Fiche de révision : Critère de convergence des suites

📋 Plan du Cours

1. Limites de suite
2. Limite infinie
3. Limite finie
4. Convergence suite finie
5. Convergence suite infinie
6. Critère de comparaison
7. Formes indéterminées
8. Opérations limites
9. Monotonie suite
10. Théorème de convergence monotone

📖 1. Limites de suite

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite infinie (+∞ ou -∞) :
  Une suite $(u_n)$ a pour limite $+\infty$ lorsque, pour tout réel $A > 0$, il existe un rang $n_0$ tel que pour tout $n \geq n_0$, $u_n > A$.
  En langage mathématique :
  $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$ ssi $\forall A > 0, \exists n_0 \in \mathbb{N} / \forall n \geq n_0, u_n > A$.
  De même, $\lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty$ ssi $\forall A < 0, \exists n_0 \in \mathbb{N} / \forall n \geq n_0, u_n < A$.

• Exemples classiques de suites à limite infinie :
  Selon PERROUX (date non précisée), les suites $(n)$, $(n^2)$, $(e^n)$, et $(k^n)$ avec $k > 0$ ont pour limite $+\infty$ quand $n \to +\infty$.

• Remarque importante :
  La limite infinie d'une suite n'implique pas sa monotonie. Une suite peut diverger vers $+\infty$ sans être croissante, comme la suite $(u_n)$ définie par $u_n = \sin(n) + n$.

📝 Points essentiels

• La définition rigoureuse de la limite infinie repose sur la propriété : pour tout $A > 0$ (ou $A < 0$), il existe un rang $n_0$ tel que tous les termes à partir de ce rang dépassent (ou sont inférieurs à) $A$.
• Les suites classiques telles que $(n)$, $(n^2)$, $(e^n)$, et $(k^n)$ avec $k > 0$ illustrent la limite infinie.
• La limite infinie ne garantit pas la monotonie : une suite peut diverger vers $+\infty$ sans être croissante.

💡 À retenir

Une suite a une limite infinie lorsque ses termes deviennent arbitrairement grands (ou petits) à partir d’un certain rang, indépendamment de sa monotonie.

📖 2. Limite infinie

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite finie d'une suite :
  Une suite $(u_n)$ a pour limite un réel $l$ lorsque, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe un rang $n_0$ tel que, pour tout $n \geq n_0$, $|u_n - l| < \varepsilon$.
  En langage mathématique :
  $\lim_{n \to +\infty} u_n = l$ ssi $\forall \varepsilon > 0, \exists n_0 \in \mathbb{N}, \forall n \geq n_0, |u_n - l| < \varepsilon$.
  Point essentiel : La limite est unique.

• Suite convergente vers 0 :
  Les suites classiques $(1/n)$, $(1/n^2)$, et $(e^{-n})$ convergent toutes vers 0.
  Exemples :
  $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$,
  $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^2} = 0$,
  $\lim_{n \to +\infty} e^{-n} = 0$.

• Unicité de la limite finie :
  Si une suite $(u_n)$ admet deux limites finies différentes $l$ et $l'$, alors contradiction.
  Remarque : La limite, si elle existe, est unique.

• Limite finie n'implique pas monotonie :
  Une suite peut converger vers un réel $l$ sans être monotone.
  Exemple : La suite oscillante $((-1)^n)$ converge vers 0 si on considère la moyenne, mais n'est pas monotone.

📝 Points essentiels

• La définition rigoureuse de la limite finie repose sur la propriété d'encadrement : pour tout $\varepsilon > 0$, les termes de la suite finissent par appartenir à l'intervalle $(l - \varepsilon, l + \varepsilon)$ à partir d'un certain rang $n_0$.
• La limite est unique : si deux limites existent, elles doivent être égales.
• La convergence vers 0 est illustrée par des suites classiques comme $(1/n)$, $(1/n^2)$, et $(e^{-n})$.
• La convergence ne nécessite pas la monotonie : une suite peut converger tout en étant oscillante ou non monotone.

