QCM : Dérivabilité et étude des fonctions (71 questions)

Explication

Une proposition est un énoncé non paradoxal qui est vrai ou faux, mais sa valeur de vérité ne varie pas. Une expression dépendant d’une variable correspond plutôt à un prédicat.

Explication

Un prédicat est une proposition dont la valeur de vérité dépend d’une variable. Une proposition au sens strict possède, elle, une valeur de vérité déterminée.

Explication

La disjonction logique est inclusive : elle est vraie dès qu’au moins une proposition est vraie. Exiger que les deux propositions soient vraies correspondrait à une conjonction.

Explication

Une équivalence exige les deux sens de l’implication, de P vers Q et de Q vers P. Le seul sens P vers Q définit une implication, pas une équivalence.

Explication

La déduction part d’hypothèses connues et applique une suite d’implications pour obtenir une conclusion. La recherche d’une contradiction relève du raisonnement par l’absurde.

Explication

La contraposée d’une implication inverse l’ordre des propositions et nie chacune d’elles, donnant $\neg Q \Rightarrow \neg P$. L’implication $Q \Rightarrow P$ est la réciproque, qui n’est pas équivalente en général.

Explication

Le raisonnement par l’absurde part de la négation de la proposition recherchée et montre qu’elle conduit à une contradiction. Le passage d’un rang au suivant caractérise plutôt une récurrence.

Explication

L’hérédité d’une récurrence simple consiste à prouver $P(n) \Rightarrow P(n+1)$, après avoir vérifié le rang initial. La récurrence forte utilise, elle, plusieurs propriétés précédentes.

Explication

La notation $x \in A$ signifie que x est un élément de A. La notation d’inclusion concerne deux ensembles, et non un élément et un ensemble.

Explication

L’inclusion $A \subset B$ signifie que chaque élément de A appartient à B. L’égalité des ensembles demanderait les deux inclusions, tandis que l’appartenance s’écrit avec le symbole $\in$.

Explication

Le complémentaire de A dans E rassemble les éléments de l’univers E qui ne sont pas dans A, et se note $E \setminus A$. Les éléments extérieurs à E ne font pas partie de ce complémentaire.

Explication

L’intersection regroupe les éléments communs à A et B, donc ceux qui appartiennent aux deux ensembles. La condition « dans A ou dans B » décrit l’union.

Explication

Une application de $E$ dans $F$ attribue à chaque élément de la source $E$ une valeur unique dans le but $F$. Elle ne définit pas nécessairement une correspondance réciproque pour chaque élément de $F$.

Explication

L’image directe rassemble dans le but les valeurs obtenues en appliquant $f$ aux éléments de $A$. L’expression avec la condition $f(x)\in A$ décrit plutôt une image réciproque lorsque $A$ est une partie du but.

Explication

L’image réciproque est définie par $f^{-1}(A)=\{x\in E\mid f(x)\in A\}$, même lorsque $f$ n’est pas bijective. En revanche, une application réciproque $f^{-1}:F\to E$ exige la bijectivité.

Explication

Une bijection combine l’injectivité et la surjectivité : chaque élément du but possède exactement un antécédent. « Au plus un » caractérise l’injectivité, tandis que « au moins un » caractérise la surjectivité.

Explication

Le cardinal $\operatorname{Card}(E)$ est le nombre d’éléments de l’ensemble fini $E$, et $\operatorname{Card}(\varnothing)=0$. Une bijection décrit une correspondance entre ensembles, mais ne constitue pas elle-même la mesure du cardinal.

Explication

Un ensemble fini a le cardinal $n$ si et seulement s’il est en bijection avec l’ensemble des entiers de $1$ à $n$, noté $J_{1,n}K$. Une injection ou une surjection seule ne garantit pas que les deux ensembles aient le même cardinal.

Explication

Un ensemble est dénombrable lorsqu’il existe une bijection entre lui et $\mathbb N$. Un ensemble infini qui ne possède pas une telle bijection est dit non dénombrable.

Explication

La formule $\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$ donne ici $\frac{10\times11}{2}=55$. La valeur $45$ correspond à une soustraction incorrecte du dernier terme.

Explication

Le coefficient $\binom{n}{k}$ compte les façons de choisir simultanément $k$ éléments parmi $n$, sans tenir compte de l’ordre. Les arrangements ordonnés constituent une autre situation combinatoire.

Explication

La symétrie affirme que choisir $k$ éléments parmi $n$ revient à choisir les $n-k$ éléments qui ne sont pas retenus. Les autres égalités ne constituent pas la propriété générale de symétrie.

