Fiche de révision : Convexité et points d’inflexion

📋 Plan du Cours

1. Dérivée seconde
2. Convexité et concavité
3. Critères de convexité
4. Points d’inflexion
5. Applications de la convexité

📖 1. Dérivée seconde

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée seconde : La dérivée de sa dérivée f′, notée $f′′(x)=(f′(x))′$, lorsque f′ est dérivable sur l’intervalle considéré.

📝 Points essentiels

• Pour $f(x)=3x^3-5x^2+1$, on obtient $f′(x)=9x^2-10x$ puis $f′′(x)=18x-10$.

💡 Astuce mémo

f → f′ → f′′

📖 2. Convexité et concavité

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction convexe : Si sa courbe est entièrement située en dessous de chacune de ses cordes et au-dessus de chacune de ses tangentes.
• Corde : Un segment reliant deux points d’une courbe.

📝 Points essentiels

📌 Graphiquement, une fonction peut être d’abord convexe puis concave, ou d’abord concave puis convexe, sur deux sous-intervalles successifs.

💡 Astuce mémo

Convexe : au-dessus des tangentes ; concave : en dessous

📖 3. Critères de convexité

★ À maîtriser

• La fonction carré $x\mapsto x^2$ est convexe sur $\mathbb{R}$.

• La fonction cube $x\mapsto x^3$ est concave sur $]-\infty;0]$ et convexe sur $[0;+\infty[$.

📌 Pour une fonction deux fois dérivable, elle est convexe sur un intervalle si $f′′(x)\geq0$ sur cet intervalle et concave si $f′′(x)\leq0$ sur cet intervalle.

Compléments

• La fonction inverse $x\mapsto \frac{1}{x}$ est concave sur $]-\infty;0[$ et convexe sur $]0;+\infty[$.

• La fonction racine carrée $x\mapsto\sqrt{x}$ est concave sur $[0;+\infty[$.

• Pour $f(x)=\frac13x^3-9x^2+4$, on a $f′′(x)=2x-18$, donc f est concave sur $]-\infty;9]$ et convexe sur $[9;+\infty[$.

💡 Astuce mémo

Signe de f′′ → variation de f′ → convexité de f

📖 4. Points d’inflexion

🔑 Notions clés & Définitions

• Point d’inflexion : Un point où la courbe traverse sa tangente.

★ À maîtriser

📌 Au point d’inflexion, la fonction change de convexité.

Compléments

• Pour la fonction cube, l’origine est un point d’inflexion car la courbe est en dessous de sa tangente pour $x\leq0$ et au-dessus pour $x\geq0$.

• Une courbe d’abord concave puis convexe peut avoir un point d’inflexion de coordonnées $(0;1)$.

💡 Astuce mémo

Changement de convexité → la tangente traverse la courbe

📖 5. Applications de la convexité

★ À maîtriser

• Pour le coût $C(x)=0{,}05x^3-1{,}05x^2+8x+4$ sur $[0;10]$, on a $C′′(x)=0{,}3x-2{,}1$, qui s’annule pour $x=7$.

• Le coût est concave sur $[0;7]$ et convexe sur $[7;10]$; son point d’inflexion est le point $(7;25{,}7)$.

• Avant 7 milliers de clés produites, la croissance du coût de fabrication ralentit, puis à partir de 7 000 clés elle s’accélère.

📐 Formule — Pour $f(x)=xe^{-x/2}$, la dérivée seconde est $f′′(x)=\left(\frac{x}{4}-1\right)e^{-x/2}$.

• Comme $e^{-x/2}>0$, f est concave sur $]-\infty;4]$ et convexe sur $[4;+\infty[$, donc sa courbe possède un point d’inflexion d’abscisse 4.

Compléments

• Pour $f(x)=xe^{-x/2}$, on a $f′(x)=(1-x/2)e^{-x/2}$; comme $e^{-x/2}>0$, f est croissante sur $]-\infty;2]$ et décroissante sur $[2;+\infty[$.

💡 Astuce mémo

Conjecturer → dériver → étudier → interpréter

📊 Tableaux de synthèse

Convexité et concavité selon la dérivée seconde