Fiche de révision : Dérivabilité et étude des fonctions

📋 Plan du Cours

1. Vocabulaire et opérateurs logiques
2. Méthodes de raisonnement mathématique
3. Ensembles et opérations fondamentales
4. Applications et transformations
5. Cardinalité et calculs combinatoires
6. Coefficients binomiaux et inégalités
7. Trinômes et fonctions trigonométriques
8. Valeur absolue et propriétés de R
9. Nombres complexes et forme trigonométrique
10. Formes trigonométrique et exponentielle
11. Équations polynomiales complexes
12. Applications trigonométriques des complexes
13. Équations différentielles linéaires
14. Limites en un point
15. Opérations et comparaison des limites
16. Continuité et valeurs intermédiaires
17. Dérivabilité en un point
18. Dérivabilité et opérations différentielles

📖 1. Vocabulaire et opérateurs logiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Proposition : Énoncé mathématique non paradoxal qui est soit vrai, soit faux, mais pas les deux simultanément.
• Prédicat : Proposition dont la valeur de vérité dépend d’une variable.
• Quantificateurs : Le quantificateur universel $\forall x \in E,\ P(x)$ affirme que tous les éléments de E vérifient P, tandis que le quantificateur existentiel $\exists x \in E,\ P(x)$ affirme qu’au moins un élément de E vérifie P.

📝 Points essentiels

• La négation de P est vraie lorsque P est fausse, la conjonction P et Q est vraie seulement lorsque P et Q sont vraies, tandis que la disjonction P ou Q est vraie dès qu’au moins l’une des deux propositions est vraie.

• L’implication $P \Rightarrow Q$ est équivalente à $\neg P \lor Q$, tandis que l’équivalence $P \Leftrightarrow Q$ exige les deux implications $P \Rightarrow Q$ et $Q \Rightarrow P$.

• Si $P \Rightarrow Q$ est vraie, alors P est une condition suffisante pour Q et Q est une condition nécessaire pour P ; si $P \Leftrightarrow Q$ est vraie, chacune est une condition nécessaire et suffisante pour l’autre.

• Les lois de De Morgan donnent $\neg(P \land Q) \Leftrightarrow (\neg P \lor \neg Q)$ et $\neg(P \lor Q) \Leftrightarrow (\neg P \land \neg Q)$.

• La négation de $\forall x \in E,\ P(x)$ est $\exists x \in E,\ \neg P(x)$, et la négation de $\exists x \in E,\ P(x)$ est $\forall x \in E,\ \neg P(x)$.

💡 Astuce mémo

Proposition = vraie ou fausse ; prédicat = vérité dépendante d’une variable.

📖 2. Méthodes de raisonnement mathématique

★ À maîtriser

• Le raisonnement par déduction part d’hypothèses et aboutit à une conclusion par une suite d’implications.

• Le raisonnement par contraposée démontre une implication $P \Rightarrow Q$ en démontrant l’implication équivalente $\neg Q \Rightarrow \neg P$.

• Le raisonnement par l’absurde suppose la proposition à démontrer fausse et montre que cette hypothèse conduit à une contradiction.

• Le raisonnement par analyse-synthèse consiste à déduire d’abord des conditions nécessaires en supposant une solution, puis à vérifier que ces conditions sont suffisantes pour obtenir effectivement une solution.

• Une récurrence simple nécessite une initialisation montrant que P(n₀) est vraie, une hérédité montrant que P(n) vraie entraîne P(n+1) vraie, puis une conclusion pour tout n supérieur ou égal à n₀.

Compléments

📌 La récurrence double initialise deux rangs successifs et utilise P(n) et P(n+1) pour démontrer P(n+2), tandis que la récurrence forte utilise toutes les propriétés précédentes P(k) pour établir P(n+1).

📐 Formule - La somme des n premiers entiers naturels strictement positifs vérifie $1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$.

• La conjecture de Goldbach affirme que tout nombre entier pair supérieur à 3 peut s’écrire comme la somme de deux nombres premiers, tandis que le grand théorème de Fermat affirme que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 3, il n’existe pas d’entiers strictement positifs x, y et z tels que $x^n+y^n=z^n$.

💡 Astuce mémo

Analyser, établir, transmettre : hypothèses, étapes logiques, conclusion.

