Démonstrations du théorème de Thalès

📋 Plan du Cours

1. Théorème de Thalès et aires
2. Démonstration d’Euclide par les aires
3. Démonstration par découpage des aires
4. Démonstration par les cosinus
5. Thalès sur les demi-droites

📖 1. Théorème de Thalès et aires

★ À maîtriser

📌 Dans le triangle ABC, si M appartient à [AB], N appartient à [AC] et (MN) est parallèle à (BC), alors $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$.

📐 Formule - L’aire d’un triangle de base b et de hauteur associée h est $A=\frac{b\times h}{2}$.

Compléments

• L’aire d’un triangle ne change pas lorsque son sommet opposé à une base se déplace parallèlement à cette base, car la base et la hauteur restent identiques.

• Dans un triangle, le rapport des aires de deux triangles ayant la même hauteur est égal au rapport de leurs bases.

📖 2. Démonstration d’Euclide par les aires

★ À maîtriser

• Comme les triangles ABN et AMC ont la même aire, les rapports précédents sont égaux et donnent $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$.

• Les triangles BMN et CMN ont la même aire, car ils ont la même base MN et leurs sommets B et C sont sur une parallèle à MN.

• Les triangles BAN et CAM ont la même aire, car chacun est composé du triangle AMN et de l’un des triangles BMN et CMN, qui ont la même aire.

Compléments