💡 À retenir

Une suite converge vers un réel $l$ si, à partir d’un certain rang, ses termes restent arbitrairement proches de $l$, indépendamment de leur comportement oscillant ou non monotone. La limite, si elle existe, est toujours unique.

📖 3. Limite finie

🔑 Notions clés & Définitions

• Convergence d'une suite finie : Une suite (𝑢𝑛) converge vers un réel 𝑙 si, à partir d’un certain rang 𝑛₀, tous ses termes appartiennent à un intervalle autour de 𝑙, c’est-à-dire pour tout 𝜀 > 0, il existe 𝑛₀ tel que pour tout 𝑛 ≥ 𝑛₀, 𝑢𝑛 ∈ ]𝑙 − 𝜀 ; 𝑙 + 𝜀[ (voir définition de limite finie, ****).
• Limite finie : La limite d’une suite (𝑢𝑛) est un nombre réel 𝑙 si, pour tout 𝜀 > 0, il existe un rang 𝑛₀ tel que pour tout 𝑛 ≥ 𝑛₀, la différence |𝑢𝑛 − 𝑙| est inférieure à 𝜀.
• Caractérisation de la convergence (voir définition) : La suite (𝑢𝑛) converge vers 𝑙 si, pour tout 𝜀 > 0, il existe 𝑛₀ ∈ ℕ tel que, pour tout 𝑛 ≥ 𝑛₀, 𝑢𝑛 ∈ ]𝑙 − 𝜀 ; 𝑙 + 𝜀[.
• Exemples de suites convergentes : (1/𝑛), (𝑒^{−𝑛}), (𝑙im 𝑛→+∞ 1/𝑛² = 0).
• Unicité de la limite : Si une suite (𝑢𝑛) admet une limite finie 𝑙, cette limite est unique (voir propriété).

📝 Points essentiels

• La convergence vers un réel 𝑙 implique que, pour tout 𝜀 > 0, il existe un rang 𝑛₀ tel que tous les termes après ce rang appartiennent à l’intervalle ]𝑙 − 𝜀 ; 𝑙 + 𝜀[.
• La limite est indépendante de la manière dont la suite est approchée, elle est caractérisée par la propriété d’appartenance des termes à un intervalle autour de 𝑙 à partir d’un certain rang.
• La limite finie est unique : si deux limites existent, elles doivent être égales.
• La convergence d’une suite (𝑢𝑛) vers 𝑙 est souvent démontrée en montrant que |𝑢𝑛 − 𝑙| devient arbitrairement petit lorsque 𝑛 devient grand.
• Exemples classiques : (1/𝑛) → 0, (𝑒^{−𝑛}) → 0, (𝑙𝑖𝑚 𝑛→+∞ 𝑛) = +∞ (limite infinie, voir section 4).

💡 À retenir

Une suite converge vers un réel 𝑙 si, à partir d’un certain rang, tous ses termes restent dans un intervalle arbitrairement petit autour de 𝑙 ; cette limite est unique et caractérise la proximité des termes avec 𝑙.

📖 4. Convergence suite finie

🔑 Notions clés & Définitions

• Convergence vers +∞ : Selon PERROUX (date), une suite $(u_n)$ converge vers +∞ si, pour tout réel $A$, il existe un rang $n_0$ tel que, pour tout $n \geq n_0$, tous les termes $u_n$ appartiennent à l’intervalle $\,]A; +\infty[$. Autrement dit, à partir d’un certain rang, tous les termes sont supérieurs à tout réel $A$ choisi.

• Convergence vers -∞ : De même, selon PERROUX (date), une suite $(u_n)$ converge vers -∞ si, pour tout réel $A$, il existe un rang $n_0$ tel que, pour tout $n \geq n_0$, tous les termes $u_n$ appartiennent à l’intervalle $\,]-\infty; A[$. Autrement dit, à partir d’un certain rang, tous les termes sont inférieurs à tout réel $A$.

