QCM : Dérivation et étude des fonctions — 16 questions

Question 1

1. Quel est le taux de variation de $f$ entre deux réels distincts $a$ et $x$ ?

\frac{f(x)-f(a)}{x+a}

\frac{f(a)-f(x)}{x-a}

\frac{f(x)+f(a)}{x+a}

\frac{f(x)-f(a)}{x-a}

Explication

Le taux de variation entre $a$ et $x$ compare la variation des images à la variation des antécédents, soit $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ . La valeur $f(a)$ intervient avec un signe négatif au numérateur et $a$ avec un signe négatif au dénominateur afin de respecter ces variations orientées.

Answer

$$\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$

Question 2

2. Quelle condition caractérise la dérivabilité de $f$ en $a$ ?

Le taux de variation prend une valeur constante pour toutes les valeurs de

x

.

La fonction possède une image positive dans un voisinage de

a

.

Le taux de variation tend vers un nombre réel lorsque

x

tend vers

a

.

Le taux de variation est défini pour au moins une valeur de

x

distincte de

a

.

Explication

La dérivabilité en $a$ signifie que le taux de variation admet une limite réelle lorsque $x$ tend vers $a$ ; cette limite est le nombre dérivé $f'(a)$ . Le simple fait que le taux de variation soit défini pour une valeur distincte ne garantit pas l’existence de cette limite.

Answer

Le taux de variation tend vers un nombre réel lorsque $$x$$ tend vers $$a$$.

Question 3

3. Pour calculer le nombre dérivé de $f$ en $a$ avec un accroissement $h$ , quelle expression utilise-t-on ?

f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a)-f(a-h)}{a}

f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)+f(a)}{h}

f'(a)=\lim_{h\to a}\frac{f(h)-f(a)}{h-a}

f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}

Explication

Le nombre dérivé en $a$ est la limite du quotient entre la variation de la fonction et l’accroissement $h$ lorsque $h$ tend vers zéro. La limite doit donc porter sur $h\to0$ et comparer $f(a+h)$ à $f(a)$ .

Answer

$$f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

Question 4

4. Si $f$ est dérivable en $a$ , quelle est la signification de $f'(a)$ pour la courbe représentative ?

Le coefficient directeur de la tangente au point $$(a;f(a))$.

L’abscisse du point où la courbe rencontre l’axe des ordonnées.

La valeur de la fonction au point de contact avec la tangente.

L’ordonnée du point de contact avec la tangente.

Explication

La dérivabilité en $a$ garantit l’existence d’une tangente au point $(a;f(a))$ , et son coefficient directeur vaut $f'(a)$ . En revanche, $f(a)$ représente l’ordonnée du point de contact, pas la pente de la tangente.

Answer

Le coefficient directeur de la tangente au point $$(a;f(a))$.

Question 5

5. Quelle équation représente la tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $a$ ?

y=f'(a)x+f(a)

y=f(a)x-f'(a)

y=f(a)(x-a)+f'(a)

y=f'(a)(x-a)+f(a)

Explication

L’équation de la tangente utilise la pente $f'(a)$ et impose le passage par le point $(a;f(a))$ , d’où $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ . L’expression $f'(a)x+f(a)$ ne passe généralement pas par le point de contact lorsque $a$ est non nul.

Answer

$$y=f'(a)(x-a)+f(a)$$

Question 6

6. Que désigne la fonction dérivée $f'$ lorsque $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ ?

La fonction qui associe à chaque

x\in I

l’image

f(x)

.

La fonction qui associe à chaque

x\in I

le nombre dérivé

f'(x)

.

La pente d’une seule tangente choisie sur la courbe de

f

.

La valeur du nombre dérivé calculée en un point fixe

a\in I

.

Explication

La fonction dérivée est définie par $f':x\mapsto f'(x)$ : elle fournit le nombre dérivé en chaque point de l’intervalle. Le nombre $f'(a)$ , lui, n’est qu’une valeur particulière de cette fonction en $a$ .

Answer

La fonction qui associe à chaque $$x\in I$$ le nombre dérivé $$f'(x)$$.

Question 7

7. Quelle affirmation concernant les dérivées usuelles est correcte ?

Pour

x>0

, la dérivée de

\sqrt{x}

est

\frac{1}{2\sqrt{x}}

.

