Fiche de révision : Dérivation et étude des fonctions

📋 Plan du Cours

1. Taux de variation et nombre dérivé
2. Tangente à une courbe
3. Fonction dérivée et dérivées usuelles
4. Opérations sur les dérivées
5. Variations d’une fonction dérivable
6. Composition et règle de chaîne

📖 1. Taux de variation et nombre dérivé

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux de variation : Le taux de variation de f entre a et x, avec a et x distincts, est $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$.
• Nombre dérivé : Fonction f dérivable en a lorsque son taux de variation entre a et x tend vers un nombre réel quand x tend vers a, appelé nombre dérivé f′(a).

★ À maîtriser

📐 Formule — Le nombre dérivé peut aussi s’écrire $f′(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$.

Compléments

• Pour étudier la dérivabilité en a, on calcule le taux de variation puis on étudie sa limite.

💡 Astuce mémo

Quand x se rapproche de a, le taux de variation tend vers le nombre dérivé.

📖 2. Tangente à une courbe

🔑 Notions clés & Définitions

• Tangente à une courbe : Si f est dérivable en a, sa courbe représentative admet au point A(a ; f(a)) une tangente de coefficient directeur f′(a).

📝 Points essentiels

📐 Formule — L’équation de la tangente à la courbe en a est $y=f′(a)(x-a)+f(a)$.

💡 Astuce mémo

Au point A, la courbe touche une droite dont la pente vaut f′(a).

📖 3. Fonction dérivée et dérivées usuelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction dérivée : Fonction $f′:x\mapsto f′(x)$ définie lorsque f est dérivable en toute valeur de I.

★ À maîtriser

📐 Formule — Les dérivées usuelles sont $k′=0$, $(x^n)′=nx^{n-1}$, $\left(\frac1{x^n}\right)′=-\frac{n}{x^{n+1}}$, $(\sqrt{x})′=\frac1{2\sqrt{x}}$ et $(e^x)′=e^x$.

Compléments

• Pour f(x)=1/x^n, le domaine est ]−∞;0[ ou ]0;+∞[, et pour f(x)=√x, la fonction dérivée est définie sur ]0;+∞[.

📖 4. Opérations sur les dérivées

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour des fonctions dérivables u et v, on a $(ku)′=ku′$ et $(u+v)′=u′+v′$.

📐 Formule — La dérivée d’un produit est $(uv)′=u′v+uv′$.

📐 Formule — Si v ne s’annule pas, alors $\left(\frac1v\right)′=-\frac{v′}{v^2}$ et $\left(\frac uv\right)′=\frac{u′v-uv′}{v^2}$.

📖 5. Variations d’une fonction dérivable

★ À maîtriser

📌 Si f′ est nulle sur I, f est constante sur I ; si f′ est positive sur I sauf en un nombre fini de valeurs, f est strictement croissante ; si f′ est négative dans les mêmes conditions, f est strictement décroissante.

📌 Si f′ s’annule en changeant de signe en x₀, f admet un extremum local en x₀.

Compléments

• Pour étudier les variations d’une fonction dérivable, on justifie sa dérivabilité, on calcule sa dérivée, on étudie le signe de cette dérivée, puis on dresse le tableau de son signe et des variations de la fonction.

💡 Astuce mémo

Dériver → étudier le signe → dresser le tableau des variations.

📖 6. Composition et règle de chaîne

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction composée : Si u(x) appartient au domaine de v, la composée de u suivie de v est la fonction v∘u définie par $(v∘u)(x)=v(u(x))$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Si u et v sont dérivables et que u(I) est inclus dans le domaine de v, alors $(v∘u)′=(v′∘u)×u′$.

📐 Formule — Pour tout x, la dérivée d’une composée vérifie $(v∘u)′(x)=v′(u(x))×u′(x)$.

📐 Formule — Les cas particuliers donnent $(u^n)′=nu^{n-1}u′$, $\left(\frac1{u^n}\right)′=-\frac{nu′}{u^{n+1}}$, $(\sqrt{u})′=\frac{u′}{2\sqrt{u}}$ et $(e^u)′=e^u u′$.

Compléments

📌 Pour une fonction de la forme x↦v(ax+b), la dérivée est x↦v′(ax+b)×a.

💡 Astuce mémo

Entrée x → fonction u → fonction v : on dérive v puis on multiplie par u′.