Fiche de révision : Coordonnées et calculs vectoriels

📋 Plan du Cours

1. Coordonnées et égalité des vecteurs
2. Opérations sur les vecteurs
3. Colinéarité et orthogonalité
4. Relations vectorielles et géométrie
5. Milieu et parallélogramme

📖 1. Coordonnées et égalité des vecteurs

★ À maîtriser

📐 Formule - Si A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B), alors $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A\ ;\ y_B-y_A)$.

Compléments

📌 Pour A(−3 ; 5) et $\overrightarrow{AB}=(8\ ;\ -6)$, le point B a pour coordonnées (5 ; −1), et $\overrightarrow{BA}=(-8\ ;\ 6)=-\overrightarrow{AB}$.

📖 2. Opérations sur les vecteurs

★ À maîtriser

📐 Formule - La somme et la multiplication par un réel s’effectuent coordonnée par coordonnée : $(x_1\ ;\ y_1)+(x_2\ ;\ y_2)=(x_1+x_2\ ;\ y_1+y_2)$ et $k(x\ ;\ y)=(kx\ ;\ ky)$.

Compléments

• Pour $u=(2\ ;\ -3)$ et $v=(-5\ ;\ 4)$, $3u-2v=(16\ ;\ -17)$ et $-u+4v=(-22\ ;\ 19)$.

📖 3. Colinéarité et orthogonalité

★ À maîtriser

📌 Deux vecteurs (x ; y) et (x' ; y') sont colinéaires si et seulement si $xy'-yx'=0$.

📌 Deux vecteurs (x ; y) et (x' ; y') sont orthogonaux si et seulement si $xx'+yy'=0$.

Compléments

• Pour $u=(3\ ;\ -4)$ et $v=(x\ ;\ 6)$, l’orthogonalité impose $3x-24=0$, donc x=8.

💡 Astuce mémo

Colinéarité : déterminant nul ; orthogonalité : produit scalaire nul.

📖 4. Relations vectorielles et géométrie

★ À maîtriser

📌 Pour trois points A, B et C, la relation de Chasles s’écrit $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$.

Compléments

• Pour déterminer B tel que $\overrightarrow{AB}=u$, on ajoute les coordonnées de u à celles de A ; pour déterminer ensuite C tel que $\overrightarrow{BC}=2u$, on ajoute les coordonnées de 2u à celles de B.

• Si $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}$, alors D s’obtient en ajoutant les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ à celles de C.

📖 5. Milieu et parallélogramme

★ À maîtriser

📐 Formule - Le milieu M du segment [AB], avec A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B), a pour coordonnées $M=\left(\frac{x_A+x_B}{2}\ ;\ \frac{y_A+y_B}{2}\right)$.

📌 Pour que ABCD soit un parallélogramme, on peut déterminer D par $D=A+C-B$, puis vérifier $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ et $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$.

Compléments

• Pour A(−5 ; 2) et B(3 ; 8), le milieu est M(−1 ; 5) et $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}=(4\ ;\ 3)$.