Fiche de révision : Dérivation et fonction exponentielle

📋 Plan du Cours

1. Dérivées usuelles
2. Opérations et composition
3. Taux de variation et dérivabilité
4. Tangente et variations
5. Dérivation des fonctions composées
6. Définition de l’exponentielle
7. Propriétés et étude de exp

📖 1. Dérivées usuelles

📝 Points essentiels

📐 Formule — La dérivée d’une fonction constante f(x)=k est $f'(x)=0$ sur $\mathbb{R}$.

📐 Formule — Les dérivées usuelles sont $\left(\frac{1}{x}\right)'=-\frac{1}{x^2}$ sur $\mathbb{R}^*$, $\left(x^n\right)'=n x^{n-1}$ pour $n\in\mathbb{Z}^*$, $\left(\sqrt{x}\right)'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ sur $]0;+\infty[$, $\left(e^x\right)'=e^x$, $\left(\cos x\right)'=-\sin x$ et $\left(\sin x\right)'=\cos x$.

📖 2. Opérations et composition

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour deux fonctions dérivables u et v, $(u+v)'=u'+v'$ et $(a u)'=a u'$ pour tout réel a.

📐 Formule — Pour deux fonctions dérivables u et v, $(uv)'=u'v+uv'$, $\left(\frac{1}{v}\right)'=-\frac{v'}{v^2}$ si v ne s’annule pas, et $\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$ si v ne s’annule pas.

💡 Astuce mémo

Somme → produit → inverse → quotient → composition affine

📖 3. Taux de variation et dérivabilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux de variation : Le taux de variation de f en a est $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$, où f est définie sur un intervalle I et a appartient à I.
• Dérivabilité : Une fonction f est dérivable en a si et seulement si la limite $\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ existe et est finie, auquel cas elle vaut f'(a).

💡 Astuce mémo

Taux de variation : intervalle fini ; nombre dérivé : limite en un point

📖 4. Tangente et variations

🔑 Notions clés & Définitions

• Maximum : f atteint un maximum en x₀ sur I si, pour tout x∈I, $f(x)\le f(x_0)$.
• Minimum : f atteint un minimum en x₀ sur I si, pour tout x∈I, $f(x)\ge f(x_0)$.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La tangente à la courbe de f au point $A(a;f(a))$ a pour équation $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.

📌 Si f'(x)≤0 sur D, alors f est décroissante sur D ; si f'(x)≥0 sur D, alors f est croissante sur D ; si f'(x)=0 sur D, alors f est constante sur D.

💡 Astuce mémo

Signe de la dérivée → sens de variation → extrema éventuels

📖 5. Dérivation des fonctions composées

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour une fonction dérivable u et un entier n∈Z*, la dérivée de $u^n$ est $\left(u^n\right)'=n u' u^{n-1}$.

📌 Si n>0, la fonction $u^n$ est dérivable sur I ; si n<0, elle est dérivable sur I seulement lorsque u(x)≠0 pour tout x∈I.

📖 6. Définition de l’exponentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction exponentielle : La fonction exponentielle est l’unique fonction f définie et dérivable sur R telle que, pour tout réel x, f'(x)=f(x) et f(0)=1.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour tous réels x et y, $e^{x+y}=e^x e^y$.

• Pour tout réel x, e^x est strictement positif et ne s’annule jamais.

💡 Astuce mémo

Condition y′ = y et y(0) = 1 → fonction exponentielle unique

📖 7. Propriétés et étude de exp

🔑 Notions clés & Définitions

• Logarithme népérien : Le logarithme népérien est l’unique fonction réciproque de l’exponentielle, définie et dérivable sur ]0;+∞[, telle que $\ln(e^x)=x$ et $e^{\ln(x)}=x$ pour x>0.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour tous réels x et y, $e^{-x}=\frac{1}{e^x}$, $\frac{e^x}{e^y}=e^{x-y}$ et, pour tout n∈Z, $(e^x)^n=e^{nx}$.

📐 Formule — Les limites fondamentales sont $\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty$ et $\lim_{x\to-\infty}e^x=0$.

📌 La fonction x↦e^x est strictement croissante sur R ; ainsi, $e^a=e^b\Leftrightarrow a=b$ et $e^a\ge e^b\Leftrightarrow a\ge b$.

Compléments

📐 Formule — Pour tout x>0, la dérivée du logarithme népérien est $\ln'(x)=\frac{1}{x}$.

📐 Formule — En posant e=exp(1), on obtient exp(x)=e^x pour tout réel x, avec $e=2{,}7182818284590452353602874713527$.

💡 Astuce mémo

Exponentielle croissante : comparer les exposants revient à comparer les valeurs

📊 Tableaux de synthèse

Dérivée et domaine des fonctions usuelles