QCM : Décomposition singulière et normes matricielles (19 questions)

Question 1

1. Une matrice réelle carrée $Q$ vérifie $QQ^T=Q^TQ=I$ . Quelle classification correspond à cette propriété ?

Elle est orthogonale.

Elle est symétrique.

Elle est inversible, sans classification particulière.

Elle est antisymétrique.

Explication

Une matrice réelle carrée est orthogonale lorsque $QQ^T=Q^TQ=I$ . La symétrie exige plutôt $Q=Q^T$ , tandis que l’antisymétrie exige $Q=-Q^T$ .

Answer

Elle est orthogonale.

Question 2

2. Une matrice carrée $A$ d’ordre $n$ et une norme vectorielle sont compatibles si, pour tout vecteur $u\in K^n$ , quelle inégalité est vérifiée ?

\|Au\|\leq\|A\|\,\|A\|

\|Au\|=\|A\|\,\|u\|

\|Au\|\leq\|A\|\,\|u\|

\|Au\|\leq\|u\|\,\|u\|

Explication

La compatibilité signifie que la norme du vecteur transformé est majorée par le produit de la norme matricielle et de la norme du vecteur. Le carré de la norme du vecteur ou de la matrice ne représente pas cette borne, et l’égalité n’est pas requise.

Answer

$$\|Au\|\leq\|A\|\,\|u\|$$

Question 3

3. Une matrice réelle $A$ possède $3$ lignes et $2$ colonnes. Quel est le type de $A^T$ , et quel coefficient de $A$ occupe sa position $(1,3)$ ?

Une matrice

2\times3

, avec le coefficient

a_{31}

.

Une matrice

3\times2

, avec le coefficient

a_{13}

.

Une matrice

2\times3

, avec le coefficient

a_{13}

.

Une matrice

2\times3

, avec le coefficient

\overline{a_{31}}

.

Explication

La transposition échange lignes et colonnes et vérifie $(A^T)_{ij}=a_{ji}$ : le type devient $2\times3$ et la position $(1,3)$ contient $a_{31}$ . La conjugaison évoquée dans un distracteur appartient à l’adjointe, pas à la transposée réelle.

Answer

Une matrice $$2\times3$$, avec le coefficient $$a_{31}$$.

Question 4

4. Laquelle des propriétés suivantes fait partie de la définition d’une norme matricielle ?

La norme d’un produit égale le produit des normes.

La norme d’une somme égale la somme des normes.

Une matrice non nulle peut avoir une norme nulle.

La norme du produit est au plus le produit des normes.

Explication

Une norme matricielle est notamment sous-multiplicative : la norme d’un produit ne dépasse pas le produit des normes des facteurs. L’égalité multiplicative n’est pas exigée, l’inégalité triangulaire n’est pas une égalité, et seule la matrice nulle a une norme nulle.

Answer

La norme du produit est au plus le produit des normes.

Question 5

5. Une matrice complexe $A$ de type $m\times n$ a pour plus grande valeur singulière $6$ ; quelle est sa norme spectrale ?

\rho(A)

36

La plus petite valeur singulière de

A

6

Explication

La norme spectrale d’une matrice est sa plus grande valeur singulière, donc elle vaut $6$ . Le carré $36$ correspondrait à l’erreur de ne pas prendre la racine dans la formule liée à $A^\star A$ ; le rayon spectral ou la plus petite valeur singulière ne donnent pas en général cette norme.

Answer

$$U^\star A V=\Sigma$$, avec $$\Sigma$$ réelle, rectangulaire et diagonale

Answer

$$\frac{(Av,v)_n}{(v,v)_n}$$

Answer

$$\sup_{v\neq 0}\frac{\|Av\|}{\|v\|}$$

Answer

Ce sont les vecteurs singuliers à gauche et des vecteurs propres de $$AA^\star$$

Answer

$$2$$ de multiplicité $$2$$ et $$-1$$ de multiplicité $$1$$.

Answer

$$\sum_{i=1}^n u_i\overline{v_i}$$

Answer

$$C^{-1}AC$$

Answer

$$U^\star AU$$ est triangulaire supérieure, avec les valeurs propres sur sa diagonale.

Answer

Elle vaut $$2+i$$ dans $$v^T$$ et $$2-i$$ dans $$v^\star$$.

Question 6

6. Pour le vecteur $v=(3,4)^T$ , quelle est sa norme-p lorsque $p=1$ ?

25

7

4

5

Explication

Pour $p=1$ , la norme est la somme des valeurs absolues des coordonnées : $|3|+|4|=7$ . La valeur $5$ correspond à la norme euclidienne, $25$ à la somme des carrés, et $4$ à la plus grande valeur absolue.

