Fiche de révision : Évolutions, fonctions et suites

📋 Plan du Cours

1. Pourcentages et évolutions successives
2. Définition et cas affines
3. Graphique et coefficients affines
4. Variations et signe affines
5. Notion et modes des suites
6. Représentation graphique des suites
7. Définition et récurrence arithmétiques
8. Formule et variations arithmétiques

📖 1. Pourcentages et évolutions successives

★ À maîtriser

📐 Formule - Le taux d’évolution entre une valeur initiale VI et une valeur finale VF est $t=\frac{VF-VI}{VI}$.

• Le coefficient multiplicateur associé à une hausse de taux t est $1+t$, et celui associé à une baisse de taux t est $1-t$, où t est exprimé en écriture décimale.

• Le coefficient multiplicateur global de plusieurs évolutions successives est le produit de leurs coefficients multiplicateurs.

Compléments

📐 Formule - Pour appliquer une évolution de coefficient multiplicateur CM à une valeur initiale VI, on calcule $VF=VI\times CM$.

• Une hausse de 10 % suivie d’une baisse de 10 % correspond à un coefficient global de 1,10 × 0,90 = 0,99, soit une baisse globale de 1 %.

📐 Formule - Pour retrouver la valeur initiale après une évolution de coefficient multiplicateur CM, on applique le coefficient réciproque $\frac{1}{CM}$.

💡 Astuce mémo

Hausse : coefficient supérieur à 1 ; baisse : coefficient inférieur à 1

📖 2. Définition et cas affines

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction affine : Une fonction définie sur ℝ qui s’écrit f(x)=ax+b, où a et b sont des nombres réels.
• Fonction linéaire : Une fonction affine de la forme f(x)=ax, obtenue lorsque b=0.
• Fonction constante : Une fonction affine de la forme f(x)=b, obtenue lorsque a=0.

📖 3. Graphique et coefficients affines

★ À maîtriser

• La représentation graphique d’une fonction affine f(x)=ax+b est une droite d’équation y=ax+b.

• Dans f(x)=ax+b, a est le coefficient directeur de la droite et détermine sa pente.

• Dans f(x)=ax+b, b est l’ordonnée à l’origine et correspond à l’image de 0 par f.

Compléments

📐 Formule - Pour deux points A(x_A;y_A) et B(x_B;y_B) d’une droite représentative d’une fonction affine, son coefficient directeur vaut $a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$.

• La droite représentative d’une fonction linéaire passe par l’origine, tandis que celle d’une fonction constante est horizontale et a une équation de la forme y=k.

💡 Astuce mémo

La droite coupe l’axe vertical en b et monte ou descend selon le signe de a

📖 4. Variations et signe affines

★ À maîtriser

📐 Formule - Une fonction affine f(x)=ax+b s’annule en $x_0=-\frac{b}{a}$ lorsque a est non nul.

📌 Une fonction affine f(x)=ax+b est croissante sur ℝ si a>0 et décroissante sur ℝ si a<0.

Compléments

📌 Pour f(x)=4x+2, la fonction s’annule en −1/2, est négative pour x<−1/2 et positive pour x>−1/2.

📖 5. Notion et modes des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Une liste ordonnée de nombres dont les éléments sont appelés termes et repérés par leur rang ou indice.
• Suite explicite : Une suite définie explicitement lorsque chacun de ses termes se calcule directement à l’aide d’une formule en fonction de n.
• Suite par récurrence : Une suite dont les premiers termes sont donnés avec une relation permettant de calculer un terme à partir du ou des précédents.

📝 Points essentiels

• Le terme de rang n d’une suite u se note u_n ou u(n), et le terme suivant et le précédent se notent respectivement u_{n+1} et u_{n-1}.

• Dans la suite de Fibonacci présentée, u_0=1, u_1=1 et chaque terme à partir de u_2 est la somme des deux termes précédents.

💡 Astuce mémo

Explicite : accès direct ; récurrence : passer par les termes précédents

📖 6. Représentation graphique des suites

★ À maîtriser

• 🔄 Pour représenter graphiquement une suite :
  1. Placer les indices n sur l’axe des abscisses.
  2. Placer les termes u_n sur l’axe des ordonnées.
  3. Placer les points de coordonnées (n;u_n).

📌 La représentation graphique d’une fonction est une courbe, tandis que celle d’une suite est un nuage de points non reliés.

Compléments

• Pour la suite u_n=n²+2n−5, les quatre premiers termes sont u_0=−5, u_1=−2, u_2=3 et u_3=10.

💡 Astuce mémo

Fonction : courbe ; suite : points isolés non reliés

📖 7. Définition et récurrence arithmétiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Une suite dans laquelle on passe d’un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre r, appelé raison.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une suite arithmétique de raison r, la relation de récurrence est $u_{n+1}=u_n+r$.

Compléments

📐 Formule - Une suite est arithmétique si et seulement si la différence entre deux termes consécutifs est constante, et cette constante est sa raison : $u_{n+1}-u_n=r$.

• La suite de termes 3, 6, 9, 12, 15 est arithmétique de raison 3, tandis que la suite 5, 10, 15, 20, 24 ne l’est pas.

📖 8. Formule et variations arithmétiques

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une suite arithmétique de premier terme u_0 et de raison r, le terme de rang n vérifie $u_n=u_0+nr$.

📌 Une suite arithmétique est croissante si sa raison r est positive, décroissante si r est négative et constante si r est nulle.

Compléments

📐 Formule - Lorsque le premier terme connu est u_1, la formule d’une suite arithmétique est $u_n=u_1+(n-1)r$.

• La formule explicite d’une suite arithmétique permet de calculer n’importe quel terme sans calculer les termes précédents.

• Une suite arithmétique a une représentation graphique formée de points alignés, et l’écart vertical entre deux points successifs correspond à sa raison.