📖 3. Ensembles et opérations fondamentales

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble : Une collection d’objets distincts, appelée éléments, et un élément x appartient à un ensemble A si et seulement si x ∈ A.
• Inclusion : Un ensemble A est inclus dans un ensemble B, noté A ⊂ B, si tout élément de A appartient à B, c’est-à-dire $A \subset B \Longleftrightarrow \forall x\in A,\ x\in B$.
• Complémentaire : L’ensemble des éléments de E qui n’appartiennent pas à A, noté E \ A.

★ À maîtriser

📌 L’union A ∪ B regroupe les éléments appartenant à A ou à B, tandis que l’intersection A ∩ B regroupe ceux appartenant à A et à B.

📐 Formule - Les formules de De Morgan sont $\overline{A\cup B}=\overline A\cap\overline B$ et $\overline{A\cap B}=\overline A\cup\overline B$.

Compléments

• Pour montrer qu’un ensemble A est vide, on suppose par l’absurde qu’il existe un élément x ∈ A, puis on établit une contradiction avant de conclure que A = ∅.

💡 Astuce mémo

∈ compare un élément à un ensemble, tandis que ⊂ compare deux ensembles

📖 4. Applications et transformations

🔑 Notions clés & Définitions

• Application : Une application f de E dans F associe à chaque élément x de E un unique élément f(x) de F, où E est la source et F le but.
• Image directe : L’ensemble $f(A)=\{f(x)\mid x\in A\}$.
• Image réciproque : $f^{-1}(A)=\{x\in E\mid f(x)\in A\}$, que f soit bijective ou non.

★ À maîtriser

📌 Une injection associe à chaque élément du but au plus un antécédent, une surjection au moins un antécédent, et une bijection exactement un antécédent.

📌 Si f et g sont bijectives, alors leur composée est bijective et vérifie $(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$.

Compléments

📐 Formule - La composée de deux applications f:E→F et g:F→G est définie par $(g\circ f)(x)=g(f(x))$ pour tout x∈E.

💡 Astuce mémo

Injection : au plus un antécédent ; surjection : au moins un ; bijection : exactement un

📖 5. Cardinalité et calculs combinatoires

🔑 Notions clés & Définitions

• Cardinal : Le nombre de ses éléments, avec Card(∅)=0.
• Dénombrabilité : En bijection avec l’ensemble des entiers naturels N, et il est non dénombrable s’il est infini sans être dénombrable.

📝 Points essentiels

📌 Un ensemble fini E a pour cardinal n si et seulement s’il existe une bijection entre E et J1,nK.

📐 Formule - Pour tout n∈N∗, la somme des n premiers entiers vaut $\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$.

📐 Formule - Pour tout n∈N∗ et q≠1, la somme géométrique vaut $\sum_{k=0}^{n}q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$.

💡 Astuce mémo

Fini → bijection avec J1,nK → cardinal n

📖 6. Coefficients binomiaux et inégalités

★ À maîtriser

• Le coefficient binomial $\binom{n}{k}$ représente le nombre de façons de choisir simultanément k éléments parmi un ensemble de n éléments.

📐 Formule - Les coefficients binomiaux vérifient la symétrie $\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$ et la formule de Pascal $\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}=\binom{n+1}{k+1}$.

📐 Formule - Pour tout entier naturel non nul n et tous réels a et b, la formule du binôme de Newton est $\left(a+b\right)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^kb^{n-k}$.

• Multiplier une inégalité par un nombre strictement positif conserve son sens, tandis que la multiplier par un nombre strictement négatif en inverse le sens.

Compléments

📌 Pour des nombres positifs, l’inversion change le sens de l’inégalité : $0<x<y\Longleftrightarrow \frac1x>\frac1y>0$.

💡 Astuce mémo

Symétrie → Pascal → Newton

📖 7. Trinômes et fonctions trigonométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Cosinus et sinus : L’abscisse du point correspondant sur le cercle trigonométrique, tandis que son sinus en est l’ordonnée.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour un trinôme $ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$, la forme canonique est $ax^2+bx+c=a\left(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right)$.

