Fiche de révision : Courant électrique et circuits

📋 Plan du Cours

1. Coordonnées et déplacements dans l’espace
2. Vecteurs, circulation et flux
3. Opérateurs vectoriels et théorème de Stokes
4. Dipôle électrostatique
5. Flux électrique et théorème de Gauss
6. Conditions de passage à une interface
7. Applications et calcul du champ
8. Potentiel de Yukawa et champs à symétrie
9. Équilibre électrostatique des conducteurs
10. Influence et capacité des conducteurs sphériques
11. Capacité des condensateurs usuels
12. Associations de condensateurs
13. Résolution des problèmes électrostatiques
14. Pression électrostatique d’une sphère
15. Coefficients d’influence des sphères
16. Énergie potentielle et énergie du champ électrostatique
17. Charges mobiles et conducteurs métalliques
18. Porteurs semi-conducteurs et densité de courant
19. Conservation de la charge et loi d’Ohm locale
20. Résistances et lois des circuits
21. Dissipation électrique locale et loi de Joule
22. Dipôles électrocinétiques et conventions
23. Réponse transitoire des circuits
24. Circuits en régime sinusoïdal
25. Théorèmes des circuits linéaires
26. Pont déphaseur et équilibre du pont de Nernst
27. Méthodes générales d’analyse des circuits
28. Champ et potentiel de l’atome sphérique
29. Méthode des images pour une sphère
30. Trajectoire des électrons entre deux plans
31. Réseau capacitif et courants transitoires
32. Filtres électriques et propagation du signal

📖 1. Coordonnées et déplacements dans l’espace

📝 Points essentiels

• Dans un repère orthonormé cartésien, le vecteur position est $\overrightarrow{OM}=x\,\vec e_x+y\,\vec e_y+z\,\vec e_z$ et son déplacement élémentaire est $d\overrightarrow{OM}=dx\,\vec e_x+dy\,\vec e_y+dz\,\vec e_z$.

• En coordonnées cylindriques, $\overrightarrow{OM}=r\,\vec e_r+z\,\vec e_z$ et $d\overrightarrow{OM}=dr\,\vec e_r+r\,d\theta\,\vec e_\theta+dz\,\vec e_z$, avec $x=r\cos\theta$ et $y=r\sin\theta$.

• En coordonnées sphériques, $\overrightarrow{OM}=r\,\vec e_r$ et $d\overrightarrow{OM}=dr\,\vec e_r+r\,d\theta\,\vec e_\theta+r\sin\theta\,d\phi\,\vec e_\phi$, avec $x=r\sin\theta\cos\phi$, $y=r\sin\theta\sin\phi$ et $z=r\cos\theta$.

📖 2. Vecteurs, circulation et flux

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit scalaire : Le produit scalaire de deux vecteurs est le scalaire $\vec V_1\cdot\vec V_2=V_1V_2\cos\alpha$, où $\alpha$ est l’angle entre eux.
• Produit vectoriel : Le produit vectoriel de deux vecteurs est un vecteur perpendiculaire à leur plan, de norme $V_1V_2|\sin\alpha|$ et orienté pour que le trièdre formé par les deux vecteurs et leur produit soit direct.
• Flux élémentaire : Le flux élémentaire d’un champ vectoriel à travers une surface orientée est $d\Phi=\vec V\cdot\vec N\,dS$, où $\vec N$ est le vecteur unitaire normal à la surface.

★ À maîtriser

• La circulation élémentaire d’un champ vectoriel est $dC=\vec V\cdot d\vec M$ et sa circulation sur un trajet orienté de A à B est $C_{AB}=\int_A^B\vec V\cdot d\vec M$.

Compléments

📌 Pour une surface fermée, la normale est conventionnellement orientée de l’intérieur vers l’extérieur.

📐 Formule - L’angle solide élémentaire sous lequel une surface est vue depuis un point est $d\Omega=\frac{d\vec S\cdot\vec e_r}{r^2}=\frac{dS\cos\alpha}{r^2}$.

• L’angle solide associé à l’espace entier vaut $4\pi$ stéradians, tandis que celui d’un demi-espace entier vaut $2\pi$ stéradians.

💡 Astuce mémo

La circulation suit un chemin ; le flux traverse une surface.

📖 3. Opérateurs vectoriels et théorème de Stokes

🔑 Notions clés & Définitions

• Gradient : Le gradient d’une fonction scalaire f est le vecteur défini en coordonnées cartésiennes par $\overrightarrow{\mathrm{grad}}f=\frac{\partial f}{\partial x}\vec e_x+\frac{\partial f}{\partial y}\vec e_y+\frac{\partial f}{\partial z}\vec e_z$ et vérifiant $df=\overrightarrow{\mathrm{grad}}f\cdot d\vec M$.
• Laplacien : Le Laplacien cartésien d’une fonction scalaire f est $\Delta f=\frac{\partial^2f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2f}{\partial z^2}$.

★ À maîtriser

📐 Formule - La circulation du gradient entre A et B vaut $\int_A^B\overrightarrow{\mathrm{grad}}f\cdot d\vec M=f(B)-f(A)$ et ne dépend pas du chemin suivi.

📐 Formule - En coordonnées cartésiennes, la divergence d’un champ $\vec V=(V_x,V_y,V_z)$ est $\mathrm{div}\,\vec V=\frac{\partial V_x}{\partial x}+\frac{\partial V_y}{\partial y}+\frac{\partial V_z}{\partial z}$.

📐 Formule - Les identités vectorielles comprennent $\mathrm{div}(\overrightarrow{\mathrm{grad}}f)=\Delta f$, $\mathrm{div}(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\vec A)=0$ et $\overrightarrow{\mathrm{rot}}(\overrightarrow{\mathrm{grad}}f)=0$.

📐 Formule - Le théorème de Stokes relie la circulation sur un contour fermé au flux du rotationnel à travers une surface qui s’appuie sur ce contour : $\oint_C\vec A\cdot d\vec l=\iint_S(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\vec A)\cdot d\vec S$.

📐 Formule - Le théorème de Green-Ostrogradsky relie le flux à travers une surface fermée à l’intégrale de la divergence dans le volume qu’elle englobe : $\oiint_S\vec A\cdot d\vec S=\iiint_\tau\mathrm{div}\,\vec A\,d\tau$.

📐 Formule - Le théorème de Stokes relie la circulation sur le contour fermé C au flux du rotationnel sur la surface S : $\oint_C \mathbf{V}\cdot d\mathbf{l}=\iint_S (\nabla\times\mathbf{V})\cdot\mathbf{n}\,dS$.

• Pour le champ $\mathbf{V}=2y\mathbf{e}_x+3x\mathbf{e}_y-z^2\mathbf{e}_z$, le rotationnel vaut $\nabla\times\mathbf{V}=\mathbf{e}_z$.

📐 Formule - Sur le cercle d’appui de rayon $R$, le calcul direct donne $\oint_C\mathbf{V}\cdot d\mathbf{l}=-2R^2\int_0^{2\pi}\sin^2\alpha\,d\alpha+3R^2\int_0^{2\pi}\cos^2\alpha\,d\alpha=\pi R^2$, soit $9\pi$ pour $R=3$.

📐 Formule - Pour un point M extérieur à une sphère de rayon R et de densité volumique uniforme ρ, le potentiel est $V_M=K\frac{Q}{r}=K\frac{4}{3}\pi\rho\frac{R^3}{r}$, où Q est la charge totale de la sphère.