Question 7

7. Une matrice a pour valeurs propres $-3$ , $1+2i$ et $2i$ . Quel est son rayon spectral ?

3+\sqrt{5}+2

2

3

\sqrt{5}

Explication

Le rayon spectral est le maximum des modules des valeurs propres : les modules sont $3$ , $\sqrt{5}$ et $2$ , donc le maximum vaut $3$ . Choisir $\sqrt{5}$ revient à ignorer la valeur propre $-3$ .

Question 8

8. Une matrice complexe $A$ est de type $3\times 2$ . Quelle forme peut-on obtenir en choisissant des matrices unitaires $U$ d’ordre $3$ et $V$ d’ordre $2$ ?

U^\star A V=\Sigma

, avec

\Sigma

réelle, rectangulaire et diagonale

U A V^\star=\Sigma

, avec

\Sigma

réelle, rectangulaire et diagonale

U^\star A V=\Sigma

, avec

\Sigma

réelle et carrée diagonale

U^\star A V=\Sigma

, avec

\Sigma

réelle et rectangulaire, sans contrainte diagonale

Explication

La décomposition garantit $U^\star A V=\Sigma$ , où $U$ et $V$ sont unitaires et $\Sigma$ est réelle, rectangulaire et nulle hors de sa diagonale principale. La variante avec $U A V^\star$ inverse les facteurs, et les autres propositions altèrent la forme de $\Sigma$ .

Question 9

9. Pour une matrice carrée $A$ et un vecteur non nul $v$ , quelle expression donne le quotient de Rayleigh de $A$ en $v$ ?

\frac{(v,v)_n}{(Av,v)_n}

\frac{(Av,v)_n}{(v,v)_n}

\frac{\|Av\|_n}{\|v\|_n}

\frac{(Av,v)_n}{(v,Av)_n}

Explication

Le quotient de Rayleigh est le produit scalaire de $Av$ avec $v$ divisé par le produit scalaire de $v$ avec lui-même, pour $v\ne 0$ . Le dénominateur inversé change la définition, tandis que le rapport de normes est une autre quantité.

Question 10

10. Une matrice normale carrée $B$ a un rayon spectral égal à $5$ ; quelle est sa norme spectrale ?

1

25

5

\sqrt{5}

Explication

Pour une matrice normale, la norme spectrale est égale au rayon spectral; elle vaut donc $5$ . Le carré et la racine carrée appliquent une transformation injustifiée, tandis que la valeur $1$ correspond au cas particulier des matrices unitaires.

Question 11

11. Pour une matrice carrée complexe A et une norme vectorielle fixée, quelle expression permet de déterminer la norme matricielle subordonnée de A ?

\inf_{v\neq 0}\frac{\|Av\|}{\|v\|}

\sup_{v\neq 0}\frac{\|Av\|}{\|v\|}

\sup_{v\neq 0}\frac{\|v\|}{\|Av\|}

\sup_{v\neq 0}\|Av\|

Explication

La norme subordonnée mesure le plus grand rapport entre la norme de l’image $Av$ et celle du vecteur non nul $v$ . Le rapport inversé échange numérateur et dénominateur, l’infimum cherche le plus petit rapport et l’expression sans dénominateur ne normalise pas les vecteurs.

Question 12

12. Dans une décomposition en valeurs singulières d’une matrice $A$ , quelle propriété caractérise les colonnes de $U$ ?

Ce sont les vecteurs singuliers à gauche et des vecteurs propres de

A^\star A

Ce sont les vecteurs singuliers à droite et des vecteurs propres de

A^\star A

Ce sont les vecteurs singuliers à gauche et des vecteurs propres de

AA^\star

Ce sont les valeurs singulières associées aux vecteurs propres de

AA^\star

Explication

Les colonnes de $U$ sont les vecteurs singuliers à gauche de $A$ et les vecteurs propres de $AA^\star$ . Les vecteurs singuliers à droite sont associés aux colonnes de $V$ , tandis que $A^\star A$ intervient dans la caractérisation des vecteurs à droite.

Question 13

13. Pour calculer la norme matricielle induite par la norme vectorielle 1 d’une matrice $A\in\mathbb{C}^{2\times 3}$ dont les colonnes ont des sommes de modules égales à $4$ , $7$ et $5$ , quelle valeur obtient-on ?

9

7

4

16

Explication

La norme induite par la norme 1 est la plus grande somme des modules dans une colonne; parmi $4$ , $7$ et $5$ , le maximum vaut $7$ . Additionner les colonnes donne $16$ , retenir la plus petite donne $4$ , et la somme de ligne ne correspond pas à cette formule.