Explication

Le binôme de Newton donne $\left(a+b\right)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^kb^{n-k}$, donc le terme d’indice $k$ est celui indiqué. L’exposant de $b$ dépend de $n-k$ et la somme des exposants vaut $n$.

Explication

La multiplication par un nombre strictement négatif inverse le sens de l’inégalité, donc $x<y$ devient $cx>cy$. La conservation du sens s’applique lorsqu’on multiplie par un nombre strictement positif.

Explication

La mise sous forme canonique s’obtient en complétant le carré, ce qui donne le déplacement $x+\frac{b}{2a}$ et le terme correct lié au discriminant. Les autres expressions modifient le signe, le facteur ou le discriminant et ne sont donc pas équivalentes.

Explication

Un discriminant négatif indique que le trinôme ne s’annule pour aucune valeur réelle. La racine double correspond à $\Delta=0$, tandis que deux racines réelles distinctes apparaissent lorsque $\Delta>0$.

Explication

Lorsque le discriminant est positif, les deux racines sont $x_1$ et $x_2$, et le coefficient dominant impose le facteur $a$. Les signes positifs ne correspondent pas aux zéros du trinôme, et une expression linéaire ne peut pas représenter ce trinôme.

Explication

Le sinus et le cosinus satisfont l’identité fondamentale, prennent leurs valeurs entre $-1$ et $1$ et se répètent après $2\pi$. La période $\pi$ concerne la tangente, tandis que les autres identités proposées sont fausses.

Explication

Pour un réel négatif, la valeur absolue est l’opposé de ce réel afin d’obtenir un nombre positif. L’expression $x$ resterait négative, tandis que les deux autres expressions ne définissent pas la valeur absolue.

Explication

La condition signifie que la distance entre $x$ et $a$ ne dépasse pas $\varepsilon$, donc $x$ appartient à l’intervalle centré en $a$ de rayon $\varepsilon$. La deuxième proposition décrit l’extérieur de cet intervalle, et les deux autres déplacent ou inversent incorrectement ses bornes.

Explication

L’inégalité triangulaire fournit une majoration de la valeur absolue d’une somme par la somme des valeurs absolues. L’égalité n’est valable que dans certaines configurations, et les deux autres relations confondent somme et produit ou ne sont pas générales.

Explication

La partie entière est le plus grand entier inférieur ou égal au réel, donc $E(-2{,}3)=-3$. L’entier $-2$ est supérieur à $-2{,}3$ et ne satisfait pas la définition.

Explication

Par définition, la décomposition $z=x+iy$ identifie $x$ comme partie réelle et $y$ comme coefficient de la partie imaginaire. Le module, le conjugué et l’argument sont d’autres caractéristiques qui ne se confondent pas avec ces deux composantes.

Explication

En développant le produit et en utilisant $i^2=-1$, les termes réels donnent $xx'-yy'$ et les termes imaginaires donnent $xy'+x'y$. La troisième expression correspond à une addition, tandis que les autres inversent des signes.

Explication

La multiplication par le conjugué transforme le dénominateur en $z\overline z$, qui est réel et non nul lorsque $z\ne0$. Le conjugué seul n’est pas l’inverse en général, et le produit $z\overline z$ correspond au carré du module.

Explication

La forme trigonométrique sépare le module $|z|$, qui règle la distance à l’origine, et un argument $\theta$, qui règle la direction. Les autres expressions permutent le rôle du module et de l’argument, échangent sinus et cosinus ou inversent le module.

Explication

La forme trigonométrique associe le module au couple cosinus-sinus de l’argument. L’écriture avec une exponentielle complexe correspond à la forme exponentielle, et non à la forme trigonométrique demandée.

Explication

Le module vaut $\sqrt{3^2+4^2}=5$, puis les coordonnées normalisées sont $3/5$ et $4/5$. La démarche correcte consiste bien à déterminer d’abord le module, puis l’angle à partir de ces rapports.

Explication

Par définition, $e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta)$, et ce nombre appartient au cercle unité. L’exponentielle complexe ne se comporte donc pas comme une fonction réelle positive sur tous les nombres complexes.

Explication

L’exponentielle complexe conserve la règle du produit pour l’addition des exposants, et l’exposant opposé donne l’inverse. Les autres égalités confondent notamment produit et somme ou changent incorrectement le signe d’un angle.