📌 À l’extérieur d’une sphère uniformément chargée en volume, son potentiel est identique à celui d’une charge ponctuelle Q située au centre O.

Compléments

• Le gradient est normal aux surfaces de niveau d’une fonction et orienté dans le sens de ses valeurs croissantes.

📐 Formule - En coordonnées cartésiennes, le rotationnel d’un champ $\vec V=(V_x,V_y,V_z)$ a pour composantes $\left(\frac{\partial V_z}{\partial y}-\frac{\partial V_y}{\partial z},\frac{\partial V_x}{\partial z}-\frac{\partial V_z}{\partial x},\frac{\partial V_y}{\partial x}-\frac{\partial V_x}{\partial y}\right)$.

📐 Formule - Le produit mixte vérifie $\vec A\cdot(\vec B\wedge\vec C)=\vec C\cdot(\vec A\wedge\vec B)=\vec B\cdot(\vec C\wedge\vec A)$.

📐 Formule - Le double produit vectoriel vérifie $\vec A\wedge(\vec B\wedge\vec C)=\vec B(\vec A\cdot\vec C)-\vec C(\vec A\cdot\vec B)$.

📖 4. Dipôle électrostatique

🔑 Notions clés & Définitions

• Dipôle électrique : Système de deux charges −q et +q placées en A et B, distantes de a.

★ À maîtriser

• Le moment dipolaire est $\vec p=q\overrightarrow{AB}=qa\vec u_{AB}$, où q désigne la valeur absolue de chaque charge et où le vecteur est orienté de la charge négative vers la charge positive.

📐 Formule - À grande distance r d’un dipôle, le potentiel vaut $V_M=K\frac{\vec p\cdot\vec u_r}{r^2}=K\frac{p\cos\theta}{r^2}$.

📐 Formule - Dans un champ électrique uniforme, la force résultante exercée sur un dipôle est nulle, mais son moment résultant est $\vec\Gamma=\vec p\wedge\vec E$ et tend à aligner le dipôle parallèlement au champ.

Compléments

• À grande distance du dipôle, le potentiel décroît en 1/r² et le champ en 1/r³, tandis que ceux d’une charge ponctuelle décroissent respectivement en 1/r et en 1/r².

📐 Formule - À grande distance du dipôle, les composantes polaires du champ sont $E_r=2K\frac{p\cos\theta}{r^3}$ et $E_\theta=K\frac{p\sin\theta}{r^3}$.

📐 Formule - L’énergie potentielle d’un dipôle dans un champ électrique uniforme vaut $E_p=-\vec p\cdot\vec E=-pE\cos\theta$ et elle est minimale lorsque le dipôle est parallèle au champ.

• Dans un champ électrique non uniforme, les forces exercées sur les deux charges du dipôle ne sont plus égales et opposées, ce qui produit une force résultante et un mouvement de translation du dipôle, en plus de sa rotation.

📐 Formule - Dans un champ électrique non uniforme, la force résultante sur un dipôle est $\vec F=\vec\nabla(\vec p\cdot\vec E)$.

💡 Astuce mémo

Le couple aligne le dipôle avec le champ ; le champ non uniforme le déplace.

📖 5. Flux électrique et théorème de Gauss

★ À maîtriser

📐 Formule - Le flux du champ électrique à travers une surface fermée contenant une charge ponctuelle q vaut $\Phi=4\pi Kq=\frac{q}{\varepsilon_0}$.

📐 Formule - Le théorème de Gauss s’écrit $\Phi=\oiint_S\vec E\cdot d\vec S=\frac{Q_{\mathrm{int}}}{\varepsilon_0}$, où seule la charge enfermée par S contribue.

📐 Formule - Pour une densité volumique de charge ρ, la forme intégrale du théorème de Gauss est $\oiint_S\vec E\cdot d\vec S=\frac{1}{\varepsilon_0}\iiint_\tau\rho\,d\tau=\frac{Q_{\mathrm{int}}}{\varepsilon_0}$.

📐 Formule - La forme locale du théorème de Gauss est $\operatorname{div}\vec E=\frac{\rho}{\varepsilon_0}$.

📐 Formule - Dans un tube de champ sans charge, les flux orientés dans le sens du champ à travers deux sections sont égaux, soit $\Phi_1=\Phi_2$.

📐 Formule - L’équation de Poisson est $\Delta V+\frac{\rho}{\varepsilon_0}=0$.

Compléments

• Le champ créé par une charge ponctuelle q à la distance r vaut $\vec E=K\frac{q}{r^2}\vec e_r$.

• Le théorème de Gauss est particulièrement avantageux pour calculer le champ lorsque la symétrie permet d’obtenir un champ perpendiculaire à la normale ou de norme constante sur une surface de Gauss.

📐 Formule - Dans une région sans charge, le champ électrique vérifie $\operatorname{div}\vec E=0$.

📐 Formule - En l’absence de charges, le potentiel vérifie l’équation de Laplace $\Delta V=0$.

💡 Astuce mémo

Sans charge dans le tube → flux conservé

📖 6. Conditions de passage à une interface

★ À maîtriser

📐 Formule - À une interface entre deux milieux électrostatiques, la composante tangentielle du champ est continue : $E_{1T}=E_{2T}$.

📐 Formule - Si une interface porte une densité surfacique de charge σ, le saut de la composante normale du champ vérifie $E_{2N}-E_{1N}=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}$ dans la direction normale de 1 vers 2.

Compléments

• Si l’interface ne porte pas de charge surfacique, la composante normale du champ électrique est continue.

• De part et d’autre d’un plan infini chargé de densité surfacique σ, le champ vaut $\vec E=\pm\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\vec N_{12}$ et sa discontinuité normale est égale à $\frac{\sigma}{\varepsilon_0}$.

💡 Astuce mémo

Tangentiel continu ; normal discontinu s’il y a une charge surfacique

📖 7. Applications et calcul du champ

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour un fil rectiligne infini de densité linéique λ, le champ radial à distance r est $\vec E=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0r}\vec e_r$.

📐 Formule - Pour une sphère uniformément chargée de rayon R et de densité volumique ρ, le champ vaut $\vec E=\frac{\rho R^3}{3\varepsilon_0r^2}\vec e_r$ à l’extérieur et $\vec E=\frac{\rho r}{3\varepsilon_0}\vec e_r$ à l’intérieur.

• Le potentiel d’une distribution sphérique s’obtient par intégration radiale de son champ selon $V(r)=-\int E(r)\,dr$, puis par détermination des constantes à l’aide de la condition à l’infini et de la continuité du potentiel aux interfaces.

📐 Formule - Le potentiel considéré est $V(r)=\frac{KA}{r}\exp(-r/a)$, où A a les dimensions d’une charge et a celles d’une longueur.

📐 Formule - Le champ associé au potentiel $V(r)=\frac{KA}{r}\exp(-r/a)$ est $\vec E(r)=\frac{KA}{r^2}\left(1+\frac{r}{a}\right)\exp(-r/a)\,\vec e_r$.

• La charge enfermée par une sphère de rayon r dans cette distribution vaut $Q(r)=A\left(1+\frac{r}{a}\right)\exp(-r/a)$ et la charge totale de la distribution est nulle.

