Fiche de révision : Corrélations et analyse de variance

📋 Plan du Cours

1. Calcul et interprétation de la corrélation
2. Principes généraux de l’ANOVA
3. Plans expérimentaux et variables
4. Décomposition de la variance
5. Calcul du critère F
6. Décision statistique et applications

📖 1. Calcul et interprétation de la corrélation

★ À maîtriser

📐 Formule - La valeur de décision de la corrélation est calculée comme $r = \frac{4{,}5633}{4{,}5634} \approx 0{,}99998 \approx 1{,}00$.

Compléments

• Dans l’exemple de corrélation, les sommes calculées sont Σxy = 793,63, Σx = 10,76, Σy = 440, Σx² = 19,332, (Σx)² = 115,78, Σy² = 32850 et (Σy)² = 193600.

💡 Astuce mémo

r proche de 1 : liaison forte ; r éloigné de 1 : liaison plus faible

📖 2. Principes généraux de l’ANOVA

🔑 Notions clés & Définitions

• ANOVA : Test paramétrique qui détermine si les moyennes de la variable dépendante Y diffèrent selon les niveaux de la variable indépendante X en analysant différentes sources de variance.

📝 Points essentiels

📌 L’ANOVA est utilisée pour comparer trois groupes ou plus selon le cours.

📌 La variabilité intergroupes correspond à l’effet de la variable indépendante augmenté de l’erreur expérimentale, tandis que la variabilité intragroupes correspond à l’erreur expérimentale.

💡 Astuce mémo

Variation intergroupes attribuable à la VI → F augmente

📖 3. Plans expérimentaux et variables

★ À maîtriser

📌 Dans le plan S<A>, le sujet est emboîté dans le facteur A et n’apparaît que dans un niveau de A, tandis que dans le plan S*A, chaque sujet est observé à tous les niveaux de A.

• Dans l’expérience sur l’image mentale, la variable dépendante est le nombre de mots correctement rappelés et la variable indépendante est le type d’apprentissage, avec deux modalités : apprentissage imagé et apprentissage non imagé.

Compléments

• L’expérience sur l’image mentale comprend deux groupes de 15 sujets et utilise le plan S15<A2>.

💡 Astuce mémo

S<A> : sujets emboîtés ; S*A : sujets croisés

📖 4. Décomposition de la variance

★ À maîtriser

📐 Formule - La variance totale se décompose en variance intragroupes et variance intergroupes selon $SC_{total} = SC_{dans} + SC_{entre}$.

📐 Formule - La somme des carrés intragroupes est calculée par $SC_{dans}=\sum(Y_{a}-M_{a})^{2}$.

📐 Formule - Pour des groupes d’effectifs égaux, la somme des carrés intergroupes est calculée par $SC_{entre}=\sum S(M_{a.}-M_{..})^{2}$.

Compléments

• Dans l’exemple à deux groupes, les moyennes sont M1 = 4, M2 = 10 et la grande moyenne est M.. = 7.

💡 Astuce mémo

Score → moyenne du groupe → moyenne générale

📖 5. Calcul du critère F

★ À maîtriser

📐 Formule - Le critère F est le rapport de la variabilité intragroupes à la variabilité intergroupes, soit $F=\frac{CM_{dans}}{CM_{entre}}=\frac{SC_{dans}/ddl_{dans}}{SC_{entre}/ddl_{entre}}$.

📐 Formule - Les carrés moyens sont obtenus en divisant chaque somme des carrés par ses degrés de liberté : $CM=\frac{SC}{ddl}$.

📐 Formule - Pour A groupes et S sujets par groupe, les degrés de liberté sont $ddl_{entre}=A-1$ et $ddl_{dans}=A(S-1)=N-A$.

Compléments

• Dans l’exemple à deux groupes de 15 sujets, ddlentre = 1 et ddldans = 28.

💡 Astuce mémo

SC → ddl → CM → F

📖 6. Décision statistique et applications

★ À maîtriser

📌 Si F calculé > F critique, H0 est rejetée et H1 est acceptée au risque α ; si F calculé < F critique, H0 n’est pas rejetée.

• 🔄 La décision de l’ANOVA suit quatre étapes :

  1. Poser H0 et H1
  2. Calculer F
  3. Lire F critique selon les degrés de liberté
  4. Comparer F calculé et F critique

• Dans l’expérience sur l’image mentale, F(1,28) = 111,11 et F critique = 4,196 au seuil α = 0,05 ; l’effet du format imagé sur la mémorisation est donc significatif.

Compléments

• Dans l’étude de Brandfort et al. (1972), 20 sujets sont répartis en quatre groupes de cinq selon le type de contexte, et la variable dépendante est le nombre d’idées retenues parmi les 14 présentes dans le texte.

• Dans l’étude de Brandfort et al. (1972), SCdans = 37,6, SCentre = 50,95, SCtotal = 88,55, F calculé = 7,23 et F critique = 3,239 pour α = 0,05 avec ddlentre = 3 et ddldans = 16.

• Dans l’exercice sur le sommeil, la variable indépendante est le nombre d’heures de sommeil avec trois modalités : 0 heure, 4 heures et 8 heures, et la variable dépendante est le temps de réaction en millisecondes.

💡 Astuce mémo

F calculé > F critique : rejet de H0 ; F calculé < F critique : maintien de H0

📊 Tableaux de synthèse

Sources de variation en ANOVA