Fiche de révision : Démonstrations du théorème de Thalès

📋 Plan du Cours

1. Théorème de Thalès et aires
2. Démonstration d’Euclide par les aires
3. Démonstration par découpage des aires
4. Démonstration par les cosinus
5. Thalès sur les demi-droites

📖 1. Théorème de Thalès et aires

★ À maîtriser

📌 Dans le triangle ABC, si M appartient à [AB], N appartient à [AC] et (MN) est parallèle à (BC), alors $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$.

📐 Formule - L’aire d’un triangle de base b et de hauteur associée h est $A=\frac{b\times h}{2}$.

Compléments

• L’aire d’un triangle ne change pas lorsque son sommet opposé à une base se déplace parallèlement à cette base, car la base et la hauteur restent identiques.

• Dans un triangle, le rapport des aires de deux triangles ayant la même hauteur est égal au rapport de leurs bases.

📖 2. Démonstration d’Euclide par les aires

★ À maîtriser

• Comme les triangles ABN et AMC ont la même aire, les rapports précédents sont égaux et donnent $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$.

• Les triangles BMN et CMN ont la même aire, car ils ont la même base MN et leurs sommets B et C sont sur une parallèle à MN.

• Les triangles BAN et CAM ont la même aire, car chacun est composé du triangle AMN et de l’un des triangles BMN et CMN, qui ont la même aire.

Compléments

📐 Formule - Les triangles AMC et ABC ont la même hauteur relative à la droite (AB), donc $\frac{A_{AMC}}{A_{ABC}}=\frac{AM}{AB}$.

💡 Astuce mémo

Parallélisme → aires égales → rapports de longueurs égaux.

📖 3. Démonstration par découpage des aires

★ À maîtriser

• L’égalité des aires du triangle ABC et de la réunion du triangle AEF avec le trapèze EFCB conduit, après développement et factorisation, à $EF\times AC=BC\times AF$.

📐 Formule - La relation d’aires précédente donne $\frac{EF}{BC}=\frac{AF}{AC}$.

📐 Formule - Les deux relations d’aires permettent d’établir $\frac{AE}{AB}=\frac{EF}{BC}$ et, avec le rapport précédent, $\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}=\frac{EF}{BC}$.

Compléments

• Dans la configuration où EF est parallèle à BC, l’aire du trapèze EFCB vaut $A_{EFCB}=\frac{(EF+BC)\times FC}{2}$.

📐 Formule - En notant h la longueur de FH, l’égalité des deux expressions de l’aire du triangle AEF donne $AE\times h=EF\times AF$.

💡 Astuce mémo

Découper le triangle, égaliser les aires, puis factoriser.

📖 4. Démonstration par les cosinus

★ À maîtriser

• En égalant les rapports issus des deux calculs de cosinus, on obtient $\frac{OM}{OA}=\frac{ON}{OB}$.

Compléments

• Dans le triangle OAB, avec M sur [OA], N sur [OB] et (MN) parallèle à (AB), la perpendiculaire à (AB) passant par O coupe (MN) en H et (AB) en K ; le calcul de cosinus dans deux triangles donne $\frac{OM}{OA}=\frac{OH}{OK}$ et $\frac{ON}{OB}=\frac{OH}{OK}$.

• En traçant par N la parallèle à OA, qui coupe AB en L, puis en utilisant le résultat précédent, on obtient $\frac{AL}{AB}=\frac{ON}{OB}$ et, par la parallélie, $\frac{MN}{AB}=\frac{ON}{OB}$.

📌 La démonstration par les cosinus reste valable lorsque M et N sont sur les demi-droites [OA) et [OB), même s’ils ne sont pas sur les segments [OA] et [OB], en inversant les rôles de A et B ainsi que de M et N.

📖 5. Thalès sur les demi-droites

★ À maîtriser

📌 En reportant les longueurs conservées par la symétrie, on obtient $\frac{OM}{OA}=\frac{ON}{OB}=\frac{MN}{AB}$ dans cette configuration extérieure.

• La symétrie centrale de centre O conserve les longueurs, donc OM = OM’, ON = ON’ et MN = M’N’.

Compléments

• Lorsque M est sur la demi-droite d’origine O qui ne contient pas A, les symétriques M’ et N’ de M et N par rapport à O vérifient, avec (M’N’) parallèle à (AB), $\frac{OM'}{OA} = \frac{ON'}{OB} = \frac{M'N'}{AB}$.

💡 Astuce mémo

Symétriser M et N par O, établir les rapports, puis revenir aux longueurs.