Critère de convergence des suites

📋 Plan du Cours

1. Limites de suite
2. Limite infinie
3. Limite finie
4. Convergence suite finie
5. Convergence suite infinie
6. Critère de comparaison
7. Formes indéterminées
8. Opérations limites
9. Monotonie suite
10. Théorème de convergence monotone

📖 1. Limites de suite

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite infinie (+∞ ou -∞) :
  Une suite $(u_n)$ a pour limite $+\infty$ lorsque, pour tout réel $A > 0$, il existe un rang $n_0$ tel que pour tout $n \geq n_0$, $u_n > A$.
  En langage mathématique :
  $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$ ssi $\forall A > 0, \exists n_0 \in \mathbb{N} / \forall n \geq n_0, u_n > A$.
  De même, $\lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty$ ssi $\forall A < 0, \exists n_0 \in \mathbb{N} / \forall n \geq n_0, u_n < A$.

• Exemples classiques de suites à limite infinie :
  Selon PERROUX (date non précisée), les suites $(n)$, $(n^2)$, $(e^n)$, et $(k^n)$ avec $k > 0$ ont pour limite $+\infty$ quand $n \to +\infty$.

• Remarque importante :
  La limite infinie d'une suite n'implique pas sa monotonie. Une suite peut diverger vers $+\infty$ sans être croissante, comme la suite $(u_n)$ définie par $u_n = \sin(n) + n$.

📝 Points essentiels