• Caractérisation de la convergence vers +∞ : La suite $(u_n)$ converge vers +∞ si et seulement si, à partir d’un certain rang, tous ses termes sont dans l’intervalle $\,]A; +\infty[$ pour tout $A \in \mathbb{R}$. Cela implique que la suite devient arbitrairement grande.

• Caractérisation de la convergence vers -∞ : La suite $(u_n)$ converge vers -∞ si et seulement si, à partir d’un certain rang, tous ses termes sont dans l’intervalle $\,]-\infty; A[$ pour tout $A \in \mathbb{R}$. La suite devient alors arbitrairement petite.

• Exemples de suites divergentes vers +∞ ou -∞ :

  • $\left(n\right)$, $\left(n^2\right)$, $\left(e^n\right)$ ont pour limite +∞.
  • $\left(-n\right)$, $\left(-n^2\right)$, $\left(-e^n\right)$ ont pour limite -∞.

📝 Points essentiels

• La convergence vers +∞ ou -∞ se caractérise par l’inclusion des termes dans un intervalle $\,]A; +\infty[$ ou $\,]-\infty; A[$ à partir d’un rang suffisant, pour tout réel $A$.
• La notion de limite infinie n’implique pas la monotonie de la suite, comme le montre l’exemple de $\left((-1)^n n\right)$ qui diverge vers +∞ ou -∞ selon le cas, sans être monotone.
• La suite $\left(n\right)$ diverge vers +∞, ce qui signifie qu’elle devient arbitrairement grande, mais elle n’est pas nécessairement croissante.
• La suite $\left(-n\right)$ diverge vers -∞, devenant arbitrairement petite, sans être décroissante.

💡 À retenir

Une suite converge vers +∞ ou -∞ lorsque ses termes deviennent arbitrairement grands ou petits à partir d’un certain rang, ce qui se traduit par leur inclusion dans des intervalles $\,]A; +\infty[$ ou $\,]-\infty; A[$ pour tout réel $A$.

📖 5. Convergence suite infinie

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite infinie (limite +∞ ou -∞) : Selon PERROUX (date), une suite (𝑢𝑛) a pour limite +∞ quand, pour tout A > 0, il existe un rang 𝑛₀ tel que pour tout n ≥ 𝑛₀, 𝑢𝑛 > A. De même, elle a pour limite -∞ si, pour tout A < 0, il existe 𝑛₀ tel que pour tout n ≥ 𝑛₀, 𝑢𝑛 < A.

• Limite finie (limite l) : Selon PERROUX (date), une suite (𝑢𝑛) converge vers un réel l si, pour tout ε > 0, il existe 𝑛₀ tel que pour tout n ≥ 𝑛₀, 𝑢𝑛 ∈ ]l - ε ; l + ε[. Autrement dit, tous les termes finissent par appartenir à un intervalle centré en l.

• Théorème de comparaison pour limites infinies : Si (𝑢𝑛) et (𝑣𝑛) sont deux suites telles que 𝑢𝑛 ≥ 𝑣𝑛 à partir d’un rang et que lim 𝑣𝑛 = +∞ (ou -∞), alors lim 𝑢𝑛 = +∞ (ou -∞). Ce résultat est attribué à PERROUX (date).

• Théorème des gendarmes (encadrement) pour limites finies : Selon PERROUX (date), si (𝑣𝑛), (𝑤𝑛) sont telles que 𝑣𝑛 ≤ 𝑢𝑛 ≤ 𝑤𝑛 à partir d’un rang et que lim 𝑣𝑛 = lim 𝑤𝑛 = l, alors lim 𝑢𝑛 = l.

• Notion de suite bornée : Selon PERROUX (date), une suite (𝑢𝑛) est bornée si elle est à la fois majorée et minorée, c’est-à-dire qu’il existe M, m ∈ ℝ tels que pour tout n, m ≤ 𝑢𝑛 ≤ M.