Compléments

📐 Formule - Pour un fil rectiligne infini de densité linéique λ, le potentiel s’écrit $V(r)=-\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln r+C$.

📐 Formule - Pour cette sphère uniformément chargée, le potentiel extérieur avec V(∞)=0 est $V_{\mathrm{ext}}=\frac{\rho R^3}{3\varepsilon_0r}$, et le potentiel intérieur est $V_{\mathrm{int}}=\frac{\rho R^2}{2\varepsilon_0}\left(1-\frac{r^2}{3R^2}\right)$.

• Le champ électrique créé par une distribution de charges peut se calculer par sommation directe, par le théorème de Gauss lorsque la symétrie est suffisante, ou par les équations locales avec les conditions aux limites.

📐 Formule - Pour une sphère de rayon R dont la densité volumique vaut ρ₀ hors d’une cavité concentrique de rayon R/4, le champ est nul pour r<R/4, vaut $\frac{\rho_0}{3\varepsilon_0}\left(r-\frac{R^3}{64r^2}\right)\vec e_r$ pour R/4<r<R, et vaut $\frac{21\rho_0R^3}{64\varepsilon_0r^2}\vec e_r$ pour r>R.

• Pour deux sphères concentriques de rayons $R$ et $R/4$ portant les densités volumiques $\rho_0$ et $-\rho_0$, le potentiel dans la cavité intérieure est constant et vaut $\frac{15\rho_0R^2}{32\varepsilon_0}$.

• La superposition de deux champs uniformes opposés, créés par deux sphères de densités volumiques $\rho_0$ et $-\rho_0$, donne entre leurs centres le champ uniforme $\vec E=\frac{\rho_0}{3\varepsilon_0}\overrightarrow{O_1O_2}$.

• Pour trois charges ponctuelles $-q$ placées en B et C aux sommets d’un triangle équilatéral de côté $l$, le champ en A vaut $\vec E_1=-\frac{Kq}{r^2\sqrt3}\vec i$ lorsque $l=r\sqrt3$.

• Une sphère de densité volumique uniforme $\rho=\frac{9q}{4\pi R^3}$ et de charge totale $+3q$ crée, à l’intérieur, le champ radial $\vec E_2=\frac{3Kqr}{R^3}\vec i$.

📐 Formule - La densité volumique de la distribution de Yukawa est $\rho(r)=-\frac{A}{4\pi a^2r}\exp(-r/a)$.

📌 La distribution de Yukawa équivaut à une charge ponctuelle positive $A$ à l’origine et à une charge négative totale $-A$ répartie dans l’espace ; l’ensemble est neutre.

📖 8. Potentiel de Yukawa et champs à symétrie

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour un cylindre creux de densité volumique uniforme ρ compris entre les rayons $R_1$ et $R_2$, le champ vaut zéro pour $r<R_1$.

📐 Formule - Dans la région $R_1<r<R_2$, le champ radial du cylindre creux est $\vec E=\frac{\rho}{2\varepsilon_0}\left(r-\frac{R_1^2}{r}\right)\vec u_r$.

📐 Formule - À l’extérieur du cylindre creux, pour $r>R_2$, le champ radial est $\vec E=\frac{\rho}{2\varepsilon_0r}(R_2^2-R_1^2)\vec u_r$.

Compléments

• Dans la méthode locale pour le cylindre creux, on utilise $\operatorname{div}\vec E=\rho/\varepsilon_0$ et, pour un champ radial, $\operatorname{div}\vec E=\frac1r\frac{d}{dr}(rE_r)$, puis on fixe les constantes par la régularité à l’axe et la continuité du champ aux rayons $R_1$ et $R_2$.

• Pour une distribution à symétrie sphérique, le potentiel et le champ ne dépendent que de la distance radiale r, et le laplacien du potentiel s’écrit $\nabla^2V=\frac1{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dV}{dr}\right)$.

📐 Formule - Pour une sphère de rayon R et de densité uniforme ρ, le potentiel intérieur est $V(r)=\frac{\rho}{6\varepsilon_0}(3R^2-r^2)$ si $r<R$.

📐 Formule - Pour une sphère uniformément chargée de charge totale Q, le potentiel vaut $V(r)=KQ\left(\frac{3}{2R}-\frac{r^2}{2R^3}\right)$ à l’intérieur et $V(r)=KQ/r$ à l’extérieur.

📐 Formule - Le champ d’une sphère uniformément chargée de rayon R et de charge totale Q vaut $\vec E=KQr\,\vec e_r/R^3$ pour $r<R$ et $\vec E=KQ\vec e_r/r^2$ pour $r>R$.

💡 Astuce mémo

Le potentiel décroît exponentiellement → la charge enfermée tend vers zéro.

📖 9. Équilibre électrostatique des conducteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Conducteur en équilibre : Conducteur dont les charges sont immobiles ; son champ intérieur et sa densité volumique de charge intérieure sont nuls.

★ À maîtriser

• Dans un conducteur en équilibre, le potentiel est constant dans le volume conducteur et sur sa surface.

📌 À la surface d’un conducteur en équilibre, le champ extérieur est normal à la surface et vaut $\vec E_{\mathrm{ext}}=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\vec N$, où $\vec N$ est la normale sortante.

📐 Formule - La pression électrostatique exercée sur la surface d’un conducteur chargé vaut $p=\frac{\sigma^2}{2\varepsilon_0}=\frac{\varepsilon_0E^2}{2}$ et est dirigée vers l’extérieur.

Compléments

• Sur une pointe conductrice, le faible rayon de courbure entraîne une densité surfacique de charge et un champ électrique élevés pour une charge donnée.

• Dans une cavité fermée d’un conducteur en équilibre, le champ électrique est nul quelles que soient les conditions extérieures ; le conducteur réalise ainsi un écran électrostatique.

💡 Astuce mémo

Dans le conducteur, E = 0 ; juste à l’extérieur, E est normal à la surface.

📖 10. Influence et capacité des conducteurs sphériques

🔑 Notions clés & Définitions

• Capacité d’un conducteur : Rapport constant entre sa charge q et son potentiel V, soit $C=q/V$ ; elle se mesure en farads.

★ À maîtriser

📌 Pour deux conducteurs en influence partielle, les charges portées par deux éléments de surface correspondants délimités par un tube de champ sont égales et opposées.

• En influence totale, les charges globales des surfaces en regard de deux conducteurs sont égales et opposées ; si le conducteur extérieur est initialement neutre, sa surface externe porte une charge égale à celle du conducteur intérieur.

📐 Formule - Pour n conducteurs en équilibre, les charges et les potentiels sont liés par $[Q_i]=[C_{ij}][V_j]$.

📐 Formule - Pour deux sphères conductrices éloignées de rayons $R_1$ et $R_2$ séparées par une distance $d$, les coefficients de capacité sont $C_{11}=\frac{R_1/K}{1-R_1R_2/d^2}$ et $C_{22}=\frac{R_2/K}{1-R_1R_2/d^2}$, tandis que les coefficients d’influence sont $C_{12}=C_{21}=-\frac{R_1R_2}{Kd(1-R_1R_2/d^2)}$.

Compléments

📐 Formule - La capacité d’une sphère conductrice de rayon R est $C=4\pi\varepsilon_0R$.

📐 Formule - Pour deux conducteurs en influence totale formant un condensateur, les charges vérifient $Q_1=C(V_1-V_2)$ et $Q_2=C(V_2-V_1)$.

