Fiche de révision : Suites numériques et suites particulières

📋 Plan du Cours

1. Notion et représentation des suites
2. Définition et calcul des suites
3. Variations d’une suite
4. Suites arithmétiques et raison constante
5. Suites géométriques et raison multiplicative
6. Variations des suites géométriques

📖 1. Notion et représentation des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Une suite numérique réelle est une fonction définie sur l’ensemble des entiers naturels, et son terme d’indice n est noté un.
• Représentation graphique d’une suite : La représentation graphique d’une suite est l’ensemble des points Mn de coordonnées (n ; un), avec n entier naturel ; ces points ne sont pas reliés.

📝 Points essentiels

📌 La suite (un) désigne la fonction, tandis que un désigne le nombre réel associé au rang n.

• Dans une suite, un+1 est le terme suivant un et un−1 est le terme précédent.

📖 2. Définition et calcul des suites

★ À maîtriser

📌 Une formule explicite donne un terme un directement en fonction de n, tandis qu’une relation de récurrence calcule un terme à partir d’un ou plusieurs termes précédents.

Compléments

• Avec la formule explicite un = n² + 2n + 3, les premiers termes sont u0 = 3, u1 = 6, u2 = 11 et u3 = 18.

• Pour calculer des termes par récurrence, on part du terme initial puis on applique la relation de récurrence successivement.

• La suite de Fibonacci présentée est définie par u0 = 1, u1 = 1 et un+2 = un+1 + un ; ses premiers termes sont 1, 1, 2, 3, 5 et 8.

💡 Astuce mémo

Formule explicite : accès direct ; récurrence : dépendance au terme précédent.

📖 3. Variations d’une suite

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite croissante : Une suite est croissante lorsque, pour tout entier naturel n, un ≤ un+1.
• Suite décroissante : Une suite est décroissante lorsque, pour tout entier naturel n, un ≥ un+1.

📝 Points essentiels

• Dans la représentation graphique, le nuage de points monte pour une suite croissante et descend pour une suite décroissante.

📖 4. Suites arithmétiques et raison constante

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Une suite est arithmétique de raison r lorsque, pour tout entier naturel n, un+1 = un + r.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une suite arithmétique, $u_n = u_p + (n-p)r$ et, si elle est définie à partir du rang 0, $u_n = u_0 + nr$.

• Une suite arithmétique de raison r > 0 est strictement croissante, de raison r < 0 strictement décroissante, et de raison r = 0 constante.

Compléments

• Pour montrer qu’une suite est arithmétique, on calcule un+1 − un et on vérifie que cette différence est constante ; cette constante est la raison.

• Pour la suite arithmétique un = 3 − 5n, la raison est −5 et le premier terme est u0 = 3.

💡 Astuce mémo

Raison positive → suite croissante ; raison négative → suite décroissante.

📖 5. Suites géométriques et raison multiplicative

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite géométrique : Une suite est géométrique de raison q non nulle lorsque, pour tout entier naturel n, un+1 = q × un.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une suite géométrique, $u_n = u_p q^{n-p}$ et, si elle est définie à partir du rang 0, $u_n = u_0 q^n$.

Compléments

• Pour montrer qu’une suite est géométrique, on exprime un+1 en fonction de un et on vérifie qu’il existe une constante q telle que un+1 = q × un.

💡 Astuce mémo

Multiplier par q à chaque rang → puissances successives de q dans la formule explicite.

📖 6. Variations des suites géométriques

★ À maîtriser

• Selon la valeur de q, la suite est :
  • strictement croissante si q > 1
  • constante si q = 1
  • strictement décroissante si 0 < q < 1

Compléments

• Si q > 1 et u0 > 0, une suite géométrique présente une croissance exponentielle et ses termes augmentent de plus en plus vite.

• Si 0 < q < 1 et u0 > 0, les termes d’une suite géométrique décroissent de plus en plus lentement en se rapprochant de 0.

• Les points de la représentation graphique d’une suite géométrique ne sont pas alignés.

💡 Astuce mémo

q > 1 fait croître les termes positifs ; 0 < q < 1 les fait décroître.