📝 Points essentiels

• La limite infinie s’obtient en montrant que, pour tout A > 0 (ou < 0), tous les termes de la suite finissent par dépasser (ou descendre en dessous) une certaine valeur A à partir d’un rang suffisant, selon la définition rigoureuse de PERROUX.

• Le théorème de comparaison pour limites infinies permet de déduire la limite d’une suite (𝑢𝑛) en comparant avec une autre suite (𝑣𝑛) dont la limite est connue, en utilisant l’inégalité 𝑢𝑛 ≥ 𝑣𝑛 ou 𝑢𝑛 ≤ 𝑣𝑛.

• Le théorème des gendarmes est un outil puissant pour encadrer une suite (𝑢𝑛) entre deux suites (𝑣𝑛) et (𝑤𝑛) qui ont la même limite finie, permettant ainsi de conclure à la convergence de (𝑢𝑛).

• La convergence vers une limite finie est souvent démontrée en utilisant la définition ε-δ ou en encadrant la suite entre deux autres suites convergentes.

• La notion de suite bornée est essentielle pour appliquer le théorème de convergence monotone ou pour établir la convergence de suites monotones.

💡 À retenir

Les théorèmes de comparaison et des gendarmes sont fondamentaux pour établir la convergence ou divergence des suites, en permettant d’encadrer une suite entre deux autres dont la limite est connue ou pour déduire des limites infinies à partir d’inégalités.

📖 6. Critère de comparaison

🔑 Notions clés & Définitions

• Formes indéterminées : Expressions limites qui ne permettent pas de conclure directement sur la limite d’une suite, telles que $\infty - \infty$, $0 \times \infty$, $0/0$, $\infty / \infty$. Ces formes nécessitent des méthodes spécifiques pour déterminer la limite (voir propriété sur formes indéterminées).

• Propriété sur opérations limites (somme, produit, quotient) : Si deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent, alors leur somme $(u_n + v_n)$, produit $(u_n v_n)$, et quotient $(u_n / v_n)$ (avec $v_n \neq 0$ à partir d’un certain rang) ont aussi une limite, donnée par la somme, le produit ou le quotient des limites respectives (voir propriétés des opérations limites).

• Règles de calcul des limites (cas des limites finies ou infinies) : Selon que les limites des suites $(u_n)$ et $(v_n)$ soient finies ou infinies, on applique des règles spécifiques pour déterminer la limite de leur somme, produit ou quotient, notamment en utilisant la comparaison entre limites infinies ou formes indéterminées (voir règles de calcul).

• Suites définies par récurrence : Suites dont chaque terme est défini à partir des termes précédents selon une relation donnée. La limite de telles suites peut être étudiée en utilisant des propriétés spécifiques, notamment en montrant que la suite est bornée et monotone ou en utilisant des méthodes de convergence (voir propriété sur suites récurrentes).

• Théorème de comparaison : Si $(u_n)$ et $(v_n)$ sont deux suites telles que $u_n \geq v_n$ à partir d’un certain rang, et si $\lim_{n \to \infty} v_n = +\infty$, alors $\lim_{n \to \infty} u_n = +\infty$ (idem pour $-\infty$). Ce théorème permet d’encadrer et d’étudier la limite en comparant avec des suites dont la limite est connue.

📝 Points essentiels

• Les formes indéterminées en limites de suites, comme $\infty - \infty$, $0 \times \infty$, $0/0$, $\infty / \infty$, nécessitent des méthodes particulières pour en déduire la limite (voir propriété spécifique). Par exemple, pour $\infty - \infty$, on peut factoriser ou utiliser la règle de l’Hôpital dans certains cas.

• La propriété sur opérations limites indique que si $(u_n) \to l$ et $(v_n) \to l'$, alors :

  • $(u_n + v_n) \to l + l'$,
  • $(u_n v_n) \to l \times l'$,
  • Si $v_n \neq 0$ à partir d’un certain rang, $(u_n / v_n) \to l / l'$ (avec précautions en cas de limites infinies ou formes indéterminées).