📌 Le discriminant d’un trinôme $ax^2+bx+c$ est $\Delta=b^2-4ac$ : si $\Delta>0$, le trinôme possède deux racines réelles distinctes ; si $\Delta=0$, une racine réelle double ; si $\Delta<0$, aucune racine réelle.

📐 Formule - Lorsque $\Delta>0$, les racines du trinôme sont $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$, et sa factorisation est $a(x-x_1)(x-x_2)$.

📐 Formule - Pour tout réel x, $\cos^2(x)+\sin^2(x)=1$, les fonctions sinus et cosinus sont bornées entre -1 et 1 et sont 2π-périodiques.

Compléments

📐 Formule - Les formules d’addition sont $\cos(x+y)=\cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)$ et $\sin(x+y)=\sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y)$.

💡 Astuce mémo

Discriminant positif : deux racines ; nul : une racine double ; négatif : aucune racine

📖 8. Valeur absolue et propriétés de R

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : Le nombre positif ou nul $|x|=\max(x,-x)$, égal à x si x est positif ou nul et à -x si x est négatif.
• Partie entière : L’unique entier vérifiant $E(x)\le x<E(x)+1$ ; elle est le plus grand entier inférieur ou égal à x.
• Borne supérieure : La borne supérieure d’un ensemble est son plus petit majorant, tandis que la borne inférieure est son plus grand minorant ; un maximum ou un minimum doit appartenir à l’ensemble.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour tout réel a et tout ε positif ou nul, $|x-a|\le\varepsilon\Longleftrightarrow a-\varepsilon\le x\le a+\varepsilon$.

📐 Formule - La valeur absolue vérifie $|xy|=|x||y|$, $|x+y|\le|x|+|y|$ et $\left||x|-|y|\right|\le|x-y|\le|x|+|y|$.

Compléments

• Tout intervalle ouvert non vide de R contient au moins un rationnel et au moins un irrationnel ; ainsi Q et R\Q sont denses dans R.

💡 Astuce mémo

Maximum appartient à l’ensemble ; borne supérieure peut ne pas lui appartenir

📖 9. Nombres complexes et forme trigonométrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre complexe : S’écrit $z=x+iy$ avec x et y réels ; x est sa partie réelle et y sa partie imaginaire, et deux complexes sont égaux lorsqu’ils ont les mêmes parties réelle et imaginaire.
• Conjugué : Du complexe $z=x+iy$ est $\overline z=x-iy$ ; géométriquement, il correspond à la symétrie par rapport à l’axe réel.
• Module : D’un complexe $z=x+iy$ est $|z|=\sqrt{x^2+y^2}$ et représente la distance entre son affixe et l’origine.
• Forme trigonométrique : Tout complexe non nul s’écrit sous la forme trigonométrique $z=|z|(\cos(\theta)+i\sin(\theta))$, où θ est un argument de z défini à un multiple de 2π près.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le produit de deux complexes vérifie $(x+iy)(x'+iy')=(xx'-yy')+i(xy'+x'y)$ et le nombre imaginaire i vérifie $i^2=-1$.

📐 Formule - Pour tout complexe $z=x+iy$, on a $z\overline z=x^2+y^2$, et l’inverse d’un complexe non nul est $\frac1z=\frac{\overline z}{z\overline z}$.

Compléments

📐 Formule - Le module est multiplicatif et vérifie $|zz'|=|z||z'|$ ainsi que l’inégalité triangulaire $|z+z'|\le|z|+|z'|$.

💡 Astuce mémo

Conjugué → module réel → inverse complexe

📖 10. Formes trigonométrique et exponentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme trigonométrique : Tout nombre complexe non nul s’écrit de manière unique sous la forme $z=|z|\left(\cos(\arg(z))+i\sin(\arg(z))\right)$, où l’argument est défini à un multiple de $2\pi$ près.
• Exponentielle complexe : Pour tout réel $\theta$, l’exponentielle complexe est définie par $e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta)$ et son module vaut $1$.
• Forme exponentielle : Tout nombre complexe non nul s’écrit de manière unique sous la forme $z=|z|e^{i\arg(z)}$, avec un module réel positif et un argument défini à un multiple de $2\pi$ près.

★ À maîtriser

• Pour mettre $z=a+ib$ sous forme trigonométrique, on calcule d’abord $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$, puis on cherche un angle $\theta$ vérifiant $\cos(\theta)=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ et $\sin(\theta)=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$.

