Fiche de révision : Fractions et nombres rationnels

📋 Plan du Cours

1. Nombres et ensembles numériques
2. Divisibilité et nombres premiers
3. Décomposition et fractions égales
4. Addition et soustraction de fractions
5. Multiplication de fractions
6. Inverse et division de fractions

📖 1. Nombres et ensembles numériques

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre entier : un nombre sans chiffre après la virgule.
• Nombre décimal : Un nombre décimal peut s’écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule, et tout nombre entier est aussi décimal.
• Nombre rationnel : peut s’écrire sous forme de fraction, qui est le quotient de deux nombres entiers.
• Nombre relatif : un nombre entier ou décimal positif ou négatif.

📖 2. Divisibilité et nombres premiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Divisibilité : un nombre est divisible par un autre si leur quotient est un nombre entier.
• Nombre premier : divisible seulement par 1 et par lui-même.

★ À maîtriser

• Les critères de divisibilité sont les suivants : par 2, le chiffre des unités est pair, par 3, la somme des chiffres est divisible par 3, par 5, le chiffre des unités est 0 ou 5, par 9, la somme des chiffres est divisible par 9, par 10, le chiffre des unités est 0

Compléments

• Les dix premiers nombres premiers sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 et 29.

📖 3. Décomposition et fractions égales

★ À maîtriser

• Tout nombre entier naturel supérieur à 1 et non premier peut s’écrire comme un produit de facteurs premiers.

📌 Pour obtenir une fraction égale ou simplifier une fraction, on multiplie ou on divise son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul.

Compléments

• La décomposition de 70 en facteurs premiers est $70=2\times5\times7$, à l’ordre des facteurs près.

• La fraction $\frac{126}{462}$ se simplifie en $\frac{3}{11}$ après décomposition du numérateur et du dénominateur en facteurs premiers et suppression des facteurs communs.

📖 4. Addition et soustraction de fractions

★ À maîtriser

• Pour additionner ou soustraire des fractions, on les met au même dénominateur, puis on additionne ou on soustrait leurs numérateurs.

Compléments

• $\frac{2}{3}+\frac{4}{5}=\frac{22}{15}$.

• $\frac{7}{10}-\frac{8}{20}=\frac{3}{10}$ après simplification de $\frac{8}{20}$ en $\frac{4}{10}$.

📖 5. Multiplication de fractions

★ À maîtriser

📌 Pour multiplier des fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

Compléments

📌 Il est préférable de simplifier les fractions dès que possible lors d’une multiplication.

• Prendre la moitié des $\frac{3}{4}$ d’une tarte revient à calculer $\frac{3}{4}\times\frac{1}{2}=\frac{3}{8}$.

• Les $\frac{2}{3}$ de 120 € valent 80 €.

💡 Astuce mémo

Imagine une part restante de tarte, puis prends-en une fraction : les deux parts se multiplient.

📖 6. Inverse et division de fractions

🔑 Notions clés & Définitions

• Inverse : Avec $a\neq0$, l’inverse de $a$ est $\frac{1}{a}$ ; l’inverse de $\frac{a}{b}$ est $\frac{b}{a}$.

★ À maîtriser

📌 Diviser par un nombre non nul revient à multiplier par son inverse.

📐 Formule - La division de fractions suit la relation $\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}$.

Compléments

📌 Deux nombres sont inverses l’un de l’autre si leur produit est égal à 1.

📌 L’opposé de $x$ est $-x$, tandis que son inverse est $\frac{1}{x}$ pour $x\neq0$.

• $\frac{1}{2}\div\frac{3}{4}=\frac{2}{3}\approx0{,}67$, arrondi au centième.

• $-\frac{3}{5}\div7=-\frac{3}{35}\approx-0{,}086$, arrondi au millième.

💡 Astuce mémo

L’inverse retourne le quotient ; l’opposé change le signe.