• La règle de l’encadrement par le théorème des gendarmes (voir section 5) permet de conclure sur la limite d’une suite $(u_n)$ en l’encadrant entre deux suites $(v_n)$ et $(w_n)$ ayant la même limite.

• La convergence d’une suite définie par récurrence peut être étudiée en montrant que la suite est bornée et monotone, ou en utilisant la propriété sur suites récurrentes (voir propriété sur suites récurrentes).

💡 À retenir

Les formes indéterminées nécessitent des méthodes spécifiques pour déterminer la limite, et le théorème de comparaison permet d’établir la limite d’une suite en l’encadrant entre deux suites convergentes vers la même limite.

📖 7. Formes indéterminées

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite monotone : une suite (𝑢𝑛) est dite monotone si elle est soit croissante (𝑢𝑛+1 ≥ 𝑢𝑛) pour tout n, soit décroissante (𝑢𝑛+1 ≤ 𝑢𝑛) pour tout n. AUTEUR (date) : cette définition permet d’étudier la convergence en lien avec la monotonie.
• Lien entre monotonie et limite : selon T. de convergence monotone (voir section 8), toute suite monotone et bornée converge vers une limite finie. La monotonie n’implique pas nécessairement une limite infinie, mais garantit la convergence si la suite est bornée.
• Exemples de suites monotones avec limite finie ou infinie :
  • Suite croissante bornée (ex : (1 - 1/n)) converge vers 1.
  • Suite décroissante non bornée (ex : (−n)) tend vers -∞.
  • Suite croissante non bornée (ex : (n)) tend vers +∞.

📝 Points essentiels

• La monotonie d’une suite (croissante ou décroissante) associée à sa bornitude détermine sa convergence :
  • Si (𝑢𝑛) est croissante et bornée supérieurement, alors elle converge vers une limite finie (voir théorème de convergence monotone).
  • Si (𝑢𝑛) est décroissante et bornée inférieurement, alors elle converge aussi vers une limite finie.
• La limite d’une suite monotone peut être finie ou infinie :
  • Exemple de limite finie : (1 - 1/n) → 1.
  • Exemple de limite infinie : (n) → +∞.
• La relation entre monotonie et limite :
  • Une suite monotone et bornée est forcément convergente (voir théorème de convergence monotone).
  • Une suite monotone non bornée tend vers +∞ ou -∞.
• La limite d’une suite monotone est unique (voir propriété de l’unicité).

💡 À retenir

Une suite monotone (croissante ou décroissante) converge si elle est bornée ; sinon, elle tend vers +∞ ou -∞. La monotonie associée à la bornitude garantit la convergence vers une limite finie.

📖 8. Opérations limites

🔑 Notions clés & Définitions

Théorème de convergence monotone (sans auteur précis dans le source) : Toute suite monotone (croissante ou décroissante) et majorée (resp. minorée) converge vers une limite finie. Si une suite est croissante et bornée supérieurement, elle converge vers sa borne supérieure ; si elle est décroissante et bornée inférieurement, elle converge vers sa borne inférieure.

Lien entre monotonie, bornes et convergence (sans auteur précis dans le source) : Une suite monotone et bornée est nécessairement convergente. La convergence est assurée par le théorème de convergence monotone, reliant la monotonie et la bornitude à la comportement limite.

Application du théorème de convergence monotone (sans auteur précis dans le source) : Utilisé pour démontrer la convergence de suites définies par récurrence ou par limite, notamment dans l’approximation de constantes comme π ou le nombre d’or, en utilisant la monotonie et la bornitude.

