Fiche de révision : Suites numériques : variations et limites

📋 Plan du Cours

1. Définition et représentation des suites
2. Calcul des termes d’une suite
3. Variations des suites explicites
4. Variations des suites récurrentes
5. Limites et convergence
6. Transformations et indices
7. Conjectures par calculatrice

📖 1. Définition et représentation des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite définie explicitement : Donnée directement en fonction de n, comme $u_n=\frac{2n}{n+2}$ ou $u_n=3(n+2)^2-1$.
• Suite définie par récurrence : Donnée par un terme initial et une relation exprimant u_{n+1} à partir de u_n, comme $u_0=-3$ et $u_{n+1}=0{,}75u_n+0{,}5$.

📝 Points essentiels

• Le terme initial d’une suite définie sur N est u_0, tandis que le premier terme demandé peut être u_1 selon la convention de l’exercice.

💡 Astuce mémo

Formule explicite : n donne directement u_n ; récurrence : u_n dépend du terme précédent.

📖 2. Calcul des termes d’une suite

★ À maîtriser

• Pour calculer les termes d’une suite explicite, on remplace le rang n par la valeur recherchée dans l’expression de u_n.

• Pour calculer les termes d’une suite récurrente, on part du terme initial puis on applique successivement la relation de récurrence.

Compléments

• Pour la suite définie par $u_0=7$ et $u_{n+1}=3u_n+n-2$, les trois premiers termes se calculent à partir de u_0 puis de la relation donnée.

• Pour la suite $u_n=3(n+2)^2-1$, les valeurs demandées sont u_0, u_1 et u_{2019}, obtenues en remplaçant n par 0, 1 et 2019.

💡 Astuce mémo

Terme initial → termes successifs → terme de rang demandé.

📖 3. Variations des suites explicites

★ À maîtriser

• Pour étudier les variations d’une suite explicite, on calcule la différence $u_{n+1}-u_n$ puis on étudie son signe.

• Pour la suite $u_n=0{,}5n^2-1$, il faut exprimer $u_{n+1}$ en fonction de n, puis $u_{n+1}-u_n$, afin de démontrer le sens de variation conjecturé.

Compléments

• Pour la suite $u_n=\frac{2}{n}$ définie pour n>0, l’étude des variations reprend le calcul de u_{n+1} et de la différence entre deux termes consécutifs.

💡 Astuce mémo

Signe de u_{n+1}-u_n → sens de variation.

📖 4. Variations des suites récurrentes

★ À maîtriser

• Pour une suite définie par récurrence, la comparaison de u_{n+1} et u_n peut se faire en étudiant le signe de $u_{n+1}-u_n$.

• Pour la suite $u_0=5$ et $u_{n+1}=u_n-\frac{1}{n+1}$, l’étude des variations repose sur la comparaison de chaque terme au précédent.

Compléments

• Pour la suite strictement positive $u_0=2$ et $u_{n+1}=\frac{n+4}{2n+1}u_n$, il faut rechercher puis démontrer un éventuel caractère monotone à partir d’un certain rang.

• Les suites récurrentes étudiées comprennent notamment $w_0=5,\ w_{n+1}=0{,}8w_n$ et $t_0=1,\ t_{n+1}=-\frac{2}{3}t_n+4$.

💡 Astuce mémo

Relation de récurrence → comparaison de deux termes consécutifs → monotonie.

📖 5. Limites et convergence

★ À maîtriser

📌 Une suite converge lorsqu’elle admet une limite finie, tandis qu’une suite dont la limite vaut +∞ ne converge pas au sens usuel.

📌 Une suite croissante ne vérifie pas nécessairement une limite égale à +∞, car elle peut converger vers une valeur finie.

• Pour $u_0=a$ et $u_{n+1}=(u_n)^3$, les comportements à conjecturer sont testés pour a=-1,5, a=-1, a=-0,5 et a=1,5.

Compléments

• Les limites à conjecturer par calculatrice concernent les suites $u_n=1-5n^2$, $u_n=\frac{-3n^2}{n^2+10}$ et $u_n=n^3-n$.

💡 Astuce mémo

Convergence vers une valeur finie ≠ divergence vers +∞.

📖 6. Transformations et indices

★ À maîtriser

• Les expressions d’indices comme u_{n+1}, u_{n-1}, u_{2n} et u_{3n-1} s’obtiennent en remplaçant l’indice n par l’expression correspondante dans la formule de u_n.

Compléments

• Pour $u_n=3n^2-n+2$, les expressions demandées incluent u_{n+1}, u_n+1, u_{n-1}, u_n-1, u_{2n} et u_{3n-1}.

📐 Formule — Dans la récurrence $v_{n+1}=2v_n-3n$, on peut obtenir $v_n=2v_{n-1}-3(n-1)$ en décalant l’indice d’une unité.

📖 7. Conjectures par calculatrice

★ À maîtriser

• La calculatrice sert à afficher un tableau de valeurs afin d’observer les premiers termes et de conjecturer les variations ou une limite éventuelle.

• Pour les suites $u_n=n+\frac{1}{n+1}$, $v_n=4^{2n}$, $w_n=3+0{,}5^n$, $t_n=\frac{n}{3^n}$ et $k_n=\frac{5}{n^3}-4$ pour n≥1, il faut conjecturer puis démontrer le sens de variation.

Compléments

• Les représentations graphiques des suites $u_n=\frac{5(-1)^n}{n+1}$, $v_n=\frac14n^2-2n-1$, $w_{n+1}=0{,}8w_n$ et $t_{n+1}=-\frac23t_n+4$ doivent être associées aux expressions correspondantes.