Fiche de révision : Corrélations statistiques

📋 Plan du Cours

1. Objectifs et organisation du TD
2. Concept de corrélation
3. Types et représentation graphique
4. Coefficient de Bravais-Pearson
5. Interprétation du coefficient r
6. Test de significativité
7. Applications aux exercices

📖 1. Objectifs et organisation du TD

📝 Points essentiels

• Le TD de statistiques comporte 10 séances et est évalué par un examen 1 à la séance 5 sur 20 points et un examen 2 à la séance 10 sur 20 points.

• L’examen 1 porte sur les corrélations et les ANOVA, tandis que l’examen 2 porte sur l’ensemble des connaissances acquises pendant le TD.

📖 2. Concept de corrélation

🔑 Notions clés & Définitions

• Corrélation : Étude de l’intensité de la liaison entre deux variables qui covarient lorsqu’une variation de l’une s’accompagne d’une variation prévisible de l’autre.

📝 Points essentiels

📌 Dans l’étude d’une corrélation, X est la variable explicative, Y est la variable expliquée et la relation peut s’écrire Y = f(X).

📌 Deux variables indépendantes ont des valeurs de Y qui restent identiques quel que soit X, tandis que connaître X ne permet pas de prédire Y.

💡 Astuce mémo

Dépendantes : X informe sur Y ; indépendantes : X n’informe pas sur Y.

📖 3. Types et représentation graphique

🔑 Notions clés & Définitions

• Nuage de points : Représentation de la variable explicative X en abscisse et de la variable expliquée Y en ordonnée afin de visualiser leur relation.

📝 Points essentiels

📌 La corrélation de Bravais-Pearson mesure une liaison linéaire entre deux variables quantitatives lorsque leur distribution est normale, tandis que le rho de Spearman est utilisé lorsque la distribution n’est pas normale.

📖 4. Coefficient de Bravais-Pearson

🔑 Notions clés & Définitions

• Coefficient de corrélation linéaire : Mesure de la force de la relation entre deux variables X et Y comme le rapport de leur covariance au produit de leurs écarts-types.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le coefficient de corrélation linéaire vérifie $r=\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\operatorname{Var}(X)}\sqrt{\operatorname{Var}(Y)}}$.

Compléments

📐 Formule - La variance de X vérifie $\operatorname{Var}(X)=\frac{\sum (x_i-\bar{x})^2}{n}$ et la variance de Y vérifie $\operatorname{Var}(Y)=\frac{\sum (y_i-\bar{y})^2}{n}$.

📐 Formule - La covariance de X et Y vérifie $\operatorname{Cov}(X,Y)=\frac{\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{n}$.

💡 Astuce mémo

Covariance commune → rapportée aux écarts-types → coefficient r.

📖 5. Interprétation du coefficient r

★ À maîtriser

• Le coefficient r est positif pour une corrélation positive, négatif pour une corrélation négative et nul en l’absence de corrélation linéaire.

• Le coefficient de corrélation vérifie $-1\le r\le +1$ ; une valeur proche de +1 indique une forte liaison croissante et une valeur proche de −1 une forte liaison décroissante.

• Une corrélation proche de 0 indique une relation linéaire faible ou absente, mais une relation non linéaire peut exister, comme une courbe en U inversé.

Compléments

• Le coefficient de détermination vérifie $r^2\in[0{,}1]$ et représente la proportion de variance commune, c’est-à-dire le pourcentage de variance expliquée par la liaison entre deux variables.

💡 Astuce mémo

Près de +1 : liaison croissante ; près de −1 : liaison décroissante ; près de 0 : liaison linéaire faible.

📖 6. Test de significativité

★ À maîtriser

• 🔄 Le test d’une corrélation suit quatre étapes :
  1. Poser H0 et H1.
  2. Calculer r.
  3. Lire la valeur critique dans la table de Bravais-Pearson.
  4. Comparer les deux valeurs et prendre une décision.

📌 L’hypothèse nulle H0 affirme qu’il n’existe pas de relation linéaire entre X et Y, tandis que l’hypothèse H1 affirme qu’il existe une relation linéaire entre X et Y.

📐 Formule - Le degré de liberté du test vérifie $v=n-p-1$ ; avec une seule variable explicative, $p=1$ et donc $v=n-2$.

📌 Si la valeur absolue de r calculé est supérieure ou égale à r seuil, H0 est rejetée et H1 est acceptée ; sinon, H0 ne peut pas être rejetée.

Compléments

📌 Au seuil α = 0,05, le risque d’erreur est de 5 % et la probabilité associée à une conclusion correcte est de 95 %.

💡 Astuce mémo

Hypothèses → r calculé → r critique → décision.

📖 7. Applications aux exercices

★ À maîtriser

• Dans l’exercice sur six patients, r = 0,039 et r critique = 0,8114 avec 4 degrés de liberté au seuil de 5 %, donc H0 ne peut pas être rejetée et la qualité de vie n’est pas corrélée à l’intensité des symptômes.

• Dans l’exercice sur six garçons, r = 0,99998 et r critique = 0,8114 avec 4 degrés de liberté au seuil de 5 %, donc H0 est rejetée et la corrélation linéaire entre la taille et le poids est significative.

Compléments

📌 Le coefficient r est sensible aux arrondis, en particulier lorsque la corrélation est très forte.

📊 Tableaux de synthèse

Pearson et Spearman