QCM : Démonstrations du théorème de Thalès (10 questions)

Question 1

1. Dans le triangle ABC, M appartient à [AB], N appartient à [AC] et (MN) est parallèle à (BC). Quelle égalité de rapports découle du théorème de Thalès ?

\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}=\frac{MN}{BC}

\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}=\frac{MN}{BC}

\frac{AM}{AB}=\frac{AC}{AN}=\frac{MN}{BC}

\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}

Explication

Le parallélisme de (MN) et (BC) donne l’égalité entre les rapports des longueurs correspondantes des triangles AMN et ABC. Le rapport AM/MB compare deux segments de [AB] et n’est pas l’un des rapports exprimés par le théorème ici.

Answer

$$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$$

Question 2

2. Un triangle a une base de longueur $b$ et la hauteur associée de longueur $h$ . Quelle expression donne son aire ?

A=\frac{2b}{h}

A=\frac{b\times h}{2}

A=\frac{b+h}{2}

A=b\times h

Explication

L’aire d’un triangle est la moitié du produit de sa base par la hauteur qui lui est associée. Le produit $b\times h$ sans division par deux correspondrait à l’aire d’un parallélogramme de même base et de même hauteur.

Answer

$$A=\frac{b\times h}{2}$$

Question 3

3. Dans la démonstration d’Euclide, pourquoi les triangles BMN et CMN ont-ils la même aire ?

Ils ont le même sommet M et leurs bases BN et CN sont de même longueur.

Ils ont la même base BC et leurs sommets M et N appartiennent à une parallèle à BC.

Ils ont la même hauteur issue de N et leurs bases BM et CM sont de même longueur.

Ils ont la même base MN et leurs sommets B et C appartiennent à une parallèle à MN.

Explication

Les triangles BMN et CMN partagent la base MN, et les sommets B et C se trouvent sur une droite parallèle à cette base, ce qui leur donne la même hauteur. Le fait d’avoir un sommet commun ne suffit pas à établir l’égalité de leurs aires.

Answer

Ils ont la même base MN et leurs sommets B et C appartiennent à une parallèle à MN.

Question 4

4. Pourquoi les triangles BAN et CAM ont-ils la même aire dans la démonstration d’Euclide ?

Ils sont formés du triangle ABC auquel on retire deux triangles de même aire.

Ils ont la même hauteur relative à AB et leurs bases BA et CA ont la même longueur.

Chacun est formé du triangle AMN et de l’un des triangles BMN et CMN, lesquels ont la même aire.

Ils ont la même base AN et leurs sommets B et C sont sur une parallèle à cette base.

Explication

BAN réunit AMN et BMN, tandis que CAM réunit AMN et CMN ; comme BMN et CMN ont la même aire, les deux sommes d’aires sont égales. La même hauteur relative à AB ne prouve pas l’égalité des aires si les bases considérées ne sont pas égales.

Answer

Chacun est formé du triangle AMN et de l’un des triangles BMN et CMN, lesquels ont la même aire.

Question 5

5. Dans la démonstration d’Euclide, sachant que les triangles ABN et AMC ont la même aire, quelle égalité de rapports en découle ?

\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{AC}

\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}

\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}

\frac{AM}{AB}=\frac{AC}{AN}

Explication

L’égalité des aires des triangles ABN et AMC conduit, par comparaison des rapports d’aires, à l’égalité des rapports AM/AB et AN/AC. Inverser le second rapport en AC/AN ne conserve pas cette relation.

Answer

$$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$$

Question 6

6. À partir de $EF\times AC=BC\times AF$ , quel rapport compare les côtés parallèles EF et BC aux côtés AF et AC issus de A ?

\frac{AF}{BC}=\frac{EF}{AC}

\frac{EF}{AF}=\frac{BC}{AC}

\frac{EF}{BC}=\frac{AF}{AC}

\frac{EF}{BC}=\frac{AC}{AF}

Explication

En divisant l’égalité des produits par $BC\times AC$ , on obtient $EF/BC=AF/AC$ . Le rapport EF/AF compare des segments de directions différentes et ne correspond pas à la relation déduite.

Answer

$$\frac{EF}{BC}=\frac{AF}{AC}$$

Question 7

7. Dans la démonstration par découpage avec EF parallèle à BC, quelle chaîne d’égalités de rapports les relations d’aires permettent-elles d’établir ?

\frac{AE}{AF}=\frac{AB}{AC}=\frac{EF}{BC}

\frac{AE}{AB}=\frac{AC}{AF}=\frac{EF}{BC}

\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}=\frac{EF}{BC}

\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AB}=\frac{BC}{EF}

Explication

Les deux relations d’aires établissent l’égalité entre les trois rapports de longueurs correspondantes, des côtés issus de A et des côtés parallèles. La chaîne proposée avec AE/AF et AB/AC compare des longueurs qui ne sont pas celles reliées par ces relations.

Answer

$$\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}=\frac{EF}{BC}$$

Question 8

8. En égalant les rapports obtenus par deux calculs de cosinus dans la démonstration, quelle égalité de longueurs en découle ?