📐 Formule - Pour tous réels $\theta$ et $\theta'$, on a $e^{i(\theta+\theta')}=e^{i\theta}e^{i\theta'}$ et $e^{-i\theta}=\frac{1}{e^{i\theta}}$.

Compléments

📌 Les sommes de nombres complexes se traitent généralement en forme algébrique, tandis que les produits et les puissances se traitent généralement en forme exponentielle.

💡 Astuce mémo

La forme trigonométrique développe cosinus-sinus, tandis que la forme exponentielle condense le même nombre en un module et un angle.

📖 11. Équations polynomiales complexes

🔑 Notions clés & Définitions

• Racines carrées complexes : Les racines carrées complexes d’un nombre $a\in\mathbb C$ sont les nombres complexes dont le carré vaut $a$, c’est-à-dire les solutions de $z^2=a$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour $az^2+bz+c=0$ avec $a\neq0$ et $\Delta=b^2-4ac$, si $\Delta<0$ les deux racines complexes conjuguées sont $z_1=\frac{-b-i\sqrt{|\Delta|}}{2a}$ et $z_2=\frac{-b+i\sqrt{|\Delta|}}{2a}$.

📐 Formule - Si $a=|a|e^{i\theta}\neq0$, ses deux racines carrées complexes sont $z_1=\sqrt{|a|}e^{i\theta/2}$ et $z_2=-z_1=\sqrt{|a|}e^{i(\theta/2+\pi)}$.

📐 Formule - Si $a,b,c\in\mathbb C$, $a\neq0$, $\Delta=b^2-4ac$ et $\delta^2=\Delta$, alors les solutions de $az^2+bz+c=0$ sont $z_1=\frac{-b-\delta}{2a}$ et $z_2=\frac{-b+\delta}{2a}$.

📐 Formule - Les $n$ racines n-ièmes de l’unité sont $\xi_k=e^{2ik\pi/n}$ pour $0\leq k\leq n-1$.

Compléments

📐 Formule - Si $a=|a|e^{i\theta}\neq0$, ses exactement $n$ racines n-ièmes sont $z_k=\sqrt[n]{|a|}e^{i(\theta+2k\pi)/n}$ pour $0\leq k\leq n-1$.

💡 Astuce mémo

Discriminant, racines carrées, racines n-ièmes, puis clôture algébrique de C.

📖 12. Applications trigonométriques des complexes

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour tout réel $\theta$, les formules d’Euler sont $\cos(\theta)=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$ et $\sin(\theta)=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$.

• Pour linéariser une expression en puissances de sinus et cosinus, on remplace d’abord sinus et cosinus par les formules d’Euler, on développe les puissances, puis on regroupe les exponentielles pour retrouver des sinus et cosinus.

📐 Formule - Pour $\theta\in\mathbb R$ et $n\in\mathbb N$, la formule de De Moivre est $(\cos(\theta)+i\sin(\theta))^n=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)$.

Compléments

📐 Formule - Pour deux réels $\theta$ et $\theta'$, la factorisation par l’angle moitié donne $e^{i\theta}+e^{i\theta'}=2\cos\left(\frac{\theta-\theta'}{2}\right)e^{i(\theta+\theta')/2}$.

💡 Astuce mémo

Exponentielle complexe → formules d’Euler → linéarisation et délinéarisation.

📖 13. Équations différentielles linéaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation différentielle linéaire du premier ordre : Équation de la forme $y'=a(x)y+b(x)$, où $a$ et $b$ sont définies sur un intervalle réel.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour $ay''+by'+cy=0$, l’équation caractéristique associée est $ar^2+br+c=0$ et ses racines déterminent la forme générale des solutions.

📌 Si le discriminant de l’équation caractéristique est positif, les solutions homogènes sont $y_h(x)=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$; s’il est nul, elles sont $y_h(x)=(C_1+C_2x)e^{r_0x}$; s’il est négatif, elles sont $y_h(x)=(C_1\cos(\beta x)+C_2\sin(\beta x))e^{\alpha x}$.

📌 Les solutions de $ay''+by'+cy=g(x)$ sont de la forme $y=y_p+y_h$, où $y_p$ est une solution particulière et $y_h$ la solution générale de l’équation homogène associée.