La dérivée de

e^x

est

xe^{x-1}

.

La dérivée de

\frac{1}{x^n}

est

\frac{n}{x^{n+1}}

.

Pour

x\geq0

, la dérivée de

\sqrt{x}

est

\frac{1}{2\sqrt{x}}

.

Explication

Sur l’intervalle ouvert $]0;+\infty[$ , on a $\left(\sqrt{x}\right)'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ . La formule ne s’étend pas à $x=0$ , et la dérivée de $\frac{1}{x^n}$ comporte un signe négatif, tandis que celle de $e^x$ vaut $e^x$ .

Answer

Pour $$x>0$$, la dérivée de $$\sqrt{x}$$ est $$\frac{1}{2\sqrt{x}}$$.

Question 8

8. Quelle règle permet de dériver une somme de deux fonctions dérivables et le produit d’une fonction par une constante ?

(u+v)'=u'v+uv'

et

(ku)'=k'u'

(u+v)'=u-v

et

(ku)'=u+k

(u+v)'=u'v'

et

(ku)'=u'

(u+v)'=u'+v'

et

(ku)'=ku'

Explication

La dérivée est linéaire : elle transforme une somme en somme de dérivées et conserve le facteur constant. La règle du produit à deux termes concerne $uv$ , pas l’addition ni la multiplication par une constante.

Answer

$$ (u+v)'=u'+v'$$ et $$ (ku)'=ku'$$

Question 9

9. Si $u(x)=x^2$ et $v(x)=e^x$ , quelle expression donne correctement la dérivée de leur produit ?

x^2e^x

2xe^x+x^2e^x

2x+e^x

2xe^x

Explication

La règle du produit donne $(uv)'=u'v+uv'$ ; ici, elle conduit à $2xe^x+x^2e^x$ . Multiplier les deux dérivées ne tient pas compte des deux contributions distinctes du produit.

Answer

$$2xe^x+x^2e^x$$

Question 10

10. Pour $u(x)=x^2+1$ et $v(x)=x$ , quelle est la dérivée de $\dfrac{u}{v}$ pour $x\neq0$ ?

\dfrac{2x^2+1}{x^2}

\dfrac{x^2-1}{x^2}

\dfrac{1-x^2}{x^2}

\dfrac{x^2+1}{x^2}

Explication

La règle du quotient donne $\left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$ , soit $\frac{2x\cdot x-(x^2+1)}{x^2}=\frac{x^2-1}{x^2}$ . Additionner les termes du numérateur ou inverser leur ordre produit des expressions incorrectes.

Answer

$$\dfrac{x^2-1}{x^2}$$

Question 11

11. Que peut-on conclure si une fonction dérivable vérifie $f'(x)>0$ sauf en un nombre fini de valeurs sur un intervalle $I$ ?

La fonction possède un extremum local en chaque valeur exclue.

La fonction est strictement décroissante sur

I

.

La fonction est constante sur

I

.

La fonction est strictement croissante sur

I

.

Explication

Une dérivée positive, avec au plus un nombre fini d’annulations, entraîne que la fonction est strictement croissante sur l’intervalle. Une fonction constante correspond plutôt à une dérivée nulle partout sur cet intervalle.

Answer

La fonction est strictement croissante sur $$I$$.

Question 12

12. Que permet de conclure le changement de signe de $f'$ en $x_0$ ?

La fonction possède une dérivée nulle sur tout son domaine.

La fonction admet un extremum local en

x_0

.

La fonction est constante sur tout intervalle contenant

x_0

.

La fonction est dérivable à chaque point de son domaine.

Explication

Lorsque la dérivée s’annule en changeant de signe en $x_0$ , les variations de la fonction changent de sens, ce qui caractérise un extremum local. Cette propriété ne signifie pas que la dérivée est nulle partout ni que la fonction est constante.

Answer

La fonction admet un extremum local en $$x_0$$.

Question 13

13. Si $u(x)=x^2+1$ et $v(t)=\sqrt{t}$ , comment s’écrit la composée de $u$ suivie de $v$ ?

(v\circ u)(x)=\left(\sqrt{x}\right)^2+1

(v\circ u)(x)=x^2+1

(v\circ u)(x)=\sqrt{x^2+1}

(v\circ u)(x)=\sqrt{x^2}+1

Explication

Dans $v\circ u$ , on applique d’abord $u$ , puis $v$ , donc $v(u(x))=\sqrt{x^2+1}$ . L’ordre inverse, représenté par $u\circ v$ , appliquerait d’abord la racine carrée.

