Fiche de révision : Dérivation et études de fonctions

📋 Plan du Cours

1. Nombre dérivé et dérivabilité
2. Fonction dérivée et tangente
3. Formules usuelles de dérivation
4. Dérivation de fonctions composées
5. Domaines et calculs de dérivées
6. Variations et dérivée seconde

📖 1. Nombre dérivé et dérivabilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre dérivé : La limite $\lim_{h\to 0}\frac{f(x₀+h)-f(x₀)}{h}=A$, lorsque cette limite existe.
• Fonction dérivable : Lorsqu’elle admet un nombre dérivé en x₀.

💡 Astuce mémo

Le quotient différentiel tend vers A → f est dérivable en x₀

📖 2. Fonction dérivée et tangente

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction dérivée : Associe à chaque point x₀ d’un intervalle le nombre dérivé de f en x₀.

📝 Points essentiels

• Si f est dérivable en x₀, la courbe représentative C de f admet au point M(x₀; f(x₀)) une tangente de coefficient directeur f'(x₀).

📐 Formule — Une équation de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse x₀ est $y=f'(x₀)(x-x₀)+f(x₀)$.

💡 Astuce mémo

La courbe touche sa tangente au point M, dont la pente est f'(x₀)

📖 3. Formules usuelles de dérivation

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour les fonctions usuelles, on a : $\left(x^n\right)'=nx^{n-1}$, $\left(\frac{1}{x}\right)'=-\frac{1}{x^2}$, $\left(\frac{1}{x^n}\right)'=-\frac{n}{x^{n+1}}$, $\left(\sqrt{x}\right)'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$, $\left(\sin x\right)'=\cos x$, $\left(\cos x\right)'=-\sin x$ et $\left(e^x\right)'=e^x$.

📐 Formule — Les règles algébriques fondamentales sont $(u+v)'=u'+v'$, $(\lambda u)'=\lambda u'$, $(uv)'=u'v+uv'$, $\left(\frac{1}{v}\right)'=-\frac{v'}{v^2}$ et $\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$.

💡 Astuce mémo

SPIPQPRE : somme, scalaire, produit, inverse, puissance, quotient, racine, exponentielle

📖 4. Dérivation de fonctions composées

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour une puissance composée et une racine composée, on a $\left(u^n\right)'=nu'u^{n-1}$ et $\left(\sqrt{u}\right)'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}$.

📐 Formule — Pour une exponentielle composée, on a $\left(e^u\right)'=u'e^u$.

💡 Astuce mémo

Identifier u et v → appliquer la règle → simplifier

📖 5. Domaines et calculs de dérivées

★ À maîtriser

📌 Pour une fonction rationnelle, les valeurs qui annulent le dénominateur sont exclues du domaine de définition et du domaine de dérivabilité.

Compléments

• Pour $f_1(x)=4x^3-5x^2+3x-1$ définie sur ℝ, la dérivée est $f_1'(x)=12x^2-10x+3$.

• Pour $f_3(x)=\frac{-4x+1}{3x-5}$, la valeur interdite est $x=\frac{5}{3}$ et la dérivée est $f_3'(x)=\frac{17}{(3x-5)^2}$.

💡 Astuce mémo

Domaine de définition ≠ domaine de dérivabilité : les valeurs interdites doivent être exclues

📖 6. Variations et dérivée seconde

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée seconde : La dérivée de la fonction dérivée f'.

📝 Points essentiels

📌 Sur un intervalle où f'(x)>0, f est croissante, et sur un intervalle où f'(x)<0, f est décroissante.

• Pour $h(x)=\frac{-3x+7}{5x+6}$ sur I=[-1;10], on a $h'(x)=\frac{-53}{(5x+6)^2}<0$, donc h est strictement décroissante sur I.

• Pour étudier les variations d’une fonction, on détermine sa dérivée, on étudie le signe de cette dérivée, puis on en déduit les variations de la fonction.

💡 Astuce mémo

Signe de f' → variations de f ; annulation de f'' → changement de vitesse possible

📊 Tableaux de synthèse

Signe de la dérivée et variations