Convexité et points d’inflexion

📋 Plan du Cours

1. Dérivée seconde
2. Convexité et concavité
3. Critères de convexité
4. Points d’inflexion
5. Applications de la convexité

📖 1. Dérivée seconde

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée seconde : La dérivée de sa dérivée f′, notée $f′′(x)=(f′(x))′$, lorsque f′ est dérivable sur l’intervalle considéré.

📝 Points essentiels

• Pour $f(x)=3x^3-5x^2+1$, on obtient $f′(x)=9x^2-10x$ puis $f′′(x)=18x-10$.

💡 Astuce mémo

f → f′ → f′′

📖 2. Convexité et concavité

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction convexe : Si sa courbe est entièrement située en dessous de chacune de ses cordes et au-dessus de chacune de ses tangentes.
• Corde : Un segment reliant deux points d’une courbe.

📝 Points essentiels

📌 Graphiquement, une fonction peut être d’abord convexe puis concave, ou d’abord concave puis convexe, sur deux sous-intervalles successifs.

💡 Astuce mémo

Convexe : au-dessus des tangentes ; concave : en dessous

📖 3. Critères de convexité

• La fonction carré $x\mapsto x^2$ est convexe sur $\mathbb{R}$.

• La fonction cube $x\mapsto x^3$ est concave sur $]-\infty;0]$ et convexe sur $[0;+\infty[$.