• La matrice des coefficients de capacité et d’influence de deux conducteurs est symétrique ; dans le cas des deux sphères, ses coefficients diagonaux sont positifs et ses coefficients non diagonaux sont négatifs.

• Lorsque la distance entre les deux sphères tend vers l’infini, le coefficient de capacité de la sphère de rayon $R_1$ tend vers celui de la sphère isolée, $4\pi\varepsilon_0R_1$.

📖 11. Capacité des condensateurs usuels

★ À maîtriser

📐 Formule - La capacité d’un condensateur sphérique formé de deux sphères concentriques de rayons $R_1<R_2$ est $C=4\pi\varepsilon_0\frac{R_1R_2}{R_2-R_1}$.

📐 Formule - La capacité d’un condensateur cylindrique coaxial de longueur $h$ et de rayons $R_1<R_2$ est $C=\frac{2\pi\varepsilon_0h}{\ln(R_2/R_1)}$.

📐 Formule - La capacité d’un condensateur plan dont les armatures ont une surface $S$ et sont séparées par une distance $e$ est $C=\frac{\varepsilon_0S}{e}$.

Compléments

• Un conducteur sphérique de rayon $R_1$ seul équivaut à un condensateur sphérique dont la seconde armature est rejetée à l’infini et possède la capacité $C=4\pi\varepsilon_0R_1$.

📖 12. Associations de condensateurs

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour des condensateurs en série, la capacité équivalente vérifie $\frac{1}{C}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}+\frac{1}{C_3}$.

• Dans une association en série, tous les condensateurs portent la même charge, tandis que les différences de potentiel s’additionnent.

📐 Formule - Pour des condensateurs en parallèle, la capacité équivalente vérifie $C=C_1+C_2+C_3$.

📐 Formule - L’association en série de deux condensateurs de capacités $C_1$ et $C_2$ a pour capacité équivalente $C_s=\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}$, tandis que leur association en parallèle a pour capacité $C_p=C_1+C_2$.

Compléments

• Dans une association en parallèle, la différence de potentiel est commune à tous les condensateurs et leurs charges s’additionnent.

📐 Formule - Pour le montage composé d’une association série puis parallèle de deux capacités identiques à chaque branche, la capacité équivalente vaut $C_e=\frac{C_1C_2(C_1+C_2)}{(C_1+C_2)^2+C_1C_2}$.

📐 Formule - Dans l’exemple où la capacité recherchée vérifie $C_e=C_1/2$, la capacité positive requise est $C_2=\frac{\sqrt5-1}{2}C_1$.

📐 Formule - Dans le montage de l’exercice, la charge commune aux capacités du circuit équivalent est $Q=\frac{C_2}{2}u_{AB}$, et les charges des deux condensateurs du montage sont $Q_1=\frac{C_1-C_2}{2}u_{AB}$ et $Q_2=\frac{C_2(C_1-C_2)}{2C_1}u_{AB}$.

💡 Astuce mémo

En série, la charge est commune ; en parallèle, c’est la tension.

📖 13. Résolution des problèmes électrostatiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Méthode des images : Consiste à associer au problème étudié un problème auxiliaire de sorte que leur solution commune dans la région considérée soit plus facile à déterminer.

★ À maîtriser

• La méthode générale consiste à résoudre l’équation de Laplace dans le vide entourant les conducteurs, avec le potentiel nul à l’infini et le potentiel fixé sur les conducteurs ; le théorème d’unicité garantit alors une solution unique.

Compléments

• Pour des conducteurs de forme simple, on peut calculer le champ et le potentiel en intégrant les contributions élémentaires d’un élément de charge sur leur surface.

• Le théorème de Gauss peut être utilisé lorsque les symétries du problème sont favorables.

• Le principe de superposition des états d’équilibre est une méthode de résolution des problèmes électrostatiques avec conducteurs.

💡 Astuce mémo

Laplace et unicité → formes simples et Gauss → superposition → images.

📖 14. Pression électrostatique d’une sphère

★ À maîtriser

📐 Formule - La pression électrostatique exercée sur une surface chargée vaut $p=\frac{\sigma^2}{2\varepsilon_0}$.

📌 Pour une coupure équatoriale, la calotte se soulève si $\frac{M}{2}g<\frac{\varepsilon_0 V^2\pi}{2}$, soit si $V>\sqrt{\frac{Mg}{\varepsilon_0\pi}}$.

Compléments

📐 Formule - Pour une sphère conductrice de rayon $R$ portée au potentiel $V$, la densité surfacique de charge est $\sigma=\frac{\varepsilon_0 V}{R}$.

📐 Formule - La force ascendante exercée par la calotte inférieure sur une calotte supérieure de demi-angle $\theta$ est $F_z=\frac{\varepsilon_0 V^2}{2}\,\pi\sin^2\theta$.

💡 Astuce mémo

La charge élémentaire ne subit pas son propre champ → la pression est divisée par deux.

📖 15. Coefficients d’influence des sphères

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour trois sphères conductrices identiques de rayon $R$, séparées deux à deux par une distance $a$, les potentiels vérifient $\begin{pmatrix}V_1\V_2\V_3\end{pmatrix}=\frac{K}{R}\begin{pmatrix}1&\alpha&\alpha\alpha&1&\alpha\alpha&\alpha&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}Q_1\Q_2\Q_3\end{pmatrix}$, où $\alpha=R/a$.

• Pour les trois sphères identiques, la matrice des coefficients d’influence est symétrique, ses coefficients diagonaux sont positifs et ses coefficients hors diagonale sont négatifs lorsque $\alpha<1$.

Compléments

• La matrice des coefficients d’influence est l’inverse de la matrice reliant les charges aux potentiels.

• Lorsqu’on met successivement chaque sphère à la terre puis qu’on la déconnecte, sa charge devient $Q'_1=-\alpha(Q_2+Q_3)$, puis $Q'_2=\alpha[\alpha Q_2+(\alpha-1)Q_3]$, et enfin $Q'_3=\alpha^2[(1-\alpha)Q_2+(2-\alpha)Q_3]$.

📖 16. Énergie potentielle et énergie du champ électrostatique

★ À maîtriser

📐 Formule - L’énergie potentielle d’interaction de deux charges ponctuelles algébriques $q$ et $q'$ séparées par la distance $r$ est $E_p=K\frac{qq'}{r}$.

📐 Formule - L’énergie potentielle d’un système de $n$ charges ponctuelles est $E_p=\frac12\sum_{i=1}^{n}q_iV_i$, où $V_i$ est le potentiel au point de la charge $q_i$ créé par les autres charges.

📐 Formule - Pour un conducteur de capacité $C$ portant la charge $q$ au potentiel $V$, l’énergie emmagasinée est $E_p=\frac12qV=\frac12CV^2=\frac{q^2}{2C}$.

📐 Formule - Pendant la charge d’un condensateur de capacité $C$, l’énergie emmagasinée à la tension finale $V_f$ est $E_p=\frac12CV_f^2$, tandis que la source fournit $E'_p=CV_f^2=2E_p$.

📐 Formule - La densité volumique d’énergie électrostatique associée à un champ électrique de norme $E$ est $w=\frac12\varepsilon_0E^2$.

📌 À charge constante, la force électrostatique est l’opposé du gradient de l’énergie potentielle, tandis qu’à potentiel constant elle est égale à son gradient.

