Décomposition singulière et normes matricielles

📋 Plan du Cours

1. Notations et définitions matricielles
2. Réduction et spectre des matrices
3. Valeurs singulières et décomposition
4. Décomposition en valeurs singulières
5. Quotient de Rayleigh et normes vectorielles
6. Normes matricielles et compatibilité
7. Normes matricielles induites
8. Norme spectrale et rayon spectral

📖 1. Notations et définitions matricielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Matrice transposée : Matrice de type n × m obtenue en échangeant ses lignes et ses colonnes, avec $(A^T)_{ij}=a_{ji}$.
• Matrice adjointe : Matrice de type n × m transposée conjuguée, avec $(A^\star)_{ij}=\overline{a_{ji}}$.

📌 Pour un vecteur complexe v, vᵀ est sa transposée-ligne sans conjugaison, tandis que v⋆ est sa ligne adjointe dont les composantes sont conjuguées.

📐 Formule - Sur ℝ, le produit scalaire euclidien vérifie $(u,v)_n=v^T u=u^T v=\sum_{i=1}^n u_i v_i$.

📐 Formule - Sur ℂ, le produit scalaire hermitien vérifie $(u,v)_n=v^\star u=\overline{u^\star v}=\sum_{i=1}^n u_i\overline{v_i}$.