Flashcards : Décomposition singulière et normes matricielles (49 cartes)

Pour un vecteur complexe $v$, quelle opération distingue $v^T$ de $v^\star$ ?

Quelle expression donne le produit scalaire euclidien réel $(u,v)_n$ ?

Comment obtient-on la transposée d’une matrice réelle $A$ de type $m\times n$ ?

Comment obtient-on la matrice adjointe d’une matrice complexe $A$ ?

Quelle expression définit le polynôme caractéristique d’une matrice carrée $A$ ?

Comment définit-on le rayon spectral $\rho(A)$ d’une matrice $A$ ?

Quelle condition rend semblables $A$ et $C^{-1}AC$ ?

Quel type de matrice fournit la décomposition de Schur pour une matrice complexe carrée $A$ ?

À quelle forme diagonale toute matrice normale est-elle unitairement semblable ?

Comment définit-on une valeur singulière de $A$ ?

Quelle décomposition existe pour toute matrice complexe $A$ de type $m\times n$ ?

Quelle est la forme de la matrice $\Sigma$ dans la décomposition de $A$ ?

Dans une DVS, que représentent les colonnes de $U$ pour la matrice $A$ ?

De quelle matrice les colonnes de $U$ sont-elles des vecteurs propres dans une DVS de $A$ ?

Quelle formule relie la valeur singulière $\sigma_i$ aux valeurs propres de $A^\star A$ ?

Quelles sont les bornes de l’indice $i$ pour les valeurs singulières d’une matrice $m\times n$ ?

Comment définit-on le quotient de Rayleigh de $A$ pour un vecteur non nul $v$ ?

Comment définit-on la norme-p de $v=(v_1,\ldots,v_n)^T$ pour $1\le p<\infty$ ?

Quelles propriétés définissent une norme matricielle ?

Comment définit-on la norme matricielle subordonnée à une norme vectorielle sur $\mathbb{C}^n$ ?

Comment s’exprime la norme spectrale d’une matrice complexe $A$ de type $m\times n$ à l’aide de $A^\star A$ ?

À quelle norme spectrale la norme de $A^\star$ est-elle égale pour $A$ de type $m\times n$ ?

À quelle valeur singulière la norme spectrale de $A$ est-elle égale ?

Dans quelle forme les vecteurs de $V$ sont-ils représentés dans une base ?

Quelle est l’inverse de la transposée d’une matrice inversible $A$ ?

Quelle est l’inverse de la matrice adjointe d’une matrice régulière $A$ ?

Que désigne le spectre $\operatorname{Sp}(A)$ d’une matrice carrée $A$ ?

Quelles valeurs propres possède une matrice hermitienne ?

Que peut-on dire des valeurs propres de $A^\star A$ et $AA^\star$ pour toute matrice complexe $A$ ?

Que représentent les éléments diagonaux de $\Sigma$ ?

Quelle est la relation d’ordre entre les valeurs singulières de $A$ ?

À quoi est égal $p$ pour une matrice $A$ de type $m\times n$ ?

Dans une DVS, que représentent les colonnes de $V$ pour la matrice $A$ ?

Pourquoi la DVS d’une matrice $A$ peut-elle ne pas être unique ?

Que vaut le quotient de Rayleigh de $A$ en $\alpha v$, pour $\alpha\ne 0$ ?

Quelles valeurs prend le quotient de Rayleigh d’une matrice hermitienne ?

Quelle est la formule de la norme-1 de $v$ ?

Quelle est la formule de la norme-2 de $v$ avec le produit scalaire (_,_)_n ?

Quelle borne l’inégalité de Cauchy-Schwarz donne-t-elle pour $|(u,v)_n|$ ?

Sous quelle condition $\|u\|_A=\|Au\|$ définit-elle une norme sur $K^n$ ?

Quelle inégalité vérifie une norme matricielle pour deux matrices carrées de même ordre ?

Quelle inégalité exprime la sous-multiplicativité pour $A\in K^{m\times l}$ et $B\in K^{l\times n}$ ?

Quelle inégalité définit la compatibilité d’une norme matricielle avec une norme vectorielle sur $K^n$ ?

Quelle est la norme matricielle subordonnée de la matrice identité $I$ ?

Quelle formule donne la norme matricielle induite par la norme-1 pour une matrice $A$ de type $m\times n$ ?

Quelle formule donne la norme matricielle induite par la norme infinie pour une matrice $A$ de type $m\times n$ ?

Quelle relation lie la norme spectrale et le rayon spectral d’une matrice normale $A$ d’ordre $n$ ?

Quelle est la norme spectrale d’une matrice unitaire $A$ d’ordre $n$ ?

Sur $\mathbb{C}^n$, quelle somme définit le produit scalaire hermitien $(u,v)_n$ ?