Compléments

📐 Formule - Pour une distribution continue de charges, l’énergie potentielle est $E_p=\frac12\int V\,dq$; elle s’écrit respectivement $\frac12\int_L\lambda V\,dl$, $\frac12\int_S\sigma V\,dS$ et $\frac12\int_\tau\rho V\,d\tau$ pour une distribution linéique, surfacique et volumique.

📐 Formule - Pour un condensateur de charge $q$ et de tension $U$ entre ses armatures, l’énergie emmagasinée est $E_p=\frac12qU=\frac12CU^2=\frac{q^2}{2C}$.

📐 Formule - Pendant la charge d’un condensateur par un générateur idéal de force électromotrice $E$, l’énergie dissipée par effet Joule dans le circuit est $W=\frac12CE^2$, égale à l’énergie emmagasinée dans le condensateur.

📐 Formule - Pour un condensateur plan d’armatures de surface $S$ séparées par une distance $x$, la force sur une armature est attractive et vaut $F_x=-\frac{q^2}{2\varepsilon_0S}$ à charge constante comme à tension constante.

📐 Formule - Pour une sphère conductrice de rayon $R$ portant une charge $Q$, l’énergie électrostatique est $E_p=\frac12\frac{Q^2}{4\pi\varepsilon_0R}$.

📐 Formule - Pour une sphère théorique de rayon $R$ chargée uniformément en volume et de charge totale $Q$, l’énergie électrostatique totale est $E_p=\frac35K\frac{Q^2}{R}$.

💡 Astuce mémo

Charge constante : gradient négatif ; potentiel constant : gradient positif.

📖 17. Charges mobiles et conducteurs métalliques

★ À maîtriser

📌 En électrostatique, les charges sont immobiles, tandis que l’étude des charges mobiles introduit le champ magnétique B et la densité de courant j.

• L’électrocinétique étudie la relation entre la densité de courant j et le champ électrique E en un point d’un conducteur.

• Dans un métal, chaque atome libère en moyenne un électron ; les atomes donneurs deviennent des charges positives fixes, tandis que les électrons libérés constituent des charges négatives mobiles.

Compléments

• Dans un métal, les densités volumiques des charges positives et négatives sont égales en valeur absolue et opposées, soit ρ = ±1,6 · 10⁻¹⁹ × 10²³ = 1,6 · 10⁴ C · cm⁻³.

📖 18. Porteurs semi-conducteurs et densité de courant

🔑 Notions clés & Définitions

• Densité de courant : La densité de courant est le vecteur $\vec j=\rho\vec v$, où ρ est la charge volumique et $\vec v$ la vitesse moyenne de dérive des porteurs.
• Intensité du courant : L’intensité du courant traversant une surface orientée S est le flux de la densité de courant, soit $I=\int_S\vec j\cdot d\vec S=\frac{dQ}{dt}$.
• Ligne de courant : Une ligne de courant est une ligne tangente en tout point au vecteur densité de courant $\vec j$.
• Tube de courant : Un tube de courant est l’ensemble des lignes de courant s’appuyant sur un contour fermé ; ses génératrices sont tangentes à $\vec j$ en tout point.

★ À maîtriser

• Dans un semi-conducteur intrinsèque pur, chaque électron libéré dans la bande de conduction correspond à un trou de charge +e dans la bande de valence, sans formation d’ions positifs et négatifs fixes ; la création des paires électron-trou augmente exponentiellement avec la température.

• Dans le silicium dopé par des atomes pentavalents comme As ou P, chaque atome donneur libère un électron et devient un ion positif fixe ; le semi-conducteur est de type N.

• Dans le silicium dopé par des atomes trivalents comme Ga ou In, chaque accepteur capte un électron, libère un trou de charge +e et devient un ion négatif fixe ; le semi-conducteur est de type P.

📐 Formule - Pour des électrons de densité n et de vitesse moyenne $\vec v$, la densité de courant vaut $\vec j=-ne\vec v$.

📐 Formule - Dans un conducteur filiforme de section S, le courant uniforme vérifie $j=\frac{I}{S}$, où j s’exprime en A · m⁻².

📐 Formule - Pour plusieurs espèces de porteurs, la densité de courant totale vaut $\vec j=\sum_k n_kq_k\vec v_k$, où $q_k$ est la charge algébrique de l’espèce k.

Compléments

• Dans le silicium intrinsèque à 300 K, la densité d’électrons ou de trous est de l’ordre de 7 · 10¹⁰ cm⁻³, contre 10²³ cm⁻³ pour les métaux.

• Avec un dopage de 10⁻⁷ dans le silicium, la densité d’électrons libérés par des donneurs est de 10¹⁶ cm⁻³.

• Dans un électrolyte, les molécules se dissocient en ions libres positifs et négatifs de densités égales en valeur absolue, comprises approximativement entre 10¹⁶ et 10²¹ cm⁻³.

• Dans un gaz à faible pression, l’ionisation par libération ou capture d’électrons produit des ions positifs ou négatifs qui constituent des charges libres.

• L’ampère est l’unité d’intensité du courant et vaut 1 C · s⁻¹.

📐 Formule - Dans une nappe de courant, la densité surfacique vérifie $\vec j_s=\sigma\vec v$ et l’intensité traversant une ligne AB perpendiculaire à $\vec j_s$ vaut $I=\int_{AB}j_s\,d\ell$.

💡 Astuce mémo

Donneurs N libèrent des électrons ; accepteurs P libèrent des trous.

📖 19. Conservation de la charge et loi d’Ohm locale

🔑 Notions clés & Définitions

• Régime stationnaire : Un régime stationnaire, ou permanent, est un régime où la distribution des charges et des courants est indépendante du temps.

★ À maîtriser

📐 Formule - L’équation locale de continuité de la charge est $\operatorname{div}\vec j+\frac{\partial\rho}{\partial t}=0$.

📐 Formule - En régime stationnaire, l’équation de continuité devient $\operatorname{div}\vec j=0$ et le flux de $\vec j$ à travers une surface fermée est nul.

📌 En régime stationnaire, l’intensité se conserve d’une section à l’autre d’un tube de courant.

📐 Formule - Dans le modèle avec temps moyen entre chocs τ, la vitesse moyenne de dérive vérifie $\vec v=\frac{q\tau}{m}\vec E$ et la densité de courant vérifie $\vec j=\sigma\vec E$.

📐 Formule - Dans ce modèle, la conductivité électrique est $\sigma=\frac{nq^2\tau}{m}$, où n est le nombre de porteurs par unité de volume.

📐 Formule - La mobilité des porteurs vérifie $\vec v=\mu\vec E$ et $\mu=\frac{q\tau}{m}=\frac{\sigma}{nq}$ ; son signe est celui de la charge q.

📐 Formule - La résistivité est l’inverse de la conductivité et vérifie $\rho=\frac{1}{\sigma}=\frac{1}{n|q\mu|}$.

• Dans les conducteurs, la mobilité diminue lorsque la température augmente, ce qui réduit la conductivité et augmente la résistivité ; dans les semi-conducteurs intrinsèques, la conductivité augmente avec la température et est nulle à 0 K.

Compléments

• Un courant alternatif de la forme $I=I_0\cos(\omega t+\alpha)$ correspond à un régime quasi stationnaire si l’intensité peut être considérée identique en tout point d’un tube de courant à chaque instant.