Question 14

14. Pour une matrice carrée $A$ dont le polynôme caractéristique est $P_A(\lambda)=(2-\lambda)^2(-1-\lambda)$ , quelles sont ses valeurs propres avec leurs multiplicités ?

2

de multiplicité

1

et

-1

de multiplicité

2

.

2

et

1

, chacune de multiplicité

1

.

2

de multiplicité

2

et

-1

de multiplicité

1

.

-2

de multiplicité

2

et

1

de multiplicité

1

.

Explication

Les valeurs propres sont les racines de $P_A$ , comptées avec leurs multiplicités : $2$ est une racine double et $-1$ une racine simple. Les valeurs opposées proviennent d’une erreur de signe lors de la lecture des facteurs.

Question 15

15. Pour une matrice $A$ de type $4\times 2$ , une valeur propre de $A^\star A$ vaut $25$ et correspond à un indice parmi les $p$ valeurs singulières. Quelle est la valeur singulière correspondante ?

5

\sqrt{12,5}

25

-5

Explication

La relation est $\sigma_i=\sqrt{\lambda_i(A^\star A)}$ , donc $\sigma_i=\sqrt{25}=5$ . La valeur $25$ omet la racine, $\sqrt{12,5}$ applique un facteur erroné, et une valeur singulière est positive.

Question 16

16. Pour deux vecteurs de $\mathbb{C}^n$ , quelle expression calcule le produit scalaire hermitien en conjuguant les composantes de $v$ ?

\sum_{i=1}^n \overline{u_i}v_i

\sum_{i=1}^n \overline{u_i}\,\overline{v_i}

\sum_{i=1}^n u_i\overline{v_i}

\sum_{i=1}^n u_i v_i

Explication

Le produit hermitien indiqué s’écrit $v^\star u$ , soit $\sum_{i=1}^n u_i\overline{v_i}$ : l’adjoint de $v$ conjugue ses composantes. L’expression qui conjugue $u$ inverse les rôles des vecteurs, celle sans barre omet la conjugaison, et celle qui conjugue les deux applique une conjugaison supplémentaire.

Question 17

17. Si $C$ est inversible, quelle transformation définit une matrice semblable à $A$ par la similitude associée à $C$ ?

C^TAC

C^{-1}AC

CA

CAC^{-1}

Explication

La similitude associée à une matrice inversible $C$ transforme $A$ en $C^{-1}AC$ . La forme $CAC^{-1}$ inverse l’ordre indiqué, tandis que $C^TAC$ relève d’une autre transformation.

Question 18

18. Pour réduire une matrice complexe carrée par la décomposition de Schur, quelle forme obtient-on en choisissant une matrice unitaire $U$ ?

U^\star AU

est triangulaire inférieure, avec les valeurs propres sur sa diagonale.

U^\star AU

est triangulaire supérieure, avec les valeurs propres sur sa diagonale secondaire.

U^\star AU

est diagonale pour toute matrice complexe carrée.

U^\star AU

est triangulaire supérieure, avec les valeurs propres sur sa diagonale.

Explication

La décomposition de Schur garantit une matrice unitaire $U$ telle que $U^\star AU$ soit triangulaire supérieure, les valeurs propres figurant sur la diagonale. Une matrice diagonale est garantie dans ce cadre pour les matrices normales, pas pour toute matrice complexe carrée.

Question 19

19. Pour un vecteur complexe dont une composante vaut $2+i$ , quelle est la différence entre cette composante dans $v^T$ et dans $v^\star$ ?

Elle vaut

2-i

dans les deux vecteurs-lignes.

Elle vaut

2-i

dans

v^T

et

2+i

dans

v^\star

.

Elle vaut

2+i

dans les deux vecteurs-lignes.

Elle vaut

2+i

dans

v^T

et

2-i

dans

v^\star

.

Explication

La transposée simple échange la disposition des composantes sans les conjuguer, tandis que l’adjointe conjugue chaque composante. La confusion entre transposition et conjugaison conduit à inverser les deux résultats.

QCM : Décomposition singulière et normes matricielles (19 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Une matrice réelle carrée $Q$ vérifie $QQ^T=Q^TQ=I$ . Quelle classification correspond à cette propriété ?

2. Une matrice carrée $A$ d’ordre $n$ et une norme vectorielle sont compatibles si, pour tout vecteur $u\in K^n$ , quelle inégalité est vérifiée ?

3. Une matrice réelle $A$ possède $3$ lignes et $2$ colonnes. Quel est le type de $A^T$ , et quel coefficient de $A$ occupe sa position $(1,3)$ ?

