empêche pas une solution.

12. Sur un intervalle, une fonction continue prend des valeurs de signes opposés aux extrémités, mais aucune monotonie n’a été établie. Quelle conclusion est justifiée pour ses zéros dans cet intervalle ?

Il n’existe aucun zéro, car la monotonie manque.
Il existe exactement un zéro, car les valeurs ont des signes opposés.
Il existe au moins un zéro, mais son unicité n’est pas établie.
Il existe plusieurs zéros, car la fonction n’est pas monotone.

Il existe au moins un zéro, mais son unicité n’est pas établie.

Explication

La continuité et le changement de signe assurent l’existence d’au moins un zéro ; la stricte monotonie supplémentaire serait nécessaire pour garantir l’unicité. Le signe opposé ne suffit donc pas à conclure à un zéro unique, et l’absence de monotonie ne prouve ni plusieurs zéros ni l’absence de zéro.

13. Une suite est définie par u0=5u_0=5 et un+1=0,75un+3u_{n+1}=0,75u_n+3. Si elle converge vers LL, quelle valeur obtient-on en imposant la condition sur sa limite ?

L=12L=12
L=4L=4
L=0,75L=0,75
L=−12L=-12

$$L=12$$

Explication

La limite doit vérifier L=0,75L+3L=0,75L+3, donc 0,25L=30,25L=3 et L=12L=12. La valeur 44 vient de l’oubli du coefficient devant la limite, 0,750,75 est le coefficient plutôt que le point fixe, et −12-12 résulte d’une erreur de signe.

14. Une fonction continue $f$ est définie sur un intervalle $I$. Une suite vérifie $u_n\in I$ pour tout $n$, $u_{n+1}=f(u_n)$ et converge vers une limite $L\in I$. Quelle relation doit satisfaire $L$ ?

$L=f(u_{n+1})$ pour tout $n$
$f(L)=L$
$f(u_n)=u_n$ pour tout $n$
$f(L)=u_n$ pour tout $n$

$f(L)=L$

Explication

Par continuité, la limite de $f(u_n)$ est $f(L)$ ; comme $u_{n+1}=f(u_n)$ et que $(u_{n+1})$ converge aussi vers $L$, on obtient $f(L)=L$. La réponse $f(u_n)=u_n$ confond le point fixe limite avec une propriété exigée à chaque rang.

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Quand une fonction f est-elle continue en a ?

Lorsque lim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x\to a} f(x)=f(a).

Quand une fonction est-elle continue sur un intervalle I ?

Lorsqu’elle est continue en tout point de I.

Que peut-on conclure si une fonction est dérivable sur un intervalle I ?

Elle est continue sur I.

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