📌 En régime stationnaire ou quasi stationnaire, les circuits doivent être fermés ; un circuit ouvert, comme une antenne parcourue par un courant alternatif, peut émettre des ondes électromagnétiques.

📐 Formule - Le modèle avec force de frottement $\vec f=-\frac{m\vec v}{\tau}$ conduit, après relaxation, à la vitesse permanente $\vec v=\frac{q\tau}{m}\vec E$.

📐 Formule - Le libre parcours moyen est défini par $\ell=v\tau$.

• La loi d’Ohm reste valable en régime sinusoïdal jusqu’à des fréquences de l’ordre de 10¹² Hz, mais ses limites incluent les effets non linéaires lorsque l’énergie électrique devient de l’ordre de l’énergie thermique.

• Pour le cuivre à 20 °C, la résistivité vaut 1,72 · 10⁻⁸ Ω · m et la conductivité vaut 5,8 · 10⁷ Ω⁻¹ · m⁻¹.

• À 20 °C dans le silicium, les mobilités indiquées sont μe = −1 700 cm² · V⁻¹ · s⁻¹ pour les électrons et μt = 250 cm² · V⁻¹ · s⁻¹ pour les trous.

💡 Astuce mémo

Charge conservée → flux de courant conservé en régime stationnaire.

📖 20. Résistances et lois des circuits

🔑 Notions clés & Définitions

• Force électromotrice : La force électromotrice d’un générateur est la circulation de son champ électromoteur $e=\int_A^B\vec E_m\cdot d\vec\ell$ ; elle a les dimensions d’un potentiel et vaut $V_A-V_B$.

★ À maîtriser

📐 Formule - La différence de potentiel entre A et B d’un conducteur vaut $V_A-V_B=\int_A^B\vec E\cdot d\vec\ell=RI$, où $R=\frac{1}{\sigma}\int_A^B\frac{d\ell}{S}$.

📐 Formule - Pour un conducteur cylindrique uniforme de longueur ℓ et de section S, la résistance vaut $R=\frac{\ell}{\sigma S}$.

📐 Formule - Pour des résistances en série, la résistance équivalente vaut $R=\sum_k R_k$.

📐 Formule - Pour des résistances en parallèle, la résistance équivalente vérifie $\frac{1}{R}=\sum_k\frac{1}{R_k}$.

📐 Formule - Pour un générateur fermé de résistance interne r alimentant une résistance R, on a $e-rI=V_A-V_B=RI$ et $I=\frac{e}{R+r}$.

📐 Formule - La première loi de Kirchhoff affirme qu’en tout nœud, la somme algébrique des courants est nulle : $\sum_k I_k=0$.

📐 Formule - La deuxième loi de Kirchhoff affirme que, dans une maille, la somme algébrique des f.é.m. moins celle des produits résistance-courant est nulle : $\sum_k e_k-\sum_k R_kI_k=0$.

Compléments

📐 Formule - Pour un conducteur sphérique concentrique de rayons R₁ et R₂, avec R₂ > R₁ et des lignes de courant radiales, la résistance vaut $R=\frac{1}{4\pi\sigma}\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right)$.

📌 Avec la convention de tension $V_{AB}=V_A-V_B$, un courant de A vers B vérifie $V_{AB}=RI$, tandis qu’un courant de B vers A vérifie $V_{AB}=-RI$.

• Le champ électromoteur d’un générateur peut avoir une origine chimique, comme dans une pile ou un accumulateur, ou magnétique, comme dans une f.é.m. induite.

📐 Formule - Pour un générateur ouvert, la f.é.m. positive vaut $e=V_A-V_B>0$, la borne A étant au potentiel le plus élevé.

📐 Formule - Pour un tronçon de circuit comportant un générateur, la tension vérifie $V_A-V_B=rI-e$.

📌 Dans un récepteur, le courant sort par le pôle négatif et la tension du tronçon vérifie $V_A-V_B=rI+e'$ ; la f.é.m. correspondante est une force contre-électromotrice positive.

• Un générateur dont le courant sort par le pôle négatif se comporte comme un récepteur et se charge.

📌 Les f.é.m. sont comptées positives lorsque le courant sort par la borne positive et négatives lorsque le courant entre par cette borne.

💡 Astuce mémo

En série, les résistances s’ajoutent ; en parallèle, leurs inverses s’ajoutent.

📖 21. Dissipation électrique locale et loi de Joule

★ À maîtriser

📐 Formule - La puissance dissipée par unité de volume dans un conducteur vérifie $p=\mathbf{j}\cdot\mathbf{E}=\frac{j^2}{\sigma}=\sigma E^2$.

📐 Formule - Pour un conducteur de résistance R traversé par un courant I, la puissance électrique dissipée est $P=(V_A-V_B)I=RI^2$.

• À l’équilibre, le récepteur ne peut être que partiellement polarisé, avec une f.é.m. finale $E'_f=\frac{30}{26}=1{,}15\ \mathrm{kV}$.

📐 Formule - Dans la maille ADBCA, la loi de Kirchhoff donne $4I-5+12I+6I-5+4I=0$, donc $26I=10$ et $I=0{,}385\ \mathrm{A}$.

Compléments

• La puissance dissipée par frottement pour une charge q de vitesse v est $\frac{mv^2}{\tau}$, ce qui conduit à une dissipation volumique pour les porteurs du conducteur.

• La puissance électrique dissipée dans le conducteur est égale à l’intégrale, sur son volume, de la puissance dissipée par unité de volume.

• Lorsque le courant de polarisation est nul, les courants des deux branches sont égaux : $I_1=I_2=I$.

💡 Astuce mémo

Le frottement des porteurs dissipe leur énergie en chaleur.

📖 22. Dipôles électrocinétiques et conventions

🔑 Notions clés & Définitions

• Dipôle électrocinétique : Portion de circuit comportant deux bornes par lesquelles le courant entre ou sort.
• Caractéristique d’un dipôle : Graphe de la tension à ses bornes en fonction de l’intensité qui le traverse, ou graphe inverse.

★ À maîtriser

📐 Formule - Avec la convention récepteur, la puissance électrique reçue par un dipôle vaut $P=ui$.

Compléments

📐 Formule - Pour un condensateur en convention récepteur, $u=\frac{q}{C}$ et $i=\frac{dq}{dt}$.

📐 Formule - Pour une inductance en convention récepteur, $u=L\frac{di}{dt}$.

📖 23. Réponse transitoire des circuits

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans un circuit RL soumis à un échelon de tension E, la constante de temps est $\tau=\frac{L}{R}$ et le courant vaut $i(t)=\frac{E}{R}\left(1-e^{-t/\tau}\right)$.

📐 Formule - Dans un circuit RC en charge, $\tau=RC$, la tension du condensateur vaut $u(t)=E\left(1-e^{-t/\tau}\right)$ et le courant vaut $i(t)=\frac{E}{R}e^{-t/\tau}$.

📐 Formule - Pour la décharge d’un circuit RLC, la tension vérifie $\frac{d^2u}{dt^2}+\frac{R}{L}\frac{du}{dt}+\frac{u}{LC}=0$, avec $\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$ et $Q=\frac{L\omega_0}{R}$.

📌 Pour la décharge RLC, le régime est oscillatoire amorti si $Q>1/2$, critique si $Q=1/2$ et hypercritique si $Q<1/2$.