4. Laquelle des propriétés suivantes fait partie de la définition d’une norme matricielle ?

5. Une matrice complexe $A$ de type $m\times n$ a pour plus grande valeur singulière $6$ ; quelle est sa norme spectrale ?

6. Pour le vecteur $v=(3,4)^T$ , quelle est sa norme-p lorsque $p=1$ ?

7. Une matrice a pour valeurs propres $-3$ , $1+2i$ et $2i$ . Quel est son rayon spectral ?

8. Une matrice complexe $A$ est de type $3\times 2$ . Quelle forme peut-on obtenir en choisissant des matrices unitaires $U$ d’ordre $3$ et $V$ d’ordre $2$ ?

9. Pour une matrice carrée $A$ et un vecteur non nul $v$ , quelle expression donne le quotient de Rayleigh de $A$ en $v$ ?

10. Une matrice normale carrée $B$ a un rayon spectral égal à $5$ ; quelle est sa norme spectrale ?

11. Pour une matrice carrée complexe A et une norme vectorielle fixée, quelle expression permet de déterminer la norme matricielle subordonnée de A ?

12. Dans une décomposition en valeurs singulières d’une matrice $A$ , quelle propriété caractérise les colonnes de $U$ ?

13. Pour calculer la norme matricielle induite par la norme vectorielle 1 d’une matrice $A\in\mathbb{C}^{2\times 3}$ dont les colonnes ont des sommes de modules égales à $4$ , $7$ et $5$ , quelle valeur obtient-on ?

14. Pour une matrice carrée $A$ dont le polynôme caractéristique est $P_A(\lambda)=(2-\lambda)^2(-1-\lambda)$ , quelles sont ses valeurs propres avec leurs multiplicités ?

15. Pour une matrice $A$ de type $4\times 2$ , une valeur propre de $A^\star A$ vaut $25$ et correspond à un indice parmi les $p$ valeurs singulières. Quelle est la valeur singulière correspondante ?

16. Pour deux vecteurs de $\mathbb{C}^n$ , quelle expression calcule le produit scalaire hermitien en conjuguant les composantes de $v$ ?

17. Si $C$ est inversible, quelle transformation définit une matrice semblable à $A$ par la similitude associée à $C$ ?

18. Pour réduire une matrice complexe carrée par la décomposition de Schur, quelle forme obtient-on en choisissant une matrice unitaire $U$ ?

19. Pour un vecteur complexe dont une composante vaut $2+i$ , quelle est la différence entre cette composante dans $v^T$ et dans $v^\star$ ?

Révisez avec les flashcards

Approfondir avec la fiche

Cours similaires

Terre, climat et mesures

Géoscience et dynamique des paysages

Statistiques descriptives au collège

Liste des espèces chimiques

Digestion des ruminants

Tension sinusoïdale et puissances

Crée tes propres QCM

QCM : Décomposition singulière et normes matricielles (19 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Une matrice réelle carrée QQQ vérifie QQT=QTQ=IQQ^T=Q^TQ=IQQT=QTQ=I. Quelle classification correspond à cette propriété ?

2. Une matrice carrée AAA d’ordre nnn et une norme vectorielle sont compatibles si, pour tout vecteur u∈Knu\in K^nu∈Kn, quelle inégalité est vérifiée ?

3. Une matrice réelle AAA possède 333 lignes et 222 colonnes. Quel est le type de ATA^TAT, et quel coefficient de AAA occupe sa position (1,3)(1,3)(1,3) ?

4. Laquelle des propriétés suivantes fait partie de la définition d’une norme matricielle ?

5. Une matrice complexe AAA de type m×nm\times nm×n a pour plus grande valeur singulière 666; quelle est sa norme spectrale ?

6. Pour le vecteur v=(3,4)Tv=(3,4)^Tv=(3,4)T, quelle est sa norme-p lorsque p=1p=1p=1 ?

7. Une matrice a pour valeurs propres −3-3−3, 1+2i1+2i1+2i et 2i2i2i. Quel est son rayon spectral ?

8. Une matrice complexe AAA est de type 3×23\times 23×2. Quelle forme peut-on obtenir en choisissant des matrices unitaires UUU d’ordre 333 et VVV d’ordre 222 ?

9. Pour une matrice carrée AAA et un vecteur non nul vvv, quelle expression donne le quotient de Rayleigh de AAA en vvv ?

10. Une matrice normale carrée BBB a un rayon spectral égal à 555; quelle est sa norme spectrale ?

11. Pour une matrice carrée complexe A et une norme vectorielle fixée, quelle expression permet de déterminer la norme matricielle subordonnée de A ?

