QCM : Définitions des limites (4 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle condition caractérise le fait que f(x)f(x) tende vers ℓ\ell lorsque xx tend vers +∞+\infty ?

Pour tout ε>0\varepsilon>0, il existe α<0\alpha<0 tel que, si x>αx>\alpha, alors ∣f(x)−ℓ∣<ε|f(x)-\ell|<\varepsilon.
Pour tout ε>0\varepsilon>0, il existe α>0\alpha>0 tel que, si x>αx>\alpha, alors ∣f(x)−ℓ∣<ε|f(x)-\ell|<\varepsilon.
Pour tout ε>0\varepsilon>0, il existe α>0\alpha>0 tel que, si x<αx<\alpha, alors ∣f(x)−ℓ∣<ε|f(x)-\ell|<\varepsilon.
Il existe ε>0\varepsilon>0 tel que, pour tout α>0\alpha>0, si x>αx>\alpha, alors ∣f(x)−ℓ∣<ε|f(x)-\ell|<\varepsilon.

Pour tout $$\varepsilon>0$$, il existe $$\alpha>0$$ tel que, si $$x>\alpha$$, alors $$|f(x)-\ell|<\varepsilon$$.

Explication

La convergence en +∞+\infty exige que, pour chaque précision ε\varepsilon, les valeurs de f(x)f(x) soient à moins de ε\varepsilon de ℓ\ell dès que xx dépasse un seuil positif adapté. La condition avec x<αx<\alpha concerne des valeurs de xx situées à gauche du seuil, et non les grandes valeurs positives.

2. Pour vérifier que f(x)f(x) tend vers ℓ\ell lorsque xx tend vers −∞-\infty, quel seuil faut-il pouvoir choisir pour chaque ε>0\varepsilon>0 ?

Un nombre β>0\beta>0 tel que x>βx>\beta implique ∣f(x)−ℓ∣<ε|f(x)-\ell|<\varepsilon.
Un nombre β<0\beta<0 tel que x<βx<\beta implique ∣f(x)−ℓ∣<ε|f(x)-\ell|<\varepsilon.
Un nombre β>0\beta>0 tel que x<βx<\beta implique ∣f(x)−ℓ∣<ε|f(x)-\ell|<\varepsilon.
Un nombre β<0\beta<0 tel que x>βx>\beta implique ∣f(x)−ℓ∣<ε|f(x)-\ell|<\varepsilon.

Un nombre $$\beta<0$$ tel que $$x<\beta$$ implique $$|f(x)-\ell|<\varepsilon$$.

Explication

À mesure que xx tend vers −∞-\infty, il faut contrôler toutes les valeurs de xx plus petites qu’un seuil négatif β\beta. Une condition portant sur x>βx>\beta ne sélectionne pas cette queue négative.

3. Quelle condition exprime que la limite de f(x)f(x) en aa est le nombre réel ℓ\ell ?

Pour tout ε>0\varepsilon>0, il existe δ>0\delta>0 tel que ∣x−a∣<δ|x-a|<\delta implique ∣f(x)−ℓ∣<ε|f(x)-\ell|<\varepsilon.
Il existe ε>0\varepsilon>0 tel que, pour tout δ>0\delta>0, ∣x−a∣<δ|x-a|<\delta implique ∣f(x)−ℓ∣<ε|f(x)-\ell|<\varepsilon.
Pour tout ε>0\varepsilon>0, il existe δ>0\delta>0 tel que ∣x−a∣>δ|x-a|>\delta implique ∣f(x)−ℓ∣<ε|f(x)-\ell|<\varepsilon.
Pour tout δ>0\delta>0, il existe ε>0\varepsilon>0 tel que ∣x−a∣<δ|x-a|<\delta implique ∣f(x)−ℓ∣<ε|f(x)-\ell|<\varepsilon.

Pour tout $$\varepsilon>0$$, il existe $$\delta>0$$ tel que $$|x-a|<\delta$$ implique $$|f(x)-\ell|<\varepsilon$$.

Explication

La définition demande que toute précision positive ε\varepsilon puisse être garantie en choisissant un voisinage de rayon δ>0\delta>0 autour de aa. La condition ∣x−a∣>δ|x-a|>\delta décrit les points éloignés de aa, et non ceux qui s’en approchent.

4. Une fonction devient plus grande que tout seuil positif lorsque xx s’approche de aa. Quelle formulation traduit cette limite égale à +∞+\infty ?

Pour tout M>0M>0, il existe δ>0\delta>0 tel que ∣x−a∣<δ|x-a|<\delta implique f(x)<Mf(x)<M.
Il existe M>0M>0 tel que, pour tout δ>0\delta>0, ∣x−a∣<δ|x-a|<\delta implique f(x)>Mf(x)>M.
Pour tout M>0M>0, il existe δ>0\delta>0 tel que ∣x−a∣>δ|x-a|>\delta implique f(x)>Mf(x)>M.
Pour tout M>0M>0, il existe δ>0\delta>0 tel que ∣x−a∣<δ|x-a|<\delta implique f(x)>Mf(x)>M.

Pour tout $$M>0$$, il existe $$\delta>0$$ tel que $$|x-a|<\delta$$ implique $$f(x)>M$$.

Explication

Une limite égale à +∞+\infty signifie que chaque seuil positif MM est dépassé dans un voisinage suffisamment petit de aa. La condition f(x)<Mf(x)<M exprimerait une inégalité dans le sens opposé.

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Quelle condition définit lim⁡x→+∞f(x)=ℓ\lim_{x\to +\infty} f(x)=\ell avec ε\varepsilon et α\alpha ?

Pour tout ε>0\varepsilon>0, il existe α>0\alpha>0 tel que x>αx>\alpha implique ∣f(x)−ℓ∣<ε|f(x)-\ell|<\varepsilon.

Quelle condition définit lim⁡x→−∞f(x)=ℓ\lim_{x\to -\infty} f(x)=\ell avec ε\varepsilon et β\beta ?

Pour tout ε>0\varepsilon>0, il existe β<0\beta<0 tel que x<βx<\beta implique ∣f(x)−ℓ∣<ε|f(x)-\ell|<\varepsilon.

Quelle condition caractérise la limite finie ℓ\ell de f(x)f(x) en aa ?

Pour tout ε>0\varepsilon>0, il existe δ>0\delta>0 tel que ∣x−a∣<δ|x-a|<\delta implique ∣f(x)−ℓ∣<ε|f(x)-\ell|<\varepsilon.

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