\frac{OM}{ON}=\frac{OA}{OB}

\frac{OA}{OM}=\frac{ON}{OB}

\frac{OM}{OA}=\frac{ON}{OB}

\frac{OM}{OB}=\frac{ON}{OA}

Explication

Les deux calculs de cosinus conduisent à égaler les rapports des longueurs portées respectivement par les demi-droites OA et OB. L’égalité $\frac{OM}{ON}=\frac{OA}{OB}$ compare plutôt les longueurs de deux côtés entre elles et ne correspond pas au résultat obtenu.

Answer

$$\frac{OM}{OA}=\frac{ON}{OB}$$

Question 9

9. Une symétrie centrale de centre O transforme M, N et le segment MN en M’, N’ et M’N’ ; quelles longueurs sont conservées ?

OM = OM’, ON = ON’ et MN = M’N’.

OM = ON’, ON = OM’ et MN = M’N’.

OM = OM’, ON = ON’ et MN = AB.

OM = OA, ON = OB et MN = M’N’.

Explication

Une symétrie centrale conserve les distances entre les points correspondants, ainsi que la longueur du segment qui les relie. L’échange des distances OM et ON entre elles ne découle pas de cette symétrie.

Answer

OM = OM’, ON = ON’ et MN = M’N’.

Question 10

10. Dans une configuration extérieure obtenue par symétrie centrale de centre O, quelle relation de Thalès relie les longueurs des deux côtés et des segments parallèles ?

\frac{OM}{OA}=\frac{OB}{ON}=\frac{MN}{AB}

\frac{OM}{ON}=\frac{OA}{OB}=\frac{MN}{AB}

\frac{OA}{OM}=\frac{ON}{OB}=\frac{AB}{MN}

\frac{OM}{OA}=\frac{ON}{OB}=\frac{MN}{AB}

Explication

Les longueurs conservées par la symétrie permettent d’établir l’égalité des trois rapports dans la configuration extérieure. La relation qui inverse OB et ON ne respecte pas les correspondances entre les côtés associés.

Answer

$$\frac{OM}{OA}=\frac{ON}{OB}=\frac{MN}{AB}$$

QCM : Démonstrations du théorème de Thalès (10 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Dans le triangle ABC, M appartient à [AB], N appartient à [AC] et (MN) est parallèle à (BC). Quelle égalité de rapports découle du théorème de Thalès ?

2. Un triangle a une base de longueur $b$ et la hauteur associée de longueur $h$ . Quelle expression donne son aire ?

3. Dans la démonstration d’Euclide, pourquoi les triangles BMN et CMN ont-ils la même aire ?

4. Pourquoi les triangles BAN et CAM ont-ils la même aire dans la démonstration d’Euclide ?

5. Dans la démonstration d’Euclide, sachant que les triangles ABN et AMC ont la même aire, quelle égalité de rapports en découle ?

6. À partir de $EF\times AC=BC\times AF$ , quel rapport compare les côtés parallèles EF et BC aux côtés AF et AC issus de A ?

7. Dans la démonstration par découpage avec EF parallèle à BC, quelle chaîne d’égalités de rapports les relations d’aires permettent-elles d’établir ?

8. En égalant les rapports obtenus par deux calculs de cosinus dans la démonstration, quelle égalité de longueurs en découle ?

9. Une symétrie centrale de centre O transforme M, N et le segment MN en M’, N’ et M’N’ ; quelles longueurs sont conservées ?

10. Dans une configuration extérieure obtenue par symétrie centrale de centre O, quelle relation de Thalès relie les longueurs des deux côtés et des segments parallèles ?

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QCM : Démonstrations du théorème de Thalès (10 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Dans le triangle ABC, M appartient à [AB], N appartient à [AC] et (MN) est parallèle à (BC). Quelle égalité de rapports découle du théorème de Thalès ?

2. Un triangle a une base de longueur bbb et la hauteur associée de longueur hhh. Quelle expression donne son aire ?

3. Dans la démonstration d’Euclide, pourquoi les triangles BMN et CMN ont-ils la même aire ?

4. Pourquoi les triangles BAN et CAM ont-ils la même aire dans la démonstration d’Euclide ?

5. Dans la démonstration d’Euclide, sachant que les triangles ABN et AMC ont la même aire, quelle égalité de rapports en découle ?

6. À partir de EF×AC=BC×AFEF\times AC=BC\times AFEF×AC=BC×AF, quel rapport compare les côtés parallèles EF et BC aux côtés AF et AC issus de A ?

7. Dans la démonstration par découpage avec EF parallèle à BC, quelle chaîne d’égalités de rapports les relations d’aires permettent-elles d’établir ?

8. En égalant les rapports obtenus par deux calculs de cosinus dans la démonstration, quelle égalité de longueurs en découle ?

9. Une symétrie centrale de centre O transforme M, N et le segment MN en M’, N’ et M’N’ ; quelles longueurs sont conservées ?

10. Dans une configuration extérieure obtenue par symétrie centrale de centre O, quelle relation de Thalès relie les longueurs des deux côtés et des segments parallèles ?

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2. Un triangle a une base de longueur $b$ et la hauteur associée de longueur $h$ . Quelle expression donne son aire ?

6. À partir de $EF\times AC=BC\times AF$ , quel rapport compare les côtés parallèles EF et BC aux côtés AF et AC issus de A ?