📝 Points essentiels

• Suite monotone : Une suite est dite monotone si elle est croissante (𝑢𝑛+1 ≥ 𝑢𝑛) ou décroissante (𝑢𝑛+1 ≤ 𝑢𝑛) pour tout n.
• Suite majorée : Il existe un réel 𝑀 tel que pour tout n, 𝑢𝑛 ≤ 𝑀.
• Suite minorée : Il existe un réel 𝑚 tel que pour tout n, 𝑢𝑛 ≥ 𝑚.
• Convergence d’une suite monotone bornée : Selon le théorème de convergence monotone, si une suite est monotone et bornée, alors elle converge vers une limite finie. La limite est la borne supérieure si la suite est croissante et bornée supérieurement, ou la borne inférieure si décroissante et bornée inférieurement.
• Lien entre bornes et limite : La limite d’une suite monotone est nécessairement comprise entre ses bornes (majorant et minorant). Si la suite est croissante et bornée, elle converge vers sa borne supérieure ; si décroissante et bornée, vers sa borne inférieure.

💡 À retenir

Une suite monotone et bornée converge toujours vers une limite finie, ce qui permet d’établir la convergence en utilisant uniquement la monotonie et la bornitude, sans calculs explicites de limite.

📖 9. Monotonie suite

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite finie : Une suite (𝑢𝑛) converge vers un réel 𝑙 si, pour tout ε > 0, il existe un rang 𝑛₀ tel que, pour tout n ≥ 𝑛₀, 𝑢𝑛 ∈ ]𝑙 − ε ; 𝑙 + ε[. La limite est unique si elle existe, selon la propriété mentionnée dans le contenu source.
• Limite infinie : Une suite (𝑢𝑛) a pour limite +∞ quand, pour tout A > 0, il existe un rang 𝑛₀ tel que, pour tout n ≥ 𝑛₀, 𝑢𝑛 > 𝐴, comme l’indique PERROUX (date) dans la définition rigoureuse.
• Convergence : La propriété qu’une suite (𝑢𝑛) tend vers une limite finie 𝑙 ou une limite infinie ( +∞ ou -∞ ), selon la notion de limite (voir section 3). La convergence implique que les termes de la suite deviennent arbitrairement proches de la limite à partir d’un certain rang.
• Notion de limite (générale) : La limite d’une suite (𝑢𝑛) est le nombre vers lequel ses termes se rapprochent indéfiniment lorsque n tend vers +∞, qu’elle soit finie ou infinie.
• Notion de convergence (générale) : La suite (𝑢𝑛) est dite convergente si elle possède une limite finie ou infinie, et si ses termes s’en rapprochent à partir d’un certain rang, conformément à la définition en langage mathématique.

📝 Points essentiels

• La limite d’une suite monotone (croissante ou décroissante) peut être finie ou infinie, mais la propriété de monotonie permet, selon le THÉORÈME DE CONVERGENCE MONOTONE, de garantir la convergence si la suite est majorée ou minorée.
• La limite d’une suite croissante et bornée supérieure converge vers le supremum de l’ensemble de ses termes, tandis que la limite d’une suite décroissante et bornée inférieure converge vers l’infimum, selon la propriété du THÉORÈME DE CONVERGENCE MONOTONE.
• La limite est unique, ce qui évite toute ambiguïté dans l’analyse de la convergence.
• La notion de suite bornée, majorée ou minorée est essentielle pour appliquer le THÉORÈME DE CONVERGENCE MONOTONE.
• La monotonie n’implique pas nécessairement la limite infinie (exemple : suite croissante et bornée converge vers une limite finie).

💡 À retenir

Une suite monotone (croissante ou décroissante) qui est bornée converge vers une limite finie ou infinie, et cette convergence est assurée par le THÉORÈME DE CONVERGENCE MONOTONE. La limite est toujours unique, ce qui facilite l’étude de la convergence dans l’analyse des suites.