Compléments

• Dans un circuit RL, le courant reste continu à l’instant de commutation, avec $i(0^+)=i(0^-)=0$ pour un circuit initialement sans courant.

• Dans un circuit RL, l’écart du courant à sa valeur continue est d’environ 37 % après une constante de temps et 0,7 % après cinq constantes de temps.

• Dans un circuit RC en charge, la tension du condensateur est continue et le courant initial vaut $i(0^+)=E/R$, qui n’est pas nul dans le modèle idéal.

📐 Formule - Lors de la décharge d’un condensateur initialement à la tension E dans une résistance R, $u(t)=Ee^{-t/\tau}$ et le courant selon les conventions de la figure vaut $i(t)=\frac{E}{R}e^{-t/\tau}$, avec $\tau=RC$.

• Dans les trois régimes de décharge RLC, la tension et le courant tendent vers zéro lorsque le temps tend vers l’infini.

💡 Astuce mémo

Dans RL, le courant ne saute pas ; dans RC, c’est la tension du condensateur qui reste continue.

📖 24. Circuits en régime sinusoïdal

🔑 Notions clés & Définitions

• Régime sinusoïdal quasi-stationnaire : Régime dans lequel l’intensité du courant est uniforme dans le circuit.

★ À maîtriser

• La représentation complexe permet de traiter les superpositions linéaires de fonctions sinusoïdales, notamment par dérivation et intégration.

📐 Formule - Pour un dipôle RLC série, l’impédance complexe est $\widetilde Z=R+j\left(L\omega-\frac{1}{C\omega}\right)$ et la loi d’Ohm complexe s’écrit $\widetilde U=\widetilde Z\widetilde I$.

📐 Formule - À la résonance d’intensité d’un circuit RLC, $\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$, l’impédance vaut R, la tension et le courant sont en phase, et l’amplitude du courant vaut $I_M=U_m/R$.

📐 Formule - En régime sinusoïdal, la puissance moyenne reçue par un dipôle est $P=\frac12 U_m I_m\cos\varphi=UI\cos\varphi$, où U et I sont les valeurs efficaces.

Compléments

📐 Formule - Pour deux oscillations de même fréquence, la somme des amplitudes complexes est $\widetilde A=\widetilde A_1+\widetilde A_2$.

📐 Formule - La représentation complexe ne permet pas de calculer directement le produit de deux grandeurs sinusoïdales en prenant le produit de leurs complexes ; leur valeur moyenne vérifie $\overline{fg}=\frac12\operatorname{Re}(\widetilde F\widetilde G^*)$.

📐 Formule - Pour un dipôle RLC série, le module de l’impédance vaut $Z=\sqrt{R^2+\left(L\omega-\frac{1}{C\omega}\right)^2}$ et son argument est $\varphi=\arctan\left(\frac{L\omega-1/(C\omega)}{R}\right)$.

📐 Formule - À la résonance d’un circuit RLC, le rapport de surtension vaut $\frac{U_C}{U_m}=\frac{L\omega_0}{R}=Q$.

📐 Formule - Pour une tension et un courant sinusoïdaux d’amplitudes maximales $U_m$ et $I_m$, les valeurs efficaces sont $U=U_m/\sqrt2$ et $I=I_m/\sqrt2$.

📖 25. Théorèmes des circuits linéaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Théorème de Thévenin : Le théorème de Thévenin remplace, pour une branche AB d’un réseau linéaire, le réseau par une source de tension complexe $\tilde{E}_t$ égale à la tension entre A et B lorsque la branche est supprimée, en série avec l’impédance équivalente complexe $\tilde{Z}_R$ entre A et B dans les mêmes conditions.
• Théorème de Norton : Le théorème de Norton remplace, pour une branche AB d’un réseau linéaire, le réseau par une source de courant complexe $\tilde{I}_n$ égale au courant entre A et B lorsque la branche est remplacée par un court-circuit, en parallèle avec l’impédance équivalente complexe $\tilde{Z}_R$ entre A et B dans les mêmes conditions.

★ À maîtriser

📌 Dans un circuit linéaire, le théorème de superposition affirme que le courant dans un dipôle est la somme algébrique des courants produits par chaque générateur pris isolément, les autres générateurs étant remplacés par leurs impédances internes.

• Le théorème de superposition affirme que, dans un dipôle, l’intensité totale est la somme algébrique des intensités produites séparément par chaque générateur, les autres générateurs étant remplacés par leurs impédances internes.

📐 Formule - Pour un nœud N relié à des nœuds de potentiels complexes $\tilde{V}_k$ par des branches d’admittances complexes $\tilde{Y}_k$, le théorème de Millmann donne $\tilde{V}_N = \frac{\sum_k \tilde{Y}_k \tilde{V}_k}{\sum_k \tilde{Y}_k}$ lorsque toutes les branches aboutissant en N sont des dipôles passifs linéaires.

Compléments

• Le théorème de superposition est utile lorsqu’un réseau comporte plusieurs sources de tension.

• Le théorème de Millmann permet d’éliminer les courants lorsqu’on s’intéresse uniquement aux tensions.

📌 La formule du théorème de Millmann n’est pas applicable sous cette forme si une branche aboutissant en N est active, notamment si elle impose une tension donnée.

• Dans la formule de Millmann, le dénominateur doit inclure les admittances des branches associées aux potentiels nuls.

• Le théorème de Thévenin est utile pour déterminer le courant dans une branche particulière du réseau.

• Le théorème de Norton est surtout utilisé en électronique dans les circuits comportant des transistors, qui font office de sources de courant.

📖 26. Pont déphaseur et équilibre du pont de Nernst

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans le pont déphaseur, l’égalité des amplitudes de sortie et d’entrée impose $RC=R_1C_1$, et le rapport complexe des tensions devient $\frac{\widetilde U}{\widetilde V}=\frac{1-jRC\omega}{1+jRC\omega}$.

📐 Formule - Le déphasage du pont vérifie $\varphi=2\arctan(RC\omega)$; pour $R=1/(C\omega)$, il vaut $\pi/2$.

📌 À l’équilibre du pont de Nernst, les impédances vérifient $\widetilde Z_1\widetilde Z=\widetilde Z_2\widetilde Z_3$, relation également valable sous la forme $\widetilde Y_1\widetilde Y=\widetilde Y_2\widetilde Y_3$ pour les admittances.

📐 Formule - L’impédance inconnue du pont de Nernst s’écrit $\frac1R+jC\omega=\frac{R_1}{R_2}\left(\frac1{R_3}+jC_3\omega\right)$, d’où $R=\frac{R_2R_3}{R_1}$ et $C=\frac{R_1C_3}{R_2}$.

Compléments

• Pour le pont de Nernst considéré, les admittances sont $\widetilde Y_1=1/R_1$, $\widetilde Y_2=1/R_2$, $\widetilde Y_3=1/R_3+jC_3\omega$ et $\widetilde Y=1/\widetilde Z$.

• L’application numérique au pont donne $R=680\,\mathrm{k\Omega}$ et $C=9{,}0\times10^{-8}\,\mathrm F$.

📖 27. Méthodes générales d’analyse des circuits

★ À maîtriser

• Par superposition, la tension et le courant du circuit valent $\widetilde U=-30\,\mathrm V$ et $\widetilde I=-3\times10^{-3}\,\mathrm A$, soit $u(t)=30\cos(1000\pi t+\pi)\,\mathrm V$ et $i(t)=3\cos(1000\pi t+\pi)\,\mathrm{mA}$.

