Fiche de révision : Décomposition singulière et normes matricielles

📋 Plan du Cours

1. Notations et définitions matricielles
2. Réduction et spectre des matrices
3. Valeurs singulières et décomposition
4. Décomposition en valeurs singulières
5. Quotient de Rayleigh et normes vectorielles
6. Normes matricielles et compatibilité
7. Normes matricielles induites
8. Norme spectrale et rayon spectral

📖 1. Notations et définitions matricielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Matrice transposée : Matrice de type n × m obtenue en échangeant ses lignes et ses colonnes, avec $(A^T)_{ij}=a_{ji}$.
• Matrice adjointe : Matrice de type n × m transposée conjuguée, avec $(A^\star)_{ij}=\overline{a_{ji}}$.

★ À maîtriser

📌 Pour un vecteur complexe v, vᵀ est sa transposée-ligne sans conjugaison, tandis que v⋆ est sa ligne adjointe dont les composantes sont conjuguées.

📐 Formule - Sur ℝ, le produit scalaire euclidien vérifie $(u,v)_n=v^T u=u^T v=\sum_{i=1}^n u_i v_i$.

📐 Formule - Sur ℂ, le produit scalaire hermitien vérifie $(u,v)_n=v^\star u=\overline{u^\star v}=\sum_{i=1}^n u_i\overline{v_i}$.

📌 Une matrice réelle carrée est symétrique si $A=A^T$, antisymétrique si $A=-A^T$, et orthogonale si $AA^T=A^TA=I$.

📌 Une matrice complexe carrée est hermitienne si $A=A^\star$, unitaire si $AA^\star=A^\star A=I$, et normale si $AA^\star=A^\star A$.

Compléments

• Un espace vectoriel V de dimension finie n ≥ 2 sur K, avec K = ℝ ou ℂ, est représenté dans une base par des vecteurs-colonnes.

• Pour une matrice inversible A, $(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T=A^{-T}$.

• Pour une matrice régulière A, $(A^\star)^{-1}=(A^{-1})^\star$.

• Toute matrice unitaire U vérifie $U^\star=U^{-1}$ et ses colonnes sont orthonormées pour le produit scalaire hermitien.

💡 Astuce mémo

La transposée échange lignes et colonnes ; l’adjointe conjugue aussi.

📖 2. Réduction et spectre des matrices

🔑 Notions clés & Définitions

• Polynôme caractéristique : Le polynôme caractéristique d’une matrice carrée A est $P_A(\lambda)=\det(A-\lambda I)$, dont les racines sont ses valeurs propres, comptées avec leurs multiplicités.
• Rayon spectral : Le rayon spectral d’une matrice A est le nombre positif ou nul $\rho(A)=\max_{\lambda\in Sp(A)}|\lambda|$.
• Similitude : Deux matrices A et $C^{-1}AC$ sont semblables lorsque C est inversible ; la transformation correspondante est appelée similitude.
• Spectre : Le spectre Sp(A) d’une matrice carrée A est l’ensemble de ses valeurs propres.

★ À maîtriser

• La décomposition de Schur fournit, pour toute matrice complexe carrée A, une matrice unitaire U telle que $U^\star A U$ soit triangulaire supérieure, avec les valeurs propres de A sur la diagonale.

• Toute matrice normale est unitairement semblable à une matrice diagonale, et toute matrice réelle symétrique est orthogonalement semblable à une matrice diagonale.

Compléments

• Les valeurs propres d’une matrice hermitienne sont réelles, donc celle-ci est unitairement semblable à une matrice diagonale réelle.

• Pour toute matrice complexe A, les valeurs propres de $A^\star A$ et de $AA^\star$ sont réelles et positives ou nulles.

📖 3. Valeurs singulières et décomposition

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur singulière : Une valeur singulière de A est la racine carrée positive d’une valeur propre de $A^\star A$, ou de $A^T A$ si A est réelle.

★ À maîtriser

• Pour toute matrice complexe A de type m × n, il existe des matrices unitaires U d’ordre m et V d’ordre n telles que $U^\star A V=\Sigma$, où Σ est réelle, diagonale rectangulaire et nulle hors de sa diagonale principale.

Compléments

• Les éléments diagonaux de Σ sont les valeurs singulières ordonnées $\sigma_1\geq\sigma_2\geq\cdots\geq\sigma_p\geq0$, avec $p=\min(m,n)$.

📖 4. Décomposition en valeurs singulières

★ À maîtriser

• Dans une DVS, les colonnes de U sont les vecteurs singuliers à gauche de A et sont des vecteurs propres de AA⋆.