📖 10. Théorème de convergence monotone

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite monotone : Une suite (𝑢𝑛) est dite monotone si elle est soit croissante (𝑢𝑛+1 ≥ 𝑢𝑛 pour tout n), soit décroissante (𝑢𝑛+1 ≤ 𝑢𝑛 pour tout n). (AUTEUR non précisé)

• Suite majorée : Une suite (𝑢𝑛) est majorée s'il existe un réel 𝑀 tel que, pour tout n, 𝑢𝑛 ≤ 𝑀. (AUTEUR non précisé)

• Suite minorée : Une suite (𝑢𝑛) est minorée s'il existe un réel 𝑚 tel que, pour tout n, 𝑢𝑛 ≥ 𝑚. (AUTEUR non précisé)

• Convergence d'une suite : Une suite (𝑢𝑛) converge vers un réel 𝑙 si, pour tout ε > 0, il existe un rang 𝑛₀ tel que, pour tout n ≥ 𝑛₀, |𝑢𝑛 − 𝑙| < ε. (AUTEUR non précisé)

• Théorème de convergence monotone : Si une suite (𝑢𝑛) est monotone et bornée (majorée ou minorée), alors elle converge vers une limite finie. (AUTEUR non précisé)

📝 Points essentiels

• Le théorème de convergence monotone établit que toute suite monotone et bornée (majorée ou minorée) possède une limite finie (dite limite de la suite). Cela permet de garantir la convergence sans connaître explicitement la limite, en se basant uniquement sur la monotonie et la bornitude (voir "Les suites monotones avec limite finie").

• La propriété fondamentale est que l'une des deux conditions (monotonie + bornitude) suffit pour assurer la convergence (voir "Théorème de convergence monotone"). En particulier, une suite croissante et majorée ou décroissante et minorée converge.

• La limite d'une suite monotone est unique (voir "Propriété de limite unique"). Si une suite est croissante et bornée, sa limite est inférieure ou égale à tout majorant ; si elle est décroissante et bornée, sa limite est supérieure ou égale à tout minorant.

• La preuve du théorème repose souvent sur l'encadrement (théorème des gendarmes) et l'utilisation d'inégalités pour montrer que la suite se rapproche d'une valeur limite.

• La propriété de majoration ou de minorisation permet d'encadrer la limite, notamment en utilisant des suites auxiliaires pour appliquer le théorème des gendarmes.

💡 À retenir

Le théorème de convergence monotone garantit que toute suite monotone et bornée converge vers une limite finie, ce qui est essentiel pour établir la convergence dans de nombreux cas sans calculs explicites.

📊 Tableaux de Synthèse

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre limite infinie (+∞ ou -∞) et divergence sans limite.
2. Croissance rapide d’une suite ne garantit pas sa monotonie (exemple : $u_n = \sin(n) + n$).
3. Une suite diverge vers +∞ sans être croissante.
4. La convergence vers 0 ne nécessite pas la monotonie (exemple : suite oscillante).
5. La limite finie est toujours unique, mais une suite peut avoir plusieurs comportements oscillants.
6. La convergence vers +∞ ou -∞ ne garantit pas la monotonie (exemple : suite alternée).
7. Faux ami : penser que une suite qui diverge vers +∞ est nécessairement croissante.

✅ Checklist Examen (avec auteurs et concepts clés)

1. Connaître la définition rigoureuse de la limite infinie selon PERROUX.
2. Savoir que la limite infinie ne garantit pas la monotonie de la suite.
3. Maîtriser la définition de limite finie et la propriété d’unicité.
4. Savoir que la convergence vers 0 est illustrée par (1/n), (1/n²), et (e^{-n}).
5. Connaître la définition de convergence d’une suite vers un réel l (ε-approche).
6. Savoir que la limite finie est caractérisée par |uₙ - l| < ε à partir d’un certain rang.
7. Connaître la définition de convergence vers +∞ et -∞ selon PERROUX.
8. Savoir que la suite (n) diverge vers +∞, la suite (-n) vers -∞, sans nécessité de monotonie.
9. Être capable d’identifier si une suite converge vers une limite finie ou infinie à partir de ses termes.
10. Maîtriser la propriété que si une suite admet deux limites finies différentes, c’est une contradiction.
11. Savoir que la convergence vers +∞ ou -∞ implique que, pour tout A, à partir d’un certain rang, tous les termes sont dans ]A; +∞[ ou ]−∞; A[.
12. Vérifier que la suite (uₙ) converge vers une limite finie ou infinie en utilisant la propriété d’encadrement ou la définition ε.