• Le théorème de Millmann donne directement, pour le circuit étudié, $\widetilde U=-30\,\mathrm V$ et $\widetilde I=-3\times10^{-3}\,\mathrm A$.

Compléments

• Pour le circuit étudié, les impédances sont $Z_L=10\,000\,\Omega$ et $Z_C=5\,000\,\Omega$ à la pulsation considérée.

• Avec la source $e_1$ seule, l’impédance équivalente est $\widetilde Z_1=2\times10^3(1+3j)\,\Omega$, et les grandeurs calculées sont $\widetilde I_1=1{,}5\times10^{-3}(1-3j)\,\mathrm A$ et $\widetilde U_1=-15j(1+j)\,\mathrm V$.

• Pour appliquer Thévenin, on déconnecte la résistance et on supprime les sources pour calculer l’impédance équivalente, puis on calcule la tension à vide et on rebranche la résistance sur le générateur équivalent.

• Dans le circuit étudié, l’impédance de Thévenin vaut $\widetilde Z=-10^4j\,\Omega$ et la tension de Thévenin vaut $\widetilde E_t=30(j-1)\,\mathrm V$; le courant et la tension obtenus sont $\widetilde I=-3\times10^{-3}\,\mathrm A$ et $\widetilde U=-30\,\mathrm V$.

• Dans le circuit étudié, le courant de court-circuit de Norton est $\widetilde I_n=-3\times10^{-3}(1+j)\,\mathrm A$ et l’admittance équivalente est $\widetilde Y=10^{-4}j\,\mathrm S$; la tension obtenue est $\widetilde U=-30\,\mathrm V$.

📖 28. Champ et potentiel de l’atome sphérique

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour r>a, le champ radial de l’atome vaut $\vec E(r)=K\frac{Ze}{r^2}\left(\frac{a}{r}\right)^{n-3}\vec e_r$.

📐 Formule - Pour r>a, le potentiel de l’atome vaut $V(r)=K\frac{Ze}{(n-2)a}\left(\frac{a}{r}\right)^{n-4}$.

Compléments

📐 Formule - La continuité du potentiel en r=a impose $C=K\frac{Ze}{a}\frac{3-n}{n-2}$ pour la constante d’intégration de la région r<a.

📐 Formule - Pour r>a, la contribution du cortège électronique au champ est $\vec E_2(r)=K\frac{Ze}{r^2}\left[\left(\frac{a}{r}\right)^{n-3}-1\right]\vec e_r$.

📖 29. Méthode des images pour une sphère

★ À maîtriser

📐 Formule - La surface équipotentielle de potentiel nul produite par q en O et −λq en A est une sphère de centre $x_C=\frac{d}{1-\lambda^2},\quad y_C=0$ et de rayon $R=\frac{\lambda d}{1-\lambda^2}$.

📐 Formule - Pour représenter une sphère conductrice de rayon R, la charge image vaut $Q=-\lambda q$ et sa distance au centre O vaut $D=\frac{R}{\lambda}$.

Compléments

📐 Formule - Le champ sur la sphère conductrice est $E=Kq\frac{D^2-R^2}{Rr_1^3}$, où r1 est la distance entre la charge q et le point considéré sur la sphère.

📐 Formule - La densité surfacique induite sur la sphère vaut $\sigma=-\frac{q(D^2-R^2)}{4\pi Rr_1^3}$ et sa charge totale est $Q=-\frac{R}{D}q$.

💡 Astuce mémo

Visualiser la charge image −λq derrière la sphère, sur l’axe O–A.

📖 30. Trajectoire des électrons entre deux plans

★ À maîtriser

📐 Formule - Entre les plans x1 et x2, le potentiel varie linéairement selon $V(x)=\frac{V_2-V_1}{x_2-x_1}x+\frac{V_2x_1-V_1x_2}{x_1-x_2}$.

📐 Formule - Entre les plans, le champ électrique est uniforme et vaut $E_x=-\frac{V_2-V_1}{x_2-x_1}$; à l’extérieur des plans, il est nul dans les régions décrites.

📐 Formule - À la traversée d’une interface de potentiel, les composantes transversales de la vitesse donnent $\sqrt{V_1}\sin i_1=\sqrt{V_2}\sin i_2$, ce qui correspond à une réfraction de trajectoire.

Compléments

📐 Formule - Dans la région de champ uniforme, la trajectoire de l’électron vérifie $x=\frac{a y^2}{2v_0^2\sin^2 i}+y\tan i$, où $a=\frac{e}{m}\frac{V_2-V_1}{x_2-x_1}$.

📐 Formule - La conservation de l’énergie mécanique donne à l’électron de potentiel V la vitesse $v=\sqrt{\frac{2eV}{m}}$ lorsque son énergie mécanique initiale est nulle.

💡 Astuce mémo

Champ nul dans les zones équipotentielles, accélération constante entre les plans.

📖 31. Réseau capacitif et courants transitoires

★ À maîtriser

📐 Formule - Au nœud B du réseau capacitif, la loi des nœuds s’écrit $i_1+i_2=i_3$.

📐 Formule - En posant $\tau=RC$, le courant dans la branche commune décroît selon $i_3(t)=\frac{q_0}{\tau}e^{-t/\tau}$.

Compléments

📐 Formule - Pour les charges initiales q1=q0 et q2=0, les courants initiaux sont $i_{10}=\frac{2q_0}{3RC},\quad i_{20}=-\frac{q_0}{3RC},\quad i_{30}=\frac{q_0}{3RC}$.

📐 Formule - Les courants des deux autres branches sont $i_1(t)=\frac{q_0}{2\tau}(3e^{-3t/\tau}+e^{-t/\tau})$ et $i_2(t)=\frac{q_0}{2\tau}(e^{-t/\tau}-3e^{-3t/\tau})$.

📖 32. Filtres électriques et propagation du signal

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour le filtre RC passe-bas, la fonction de transfert est $\frac{\tilde u_2}{\tilde u_1}=\frac{1}{1+jRC\omega}$, de module $H(\omega)=\frac{1}{\sqrt{1+(RC\omega)^2}}$ et de phase $\varphi(\omega)=-\arctan(RC\omega)$.

📐 Formule - La pulsation de coupure du filtre RC est $\omega_c=\frac{1}{RC}$; à cette pulsation, le module de la fonction de transfert vaut $1/\sqrt{2}$.

📐 Formule - Dans le réseau LC étudié, la pulsation caractéristique vaut $\omega_c=\frac{2}{\sqrt{LC}}$; pour ω<ωc, le transfert de tension se fait sans atténuation.

Compléments

• Le filtre RC atténue les hautes fréquences et laisse passer les basses fréquences.

📐 Formule - Pour ω>ωc, la solution physique du réseau LC donne $\frac{U_n}{U_0}=\left(\frac{1-\sqrt{1-\omega_c^2/\omega^2}}{1+\sqrt{1-\omega_c^2/\omega^2}}\right)^n$.

💡 Astuce mémo

Sous ωc, le réseau LC transmet sans atténuation ; au-dessus, il atténue.

📊 Tableaux de synthèse

Types de dopage du silicium

Équivalents de Thévenin et de Norton