📐 Formule - Les valeurs singulières vérifient $\sigma_i=\sqrt{\lambda_i(A^\star A)}$ pour $i=1,\ldots,p$, où $p=\min(m,n)$.

Compléments

• Dans une DVS, les colonnes de V sont les vecteurs singuliers à droite de A.

• La DVS d’une matrice A n’est pas nécessairement unique, notamment en raison du choix possible de ses vecteurs-colonnes U et V.

📖 5. Quotient de Rayleigh et normes vectorielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Quotient de Rayleigh : Le quotient de Rayleigh de A est l’application $R_A(v)=\frac{(Av,v)_n}{(v,v)_n}$ définie pour tout vecteur non nul v.
• Norme-p : La norme-p d’un vecteur $v=(v_1,\ldots,v_n)^T$ est $\|v\|_p=\left(\sum_{i=1}^{n}|v_i|^p\right)^{1/p}$ pour $1\leq p<\infty$.

📝 Points essentiels

• Pour tout scalaire complexe non nul α, le quotient de Rayleigh vérifie $R_A(\alpha v)=R_A(v)$.

• Si A est hermitienne, son quotient de Rayleigh prend des valeurs réelles.

📐 Formule - Les normes vectorielles usuelles sont $\|v\|_1=\sum_{i=1}^n|v_i|$, $\|v\|_2=\left(\sum_{i=1}^n|v_i|^2\right)^{1/2}=((v,v)_n)^{1/2}$ et $\|v\|_\infty=\max_{1\leq i\leq n}|v_i|$.

• L’inégalité de Cauchy-Schwarz donne $|(u,v)_n|\leq\|u\|_2\|v\|_2$ pour tous u et v.

• Si A a des colonnes linéairement indépendantes et si $\|\cdot\|$ est une norme sur $K^m$, alors $\|u\|_A=\|Au\|$ définit une norme sur $K^n$.

📖 6. Normes matricielles et compatibilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Norme matricielle : Une norme matricielle est une application sur les matrices qui est positive, s’annule uniquement sur la matrice nulle, est homogène, satisfait l’inégalité triangulaire et est sous-multiplicative.
• Norme compatible : Une norme matricielle est compatible avec une norme vectorielle sur $K^n$ si $\|Au\|\leq\|A\|\,\|u\|$ pour toute matrice carrée A d’ordre n et tout $u\in K^n$.

📝 Points essentiels

📌 Pour des matrices carrées A et B de même ordre, une norme matricielle vérifie $\|AB\|\leq\|A\|\,\|B\|$.

📌 Pour A de type m×l et B de type l×n, la sous-multiplicativité s’écrit $\|AB\|_{m,n}\leq\|A\|_{m,l}\|B\|_{l,n}$.

📖 7. Normes matricielles induites

🔑 Notions clés & Définitions

• Norme matricielle subordonnée : La norme matricielle subordonnée à une norme vectorielle $\|\cdot\|$ sur $\mathbb{C}^n$ est $\|A\|=\sup_{v\neq0}\frac{\|Av\|}{\|v\|}$.

📝 Points essentiels

📐 Formule - La norme matricielle subordonnée vérifie $\|A\|=\sup_{\|v\|\leq1}\|Av\|=\sup_{\|v\|=1}\|Av\|$.

• Toute norme matricielle subordonnée vérifie $\|I\|=1$.

📐 Formule - Pour une matrice A de type m×n, la norme matricielle induite par la norme-p vaut $\|A\|_{1,m,n}=\max_{1\leq j\leq n}\sum_{i=1}^{m}|a_{ij}|$ lorsque p=1.

📐 Formule - Pour une matrice A de type m×n, la norme matricielle induite par la norme infinie vaut $\|A\|_{\infty,m,n}=\max_{1\leq i\leq m}\sum_{j=1}^{n}|a_{ij}|$.

📖 8. Norme spectrale et rayon spectral

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour toute matrice complexe A de type m×n, sa norme spectrale vérifie $\|A\|_{2,m,n}=\sqrt{\rho(A^\star A)}=\sqrt{\rho(AA^\star)}=\|A^\star\|_{2,n,m}=\sigma(A)$, où $\sigma(A)$ est sa plus grande valeur singulière.

Compléments

📐 Formule - Pour toute matrice normale A d’ordre n, $\|A\|_{2,n,n}=\rho(A)$.

• Toute matrice unitaire A d’ordre n vérifie $\|A\|_{2,n,n}=1$.