Answer

$$(v\circ u)(x)=\sqrt{x^2+1}$$

Question 14

14. Si $u(x)=x^2+1$ et $v(t)=t^3$ , quelle est la dérivée de $v\circ u$ ?

2x(x^2+1)^3

3(x^2+1)^2

6x^2(x^2+1)^2

6x(x^2+1)^2

Explication

La règle de chaîne donne $(v\circ u)'=v'(u)\times u'$ ; ainsi, $3(x^2+1)^2\times2x=6x(x^2+1)^2$ . Omettre le facteur $u'(x)$ revient à dériver la fonction extérieure sans tenir compte de la variation de l’expression intérieure.

Answer

$$6x(x^2+1)^2$$

Question 15

15. Dans l’expression $(v\circ u)'(x)=v'(u(x))\times u'(x)$ , où chaque dérivée est-elle évaluée ?

Les deux dérivées sont évaluées en

u(x)

.

v'

est évaluée en

x

et

u'

en

u(x)

.

Les deux dérivées sont évaluées en

x

.

v'

est évaluée en

u(x)

et

u'

en

x

.

Explication

La dérivée de la fonction extérieure $v$ doit être calculée à la valeur fournie par la fonction intérieure, soit $u(x)$ , tandis que $u'$ est calculée directement au point $x$ . Évaluer $v'$ en $x$ confond les rôles des deux fonctions.

Answer

$$v'$$ est évaluée en $$u(x)$$ et $$u'$$ en $$x$$.

Question 16

16. Pour une fonction dérivable $u$ , quelle formule donne la dérivée de $\sqrt{u(x)}$ lorsque la racine est définie et que $u(x)>0$ ?

\dfrac{1}{2}u(x)u'(x)

\dfrac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}

\dfrac{u'(x)}{\sqrt{u(x)}}

2\sqrt{u(x)}\,u'(x)

Explication

La formule de composition pour la racine carrée est $(\sqrt{u})'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}$ . Le facteur $2\sqrt{u}$ apparaît au dénominateur, car il provient de la dérivée de la fonction extérieure $\sqrt{t}$ .

Answer

$$\dfrac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}$$

QCM : Dérivation et étude des fonctions — 16 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quel est le taux de variation de $f$ entre deux réels distincts $a$ et $x$ ?

2. Quelle condition caractérise la dérivabilité de $f$ en $a$ ?

3. Pour calculer le nombre dérivé de $f$ en $a$ avec un accroissement $h$ , quelle expression utilise-t-on ?

4. Si $f$ est dérivable en $a$ , quelle est la signification de $f'(a)$ pour la courbe représentative ?

5. Quelle équation représente la tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $a$ ?

6. Que désigne la fonction dérivée $f'$ lorsque $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ ?

7. Quelle affirmation concernant les dérivées usuelles est correcte ?

8. Quelle règle permet de dériver une somme de deux fonctions dérivables et le produit d’une fonction par une constante ?

9. Si $u(x)=x^2$ et $v(x)=e^x$ , quelle expression donne correctement la dérivée de leur produit ?

10. Pour $u(x)=x^2+1$ et $v(x)=x$ , quelle est la dérivée de $\dfrac{u}{v}$ pour $x\neq0$ ?

11. Que peut-on conclure si une fonction dérivable vérifie $f'(x)>0$ sauf en un nombre fini de valeurs sur un intervalle $I$ ?

12. Que permet de conclure le changement de signe de $f'$ en $x_0$ ?

13. Si $u(x)=x^2+1$ et $v(t)=\sqrt{t}$ , comment s’écrit la composée de $u$ suivie de $v$ ?

14. Si $u(x)=x^2+1$ et $v(t)=t^3$ , quelle est la dérivée de $v\circ u$ ?

15. Dans l’expression $(v\circ u)'(x)=v'(u(x))\times u'(x)$ , où chaque dérivée est-elle évaluée ?

16. Pour une fonction dérivable $u$ , quelle formule donne la dérivée de $\sqrt{u(x)}$ lorsque la racine est définie et que $u(x)>0$ ?

