QCM : Suites numériques et suites particulières (10 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle propriété définit une suite numérique réelle ?

C’est un ensemble de nombres réels sans domaine d’indices.
C’est une fonction définie sur l’ensemble des nombres réels.
C’est une fonction définie sur l’ensemble des entiers naturels.
C’est une fonction définie sur les entiers naturels strictement positifs.

C’est une fonction définie sur l’ensemble des entiers naturels.

Explication

Une suite numérique réelle associe à chaque entier naturel un nombre réel. La définition sur les réels confond suite et fonction réelle, celle sur les entiers positifs exclut notamment l’indice zéro, et l’ensemble sans indices omet la structure de fonction.

2. Pour représenter graphiquement une suite dans un repère, quel ensemble de points faut-il tracer ?

Les points de coordonnées (un;n)(u_n;n), sans les relier.
Les points de coordonnées (n;un)(n;u_n), reliés par des segments.
Les points de coordonnées (2n;un)(2n;u_n), sans les relier.
Les points de coordonnées (n;un)(n;u_n), sans les relier.

Les points de coordonnées $$(n;u_n)$$, sans les relier.

Explication

Chaque terme d’indice naturel n est représenté par le point de coordonnées (n;un)(n;u_n), et les points restent séparés puisque les indices sont entiers. Relier les points assimile la suite à une courbe continue, inverser les coordonnées échange indice et terme, et utiliser 2n2n omet les indices impairs.

3. Une suite est donnée par u0=4u_0=4 et la règle un+1=2un+1u_{n+1}=2u_n+1. De quel mode de définition s’agit-il ?

Une définition par récurrence, qui utilise un terme précédent.
Une définition par les seuls termes initiaux, sans règle de calcul.
Une définition explicite, qui donne chaque terme depuis son indice.
Une définition graphique, qui associe un point à chaque terme.

Une définition par récurrence, qui utilise un terme précédent.

Explication

La relation calcule un nouveau terme à partir du précédent, ce qui caractérise une définition par récurrence. Une formule explicite ferait dépendre directement unu_n de n, tandis qu’un terme initial seul ne fournit pas la règle et qu’une représentation graphique ne définit pas le calcul des termes.

4. Une suite vérifie u0=5u_0=5 et un+1=un+3u_{n+1}=u_n+3. Quelle démarche permet de calculer successivement ses termes ?

Partir de u0u_0 et appliquer la relation à chaque étape.
Prendre chaque indice pour la valeur du terme correspondant.
Partir d’un terme éloigné et remonter vers u0u_0.
Calculer directement chaque terme avec une formule explicite supposée.

Partir de $$u_0$$ et appliquer la relation à chaque étape.

Explication

Pour une suite définie par récurrence, on part du terme initial puis on applique la relation successivement, par exemple u1u_1 puis u2u_2. Partir d’un terme éloigné exige de connaître les précédents, l’indice n’est pas la valeur du terme, et aucune formule explicite n’est donnée.

5. Que signifie qu’une suite est croissante ?

Chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par une constante.
Les termes augmentent d’une même quantité à chaque rang.
Chaque terme est inférieur ou égal au terme qui le suit.
Chaque terme est supérieur ou égal au terme qui le suit.

Chaque terme est inférieur ou égal au terme qui le suit.

Explication

Une suite est croissante lorsque, pour tout entier naturel nn, on a un≤un+1u_n \leq u_{n+1}. La condition un≥un+1u_n \geq u_{n+1} définit une suite décroissante, et non croissante.

6. Pour la suite arithmétique définie par un=3−5nu_n=3-5n, quelle est sa raison ?

55
33
−3-3
−5-5

$$-5$$

Explication

Dans une suite arithmétique de la forme un=u0+nru_n=u_0+nr, le coefficient de nn est la raison : ici, elle vaut −5-5. Le nombre 33 est le terme initial, et non la raison.

7. Dans une suite géométrique, quel est le rôle de la raison qq dans le passage d’un terme au suivant ?

Elle indique le nombre qu’on ajoute à un terme pour obtenir le suivant.
Elle donne directement la valeur du terme initial de la suite.
Elle représente le rang auquel la suite devient constante.
Elle indique le facteur par lequel on multiplie un terme pour obtenir le suivant.

Elle indique le facteur par lequel on multiplie un terme pour obtenir le suivant.

Explication

La raison qq sert de facteur multiplicatif : chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par qq. Ajouter une constante correspond au mécanisme d’une suite arithmétique, et non géométrique.

8. Quelle différence distingue l’évolution d’une suite géométrique de celle d’une suite arithmétique lorsque leur raison est positive ?

La suite géométrique est décroissante si sa raison dépasse 1, tandis que l’arithmétique est croissante dès que sa raison est positive.
La suite géométrique est croissante dès que sa raison est positive, tandis que l’arithmétique croît si sa raison dépasse 1.
La suite géométrique est croissante si sa raison dépasse 1, tandis que l’arithmétique est croissante dès que sa raison est positive.
La suite géométrique est constante si sa raison dépasse 1, tandis que l’arithmétique croît si sa raison est positive.

La suite géométrique est croissante si sa raison dépasse 1, tandis que l’arithmétique est croissante dès que sa raison est positive.

Explication

Pour une suite géométrique, une raison supérieure à 1 entraîne une croissance stricte, alors qu’une raison positive suffit à rendre une suite arithmétique strictement croissante. Une raison géométrique positive comprise entre 0 et 1 produit au contraire une suite décroissante.

9. Pourquoi les points représentant une suite numérique ne sont-ils pas reliés dans un graphique ?

Parce que les valeurs de la suite sont nécessairement des nombres entiers isolés.
Parce que les indices sont des entiers naturels et que la suite n’est pas définie entre deux rangs.
Parce que le graphique représente une fonction définie seulement sur les nombres réels.
Parce que les termes d’une suite ne peuvent pas être ordonnés selon leur rang.

Parce que les indices sont des entiers naturels et que la suite n’est pas définie entre deux rangs.

Explication

Une suite est définie sur les entiers naturels : seuls les points correspondant aux rangs entiers ont donc une valeur associée. Relier ces points suggérerait une définition de la suite entre deux rangs, ce qui n’est pas le cas.

10. Pour calculer rapidement le terme de rang 5 d’une suite définie par un=n2+2n+3u_n=n^2+2n+3, quelle démarche faut-il appliquer ?

Remplacer nn par 5 dans la formule pour obtenir directement le terme.
Ajouter 5 au terme initial, puis multiplier le résultat par 2.
Calculer d’abord les termes précédents en appliquant une relation de récurrence.
Déterminer la raison de la suite en comparant deux termes consécutifs.

Remplacer $$n$$ par 5 dans la formule pour obtenir directement le terme.

Explication

La formule explicite permet d’obtenir directement le terme recherché en substituant son indice, ici 5, à nn. Le calcul successif à partir de termes précédents correspond à une relation de récurrence, et non à l’utilisation de cette formule.

Révisez avec les flashcards

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Sur quel ensemble est définie une suite numérique réelle ?

Sur l’ensemble des entiers naturels.

Quelle différence distingue une formule explicite d’une relation de récurrence ?

La formule explicite dépend directement de nn, tandis que la récurrence utilise des termes précédents.

Que désigne la notation (un)(u_n) pour une suite ?

La fonction.

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