QCM : Suites numériques : variations et limites — 15 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle expression caractérise une suite définie explicitement ?

Un terme calculé à partir du terme précédent, comme un+1=0,75un+0,5u_{n+1}=0,75u_n+0,5
Un terme initial accompagné d’une représentation graphique des rangs
Un terme donné directement en fonction de son rang, comme un=2nn+2u_n=\frac{2n}{n+2}
Une différence entre deux termes consécutifs étudiée selon son signe

Un terme donné directement en fonction de son rang, comme $$u_n=\frac{2n}{n+2}$$

Explication

Une définition explicite fournit directement unu_n en fonction de nn, ce qui permet de calculer un terme sans connaître le précédent. La relation faisant intervenir unu_n pour obtenir un+1u_{n+1} décrit une définition par récurrence.

2. Laquelle de ces données définit une suite par récurrence ?

u0=−3u_0=-3 et un+1=0,75un+0,5u_{n+1}=0,75u_n+0,5
un+1−un=2n+1u_{n+1}-u_n=2n+1 sans terme initial
un=2nn+2u_n=\frac{2n}{n+2} pour tout entier naturel
un=3(n+2)2−1u_n=3(n+2)^2-1 pour tout rang admissible

$$u_0=-3$$ et $$u_{n+1}=0,75u_n+0,5$$

Explication

Une suite récurrente nécessite un terme initial et une relation qui permet d’obtenir le terme suivant à partir du précédent. Une expression directe en fonction de nn relève au contraire d’une définition explicite.

3. Comment calcule-t-on un terme d’une suite définie explicitement par un=3(n+2)2−1u_n=3(n+2)^2-1 ?

On utilise le signe de unu_n pour obtenir le terme suivant
On compare un+1u_{n+1} et unu_n pour déterminer leur écart
On remplace nn par le rang recherché dans l’expression donnée
On part de u0u_0 et on applique la relation plusieurs fois

On remplace $$n$$ par le rang recherché dans l’expression donnée

Explication

Pour une suite explicite, le rang recherché est substitué directement à nn dans la formule de unu_n. Le calcul à partir d’un terme précédent correspond à une suite définie par récurrence.

4. Pour calculer les premiers termes d’une suite définie par u0=7u_0=7 et un+1=3un+n−2u_{n+1}=3u_n+n-2, quelle démarche faut-il suivre ?

Partir de u0u_0 puis appliquer successivement la relation de récurrence
Calculer d’abord le signe de un+1−unu_{n+1}-u_n pour chaque rang
Déduire les termes à partir de la seule valeur du rang considéré
Remplacer directement chaque rang dans une formule explicite de unu_n

Partir de $$u_0$$ puis appliquer successivement la relation de récurrence

Explication

Une suite récurrente se calcule en utilisant le terme initial, puis en appliquant la relation pour obtenir chaque terme suivant. Une formule explicite permettrait une substitution directe, mais elle n’est pas fournie ici.

5. Quelle méthode permet d’étudier les variations d’une suite explicite ?

Observer si les valeurs de unu_n sont positives ou négatives
Étudier la valeur de unu_n sans former le terme de rang suivant
Calculer un+1−unu_{n+1}-u_n puis étudier le signe de cette différence
Comparer la suite à son terme initial sans calculer les termes suivants

Calculer $$u_{n+1}-u_n$$ puis étudier le signe de cette différence

Explication

Le signe de un+1−unu_{n+1}-u_n indique si les termes consécutifs augmentent, diminuent ou restent constants. La valeur isolée de unu_n ne suffit pas à déterminer le sens de variation.

6. Pour étudier les variations de la suite un=0,5n2−1u_n=0,5n^2-1, quelle expression doit-on notamment calculer ?

Le produit unun+1u_nu_{n+1} afin de déterminer le signe des termes
La valeur de unu_n au rang zéro sans examiner les rangs suivants
Le quotient unn\frac{u_n}{n} après avoir supprimé le terme constant
La différence un+1−unu_{n+1}-u_n après avoir exprimé un+1u_{n+1} en fonction de nn

La différence $$u_{n+1}-u_n$$ après avoir exprimé $$u_{n+1}$$ en fonction de $$n$$

Explication

L’étude des variations repose sur l’expression de un+1u_{n+1}, puis sur le calcul et l’analyse du signe de un+1−unu_{n+1}-u_n. Le quotient ou le produit des termes ne constitue pas le critère demandé pour cette méthode.

7. Pour étudier la monotonie d’une suite définie par récurrence, quelle comparaison faut-il examiner ?

La différence entre unu_n et son indice
La valeur de la limite de unu_n
Le signe de un+1+unu_{n+1}+u_n
Le signe de un+1−unu_{n+1}-u_n

Le signe de $$u_{n+1}-u_n$$

Explication

Le signe de un+1−unu_{n+1}-u_n indique si chaque terme est supérieur ou inférieur au précédent, ce qui permet d’étudier les variations. La limite décrit le comportement à l’infini et ne constitue pas directement le critère de monotonie.

8. Pour la suite définie par u0=5u_0=5 et un+1=un−1n+1u_{n+1}=u_n-\frac{1}{n+1}, quelle démarche permet d’étudier ses variations ?

Remplacer unu_n par une fonction explicite de nn
Calculer directement une limite sans comparer les termes
Comparer chaque terme à son indice
Comparer chaque terme au terme qui le précède

Comparer chaque terme au terme qui le précède

Explication

La relation de récurrence fournit chaque terme à partir du précédent, donc l’étude des variations repose sur la comparaison de un+1u_{n+1} avec unu_n. Une suite récurrente ne se traite pas d’emblée comme une suite donnée sous la forme explicite un=f(n)u_n=f(n).