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QCM : Dérivation et étude des fonctions — 16 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quel est le taux de variation de fff entre deux réels distincts aaa et xxx ?

2. Quelle condition caractérise la dérivabilité de fff en aaa ?

3. Pour calculer le nombre dérivé de fff en aaa avec un accroissement hhh, quelle expression utilise-t-on ?

4. Si fff est dérivable en aaa, quelle est la signification de f′(a)f'(a)f′(a) pour la courbe représentative ?

5. Quelle équation représente la tangente à la courbe de fff au point d’abscisse aaa ?

6. Que désigne la fonction dérivée f′f'f′ lorsque fff est dérivable sur un intervalle III ?

7. Quelle affirmation concernant les dérivées usuelles est correcte ?

8. Quelle règle permet de dériver une somme de deux fonctions dérivables et le produit d’une fonction par une constante ?

9. Si u(x)=x2u(x)=x^2u(x)=x2 et v(x)=exv(x)=e^xv(x)=ex, quelle expression donne correctement la dérivée de leur produit ?

10. Pour u(x)=x2+1u(x)=x^2+1u(x)=x2+1 et v(x)=xv(x)=xv(x)=x, quelle est la dérivée de uv\dfrac{u}{v}vu​ pour x≠0x\neq0x=0 ?

11. Que peut-on conclure si une fonction dérivable vérifie f′(x)>0f'(x)>0f′(x)>0 sauf en un nombre fini de valeurs sur un intervalle III ?

12. Que permet de conclure le changement de signe de f′f'f′ en x0x_0x0​ ?

13. Si u(x)=x2+1u(x)=x^2+1u(x)=x2+1 et v(t)=tv(t)=\sqrt{t}v(t)=t​, comment s’écrit la composée de uuu suivie de vvv ?

14. Si u(x)=x2+1u(x)=x^2+1u(x)=x2+1 et v(t)=t3v(t)=t^3v(t)=t3, quelle est la dérivée de v∘uv\circ uv∘u ?

15. Dans l’expression (v∘u)′(x)=v′(u(x))×u′(x) (v\circ u)'(x)=v'(u(x))\times u'(x)(v∘u)′(x)=v′(u(x))×u′(x), où chaque dérivée est-elle évaluée ?

16. Pour une fonction dérivable uuu, quelle formule donne la dérivée de u(x)\sqrt{u(x)}u(x)​ lorsque la racine est définie et que u(x)>0u(x)>0u(x)>0 ?

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Crée tes propres QCM

1. Quel est le taux de variation de $f$ entre deux réels distincts $a$ et $x$ ?

2. Quelle condition caractérise la dérivabilité de $f$ en $a$ ?

3. Pour calculer le nombre dérivé de $f$ en $a$ avec un accroissement $h$ , quelle expression utilise-t-on ?

4. Si $f$ est dérivable en $a$ , quelle est la signification de $f'(a)$ pour la courbe représentative ?

5. Quelle équation représente la tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $a$ ?

6. Que désigne la fonction dérivée $f'$ lorsque $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ ?

9. Si $u(x)=x^2$ et $v(x)=e^x$ , quelle expression donne correctement la dérivée de leur produit ?

10. Pour $u(x)=x^2+1$ et $v(x)=x$ , quelle est la dérivée de $\dfrac{u}{v}$ pour $x\neq0$ ?

11. Que peut-on conclure si une fonction dérivable vérifie $f'(x)>0$ sauf en un nombre fini de valeurs sur un intervalle $I$ ?

12. Que permet de conclure le changement de signe de $f'$ en $x_0$ ?

13. Si $u(x)=x^2+1$ et $v(t)=\sqrt{t}$ , comment s’écrit la composée de $u$ suivie de $v$ ?

14. Si $u(x)=x^2+1$ et $v(t)=t^3$ , quelle est la dérivée de $v\circ u$ ?

15. Dans l’expression $(v\circ u)'(x)=v'(u(x))\times u'(x)$ , où chaque dérivée est-elle évaluée ?

16. Pour une fonction dérivable $u$ , quelle formule donne la dérivée de $\sqrt{u(x)}$ lorsque la racine est définie et que $u(x)>0$ ?