• Pour résoudre une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants, on détermine d’abord la solution homogène, puis une solution particulière, et enfin on additionne les deux familles.

• Pour $ay''+by'+cy=g(x)$ avec des conditions initiales $y(x_0)=y_0$ et $y'(x_0)=y_1$, il existe une unique solution sur l’intervalle considéré.

• Si $A$ est une primitive de $a$ sur un intervalle $I$, les solutions de l’équation homogène $y'=a(x)y$ sont $y_h(x)=Ce^{A(x)}$, avec $C\in\mathbb{R}$.

• Si $a$ et $b$ sont continues sur un intervalle $I$ et si $A$ est une primitive de $a$, les solutions de $y'=a(x)y+b(x)$ sont $y(x)=y_p(x)+Ce^{A(x)}$, où $y_p$ est une solution particulière.

• Pour résoudre $y'=a(x)y+b(x)$, on résout d’abord l’équation homogène associée, puis on trouve une solution particulière et enfin on additionne les deux contributions.

💡 Astuce mémo

Homogène, particulière, somme générale, puis conditions initiales.

📖 14. Limites en un point

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite infinie en un point : Si, pour tout M ∈ R, il existe η > 0 tel que x ∈ D{a} et |x−a| ≤ η impliquent f(x) ≥ M ; la définition de la limite −∞ s’obtient en remplaçant ≥ M par ≤ M.
• Limite finie en un point : Si, pour tout ε > 0, il existe η > 0 tel que x ∈ D{a} et |x−a| ≤ η impliquent |f(x)−ℓ| ≤ ε.

📝 Points essentiels

📌 Une limite finie en a existe si et seulement si, pour toute suite (u_n) de points de D{a} convergeant vers a, la suite (f(u_n)) converge vers la même limite ℓ.

• Pour montrer qu’une fonction n’admet pas de limite en a, il suffit de trouver deux suites convergeant vers a dont les images ne convergent pas vers la même limite.

• La limite d’une fonction en un point, si elle existe, est unique.

📌 La limite à gauche de a utilise les x tels que x < a, tandis que la limite à droite de a utilise les x tels que x > a.

📌 Si les limites à gauche et à droite de a existent et sont égales à ℓ, alors f admet la limite ℓ en a ; si f admet une limite en a, ses limites à gauche et à droite existent et lui sont égales.

💡 Astuce mémo

Limite finie : f(x) se rapproche de ℓ ; limite infinie : f(x) dépasse tout seuil M.

📖 15. Opérations et comparaison des limites

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonctions équivalentes : Deux fonctions f et g sont équivalentes en a, noté f ∼ₐ g, si g ne s’annule pas au voisinage de a et si $\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=1$.

📝 Points essentiels

📌 Les limites d’une somme, d’un produit ou d’un quotient se calculent à partir des limites des fonctions lorsque les opérations sont déterminées ; les configurations comme +∞−∞, 0×∞ ou ∞/∞ sont des formes indéterminées.

• Pour lever une indétermination, on peut factoriser par les termes prépondérants à l’infini, simplifier par x−a lorsque deux polynômes s’annulent en a, ou multiplier par la quantité conjuguée pour une différence de racines.

• Si f(x) ≤ g(x) pour tout x et si f et g admettent des limites en a, alors lim x→a f(x) ≤ lim x→a g(x) ; les inégalités larges passent à la limite, mais les inégalités strictes peuvent devenir des égalités.

• Si g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) et si g et h ont la même limite ℓ en a, alors f a pour limite ℓ en a.

• Les équivalents se multiplient, peuvent être multipliés par une constante non nulle ou élevés à une puissance réelle, mais ils ne peuvent pas être additionnés ni composés à gauche par une fonction quelconque.

💡 Astuce mémo

Forme indéterminée → transformation adaptée → limite calculable.

📖 16. Continuité et valeurs intermédiaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Continuité en un point : Si f(a) = lim x→a f(x), c’est-à-dire si sa limite épointée en a existe et vaut sa valeur en a.

★ À maîtriser

• Si f n’est pas définie en a mais admet une limite finie ℓ en a, on peut la prolonger par continuité en posant f(a)=ℓ.