12. Dans une décomposition en valeurs singulières d’une matrice AAA, quelle propriété caractérise les colonnes de UUU ?

13. Pour calculer la norme matricielle induite par la norme vectorielle 1 d’une matrice A∈C2×3A\in\mathbb{C}^{2\times 3}A∈C2×3 dont les colonnes ont des sommes de modules égales à 444, 777 et 555, quelle valeur obtient-on ?

14. Pour une matrice carrée AAA dont le polynôme caractéristique est PA(λ)=(2−λ)2(−1−λ)P_A(\lambda)=(2-\lambda)^2(-1-\lambda)PA​(λ)=(2−λ)2(−1−λ), quelles sont ses valeurs propres avec leurs multiplicités ?

15. Pour une matrice AAA de type 4×24\times 24×2, une valeur propre de A⋆AA^\star AA⋆A vaut 252525 et correspond à un indice parmi les ppp valeurs singulières. Quelle est la valeur singulière correspondante ?

16. Pour deux vecteurs de Cn\mathbb{C}^nCn, quelle expression calcule le produit scalaire hermitien en conjuguant les composantes de vvv ?

17. Si CCC est inversible, quelle transformation définit une matrice semblable à AAA par la similitude associée à CCC ?

18. Pour réduire une matrice complexe carrée par la décomposition de Schur, quelle forme obtient-on en choisissant une matrice unitaire UUU ?

19. Pour un vecteur complexe dont une composante vaut 2+i2+i2+i, quelle est la différence entre cette composante dans vTv^TvT et dans v⋆v^\starv⋆ ?

Révisez avec les flashcards

Approfondir avec la fiche

Cours similaires

Terre, climat et mesures

Géoscience et dynamique des paysages

Statistiques descriptives au collège

Liste des espèces chimiques

Digestion des ruminants

Tension sinusoïdale et puissances

Crée tes propres QCM

1. Une matrice réelle carrée $Q$ vérifie $QQ^T=Q^TQ=I$ . Quelle classification correspond à cette propriété ?

2. Une matrice carrée $A$ d’ordre $n$ et une norme vectorielle sont compatibles si, pour tout vecteur $u\in K^n$ , quelle inégalité est vérifiée ?

3. Une matrice réelle $A$ possède $3$ lignes et $2$ colonnes. Quel est le type de $A^T$ , et quel coefficient de $A$ occupe sa position $(1,3)$ ?

5. Une matrice complexe $A$ de type $m\times n$ a pour plus grande valeur singulière $6$ ; quelle est sa norme spectrale ?

6. Pour le vecteur $v=(3,4)^T$ , quelle est sa norme-p lorsque $p=1$ ?

7. Une matrice a pour valeurs propres $-3$ , $1+2i$ et $2i$ . Quel est son rayon spectral ?

8. Une matrice complexe $A$ est de type $3\times 2$ . Quelle forme peut-on obtenir en choisissant des matrices unitaires $U$ d’ordre $3$ et $V$ d’ordre $2$ ?

9. Pour une matrice carrée $A$ et un vecteur non nul $v$ , quelle expression donne le quotient de Rayleigh de $A$ en $v$ ?

10. Une matrice normale carrée $B$ a un rayon spectral égal à $5$ ; quelle est sa norme spectrale ?

12. Dans une décomposition en valeurs singulières d’une matrice $A$ , quelle propriété caractérise les colonnes de $U$ ?

13. Pour calculer la norme matricielle induite par la norme vectorielle 1 d’une matrice $A\in\mathbb{C}^{2\times 3}$ dont les colonnes ont des sommes de modules égales à $4$ , $7$ et $5$ , quelle valeur obtient-on ?

14. Pour une matrice carrée $A$ dont le polynôme caractéristique est $P_A(\lambda)=(2-\lambda)^2(-1-\lambda)$ , quelles sont ses valeurs propres avec leurs multiplicités ?

15. Pour une matrice $A$ de type $4\times 2$ , une valeur propre de $A^\star A$ vaut $25$ et correspond à un indice parmi les $p$ valeurs singulières. Quelle est la valeur singulière correspondante ?

16. Pour deux vecteurs de $\mathbb{C}^n$ , quelle expression calcule le produit scalaire hermitien en conjuguant les composantes de $v$ ?

17. Si $C$ est inversible, quelle transformation définit une matrice semblable à $A$ par la similitude associée à $C$ ?

18. Pour réduire une matrice complexe carrée par la décomposition de Schur, quelle forme obtient-on en choisissant une matrice unitaire $U$ ?

19. Pour un vecteur complexe dont une composante vaut $2+i$ , quelle est la différence entre cette composante dans $v^T$ et dans $v^\star$ ?