Explication

Lorsque le discriminant réel est négatif, son opposé $|\Delta|$ fournit la partie imaginaire des deux racines conjuguées. Le dénominateur reste $2a$ et le terme réel est $-b$, ce qui écarte les autres expressions.

Explication

Les racines carrées complexes de $a$ sont précisément les solutions de l’équation $z^2=a$. La relation portant sur le module ne suffit pas à caractériser le nombre complexe lui-même.

Explication

La racine carrée réduit le module à $\sqrt{|a|}$ et l’argument à $\theta/2$; la seconde racine est l’opposée de la première. Prendre le module inchangé ou conserver l’argument complet ne produit pas, en général, un carré égal à $a$.

Explication

Les racines n-ièmes de l’unité sont régulièrement réparties sur le cercle unité et s’écrivent avec les angles $2k\pi/n$. L’intervalle d’indices fournit les $n$ valeurs distinctes correspondant aux tours fractionnés du cercle.

Explication

Le cosinus provient de la somme des exponentielles conjuguées divisée par $2$, tandis que le sinus provient de leur différence divisée par $2i$. Intervertir somme et différence ou omettre les dénominateurs modifie les fonctions obtenues.

Explication

La linéarisation passe par les formules d’Euler, le développement algébrique des puissances et le regroupement final des exponentielles sous forme trigonométrique. La délinéarisation désigne au contraire la transformation inverse d’une somme vers une expression en puissances.

Explication

La formule de De Moivre transforme une puissance d’un nombre complexe de module $1$ en une multiplication de son argument par $n$. Les expressions utilisant $\theta^n$ ou $\theta/n$ ne correspondent pas à l’effet d’une puissance complexe.

Explication

L’équation caractéristique s’obtient en remplaçant les dérivées de la fonction par des puissances de la variable auxiliaire $r$, ce qui donne $ar^2+br+c=0$. L’équation différentielle elle-même porte sur la fonction $y$ et non sur $r$.

Explication

Une racine réelle double produit une solution homogène de la forme $y_h(x)=(C_1+C_2x)e^{r_0x}$. La combinaison avec sinus et cosinus correspond plutôt à des racines complexes conjuguées.

Explication

La solution générale est la somme d’une solution particulière $y_p$ et de la solution générale homogène $y_h$. Une soustraction ou un produit ne préserve pas la structure générale des solutions de cette équation linéaire.

Explication

La méthode consiste à déterminer d’abord la solution homogène, puis une solution particulière, avant d’additionner ces deux familles. La solution particulière ne remplace pas l’étude de l’équation homogène.

Explication

La définition exige que les valeurs de $f(x)$ soient arbitrairement proches de $\ell$ lorsque $x$ approche $a$ avec $x\neq a$. Elle ne demande pas que $f(a)$ soit définie ou égale à $\ell$, contrairement à une condition de continuité.

Explication

La limite existe si et seulement si toute suite admissible convergeant vers $a$ produit une suite d’images convergeant vers la même valeur $\ell$. L’existence d’une seule suite convenable ne suffit pas à établir une limite.

Explication

Deux suites admissibles tendant vers $a$ et donnant des limites d’images différentes contredisent le critère séquentiel d’une limite unique. Une seule suite bornée ou un point non défini ne suffit pas à conclure.

Explication

Approcher $a$ par la gauche signifie prendre des valeurs strictement inférieures à $a$, tandis qu’une approche par la droite utilise des valeurs strictement supérieures. La valeur $x=a$ n’appartient pas à l’approche latérale.

Explication

La forme $+\infty-\infty$ est indéterminée, car la différence dépend de la vitesse à laquelle les deux termes tendent vers l’infini. Les autres expressions ont des opérations directement déterminées.

Explication

La multiplication par la quantité conjuguée transforme une différence de racines en une expression algébrique plus simple, souvent avec une différence de carrés. La factorisation par les termes dominants concerne plutôt les quotients polynomiaux à l’infini.

Explication

Les inégalités larges se transmettent à la limite lorsque les deux limites existent, d’où la relation indiquée. Une inégalité stricte au voisinage peut toutefois devenir une égalité après passage à la limite.

Explication

L’équivalence en $a$ est définie par la convergence du quotient $f(x)/g(x)$ vers $1$, avec l’absence d’annulation de $g$ près de $a$. Avoir la même limite ou la même valeur au point ne garantit pas cette condition.

Explication

La continuité en $a$ exige que la limite en ce point existe et coïncide avec la valeur $f(a)$. L’existence d’une limite ne suffit pas si la valeur attribuée à la fonction est différente.