• Si f est continue sur un intervalle contenant [a,b], alors toute valeur λ comprise entre f(a) et f(b) est prise en un point c ∈ [a,b].

• Si f est continue sur [a,b] et si f(a) et f(b) sont de signes opposés, alors il existe c ∈ [a,b] tel que f(c)=0.

• Une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle est bijective vers son image, et sa fonction réciproque est continue et possède la même monotonie.

Compléments

📌 Une fonction est continue sur un domaine si elle est continue en chacun des points de ce domaine.

💡 Astuce mémo

Continuité → valeurs intermédiaires → zéro ou bijection.

📖 17. Dérivabilité en un point

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux d’accroissement : La fonction $\tau_{f,a}(h)=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ définie pour h ≠ 0 et a+h ∈ D.
• Nombre dérivé : Une fonction f est dérivable en a si la limite $\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ existe et est finie ; cette limite est le nombre dérivé f′(a).

📝 Points essentiels

• Pour la fonction carrée f(x)=x², le taux d’accroissement en a vaut h+2a et le nombre dérivé est f′(a)=2a.

📌 La fonction valeur absolue f(x)=|x| n’est pas dérivable en 0 car son taux d’accroissement tend vers −1 à gauche et vers 1 à droite.

📌 Si f est dérivable à gauche et à droite en a, alors f est dérivable en a si et seulement si f′g(a)=f′d(a), et dans ce cas f′(a) est égal à ces deux valeurs.

💡 Astuce mémo

Taux d’accroissement → limite en h = 0 → nombre dérivé → tangente.

📖 18. Dérivabilité et opérations différentielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Tangente : La droite à la courbe de f au point (a,f(a)) a pour équation $y=f′(a)(x-a)+f(a)$.
• Extremum local : Un maximum local ou un minimum local de f sur un intervalle contenant x₀.
• Fonction paire : Vérifie f(−x)=f(x) pour tout x de son domaine symétrique par rapport à zéro.
• Fonction impaire : Vérifie f(−x)=−f(x) pour tout x de son domaine symétrique par rapport à zéro.
• Périodicité : Vérifie f(x+T)=f(x) pour tout x de son domaine tel que x+T appartient aussi au domaine.
• Asymptote horizontale : Si f admet une limite finie ℓ en +∞ ou en −∞, alors la droite y=ℓ est une asymptote horizontale à sa courbe.

📝 Points essentiels

• La dérivabilité à droite et à gauche en a s’étudie par l’existence des limites de $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ lorsque h tend respectivement vers 0+ et vers 0−.

• Une fonction est dérivable en a si et seulement si elle est dérivable à gauche et à droite en a et si les deux dérivées latérales sont égales.

• La règle de l’Hôpital donne, si f et g sont dérivables en a, si f(a)=g(a)=0, si g′(a)≠0 et si f/g est définie au voisinage de a, alors $\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f′(a)}{g′(a)}$.

• Toute fonction dérivable en un point y est continue en ce point, mais une fonction continue n’est pas nécessairement dérivable en ce point.

📐 Formule - Pour des fonctions dérivables, on a $\left(\lambda f+\mu g\right)′=\lambda f′+\mu g′$ et $\left(fg\right)′=f′g+fg′$.

📐 Formule - Si f est dérivable en a et g est dérivable en f(a), alors $\left(g\circ f\right)′(a)=f′(a)g′(f(a))$.

📐 Formule - Si f est une bijection dérivable et si f′ ne s’annule pas, alors $\left(f^{-1}\right)′(b)=\frac{1}{f′(f^{-1}(b))}$.

📌 Si f est dérivable en un point intérieur x₀ d’un intervalle et y admet un extremum local en x₀, alors $f′(x₀)=0$ et la tangente y est horizontale.

📐 Formule - Sur un intervalle I, f est croissante si et seulement si $f′\geq0$ sur I, décroissante si et seulement si $f′\leq0$ sur I, et constante si et seulement si $f′=0$ sur I.

📌 La courbe d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées, tandis que celle d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine.

💡 Astuce mémo

Gauche et droite → dérivée → tangente → continuité

📊 Tableaux de synthèse

Types d’applications

Discriminant et racines d’un trinôme