9. Quelle affirmation distingue correctement convergence et divergence vers l’infini pour une suite ?

Une suite converge si sa limite vaut +∞+\infty
Une suite converge dès qu’elle est croissante
Une suite converge lorsque ses termes deviennent positifs
Une suite converge si elle admet une limite finie

Une suite converge si elle admet une limite finie

Explication

Au sens usuel, la convergence signifie que la suite admet une limite réelle finie. Une limite égale à +∞+\infty décrit une divergence vers l’infini, et non une convergence.

10. Une suite croissante peut-elle converger vers une valeur finie ?

Oui, si elle est majorée et se rapproche d’une valeur réelle
Oui, mais seulement si ses termes deviennent négatifs
Non, car la croissance impose une limite infinie
Non, car toute suite croissante tend vers +∞+\infty

Oui, si elle est majorée et se rapproche d’une valeur réelle

Explication

Une suite croissante peut avoir une limite finie lorsqu’elle reste majorée, par exemple en se rapprochant progressivement d’un réel. La croissance seule ne suffit donc pas à conclure que la limite vaut +∞+\infty.

11. Pour quelles valeurs initiales faut-il tester les comportements de la suite définie par u0=au_0=a et un+1=(un)3u_{n+1}=(u_n)^3 ?

a=−2a=-2, a=0a=0, a=1a=1 et a=2a=2
a=−1,5a=-1,5, a=−1a=-1, a=−0,5a=-0,5 et a=1,5a=1,5
a=−1,5a=-1,5, a=−0,5a=-0,5, a=0,5a=0,5 et a=1,5a=1,5
a=−3a=-3, a=−1a=-1, a=1a=1 et a=3a=3

$$a=-1,5$$, $$a=-1$$, $$a=-0,5$$ et $$a=1,5$$

Explication

Ces quatre valeurs initiales permettent de conjecturer des comportements distincts pour la récurrence cubique, notamment autour de −1-1 et de 11. Les autres ensembles proposés ne correspondent pas aux valeurs à tester dans cette étude.

12. Comment obtient-on l’expression un−1u_{n-1} à partir d’une formule générale de unu_n ?

En ajoutant 11 à la valeur de unu_n
En remplaçant chaque occurrence de nn par n+1n+1
En divisant la formule de unu_n par n−1n-1
En remplaçant chaque occurrence de nn par n−1n-1

En remplaçant chaque occurrence de $$n$$ par $$n-1$$

Explication

Le terme un−1u_{n-1} s’obtient en décalant l’indice de la formule et en substituant n−1n-1 à nn. Ajouter 11 à la valeur du terme correspond à un+1u_n+1, qui est différent d’un changement d’indice.

13. Pour la suite définie par vn+1=2vn−3nv_{n+1}=2v_n-3n, quelle relation obtient-on en décalant l’indice d’une unité ?

vn−1=2vn−3(n−1)v_{n-1}=2v_n-3(n-1)
vn=2vn−1−3nv_n=2v_{n-1}-3n
vn=2vn−1−3(n−1)v_n=2v_{n-1}-3(n-1)
vn=2vn+1−3(n+1)v_n=2v_{n+1}-3(n+1)

$$v_n=2v_{n-1}-3(n-1)$$

Explication

Le décalage consiste à remplacer nn par n−1n-1 dans toute la relation, ce qui donne vn=2vn−1−3(n−1)v_n=2v_{n-1}-3(n-1). Conserver nn dans le dernier terme ou modifier le membre de gauche d’une autre façon ne réalise pas ce décalage cohérent.

14. Quel rôle joue principalement une calculatrice dans l’étude des premiers termes d’une suite ?

Établir une preuve algébrique complète du comportement de la suite étudiée
Remplacer l’expression de la suite par une représentation graphique toujours exacte
Calculer directement la limite dès que quelques termes successifs sont connus
Afficher un tableau de valeurs pour formuler une conjecture sur les variations ou une limite éventuelle

Afficher un tableau de valeurs pour formuler une conjecture sur les variations ou une limite éventuelle

Explication

Un tableau de valeurs permet d’observer les premiers termes et d’émettre une conjecture sur les variations ou une limite possible. Cette observation ne constitue pas une preuve algébrique, car elle ne vérifie pas le comportement de tous les indices.

15. Pour les suites un=n+1n+1u_n=n+\frac{1}{n+1}, vn=42nv_n=4^{2n}, wn=3+0,5nw_n=3+0,5^n, tn=n3nt_n=\frac{n}{3^n} et kn=5n3−4k_n=\frac{5}{n^3}-4, quelle démarche permet de déterminer rigoureusement leur sens de variation ?

Comparer quelques valeurs numériques et retenir la tendance qui paraît la plus régulière
Tracer les représentations graphiques et déduire le sens de variation de leur allure
Calculer une limite éventuelle et en déduire directement le sens de variation
Observer les premiers termes, puis démontrer la conjecture par un raisonnement mathématique

Observer les premiers termes, puis démontrer la conjecture par un raisonnement mathématique

Explication

Le tableau de valeurs aide à conjecturer le sens de variation, mais une démonstration repose ensuite sur un raisonnement mathématique rigoureux. Une limite ou une allure graphique peut apporter des indications, sans suffire à établir les variations de la suite.

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Qu'est-ce qu'une suite définie explicitement ?

Une suite dont u_n est donné directement en fonction de n.

Donnez un exemple de suite définie explicitement.

un=2nn+2u_n=\frac{2n}{n+2} ou un=3(n+2)2−1u_n=3(n+2)^2-1.

Qu'est-ce qu'une suite définie par récurrence ?

Une suite avec un terme initial et une relation exprimant un+1u_{n+1} en fonction de u_n.

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