Fiche de révision : Dérivation et fonctions trigonométriques

📋 Plan du Cours

1. Règle de la chaîne
2. Composées usuelles à dériver
3. Applications aux variations
4. Définitions et symétries trigonométriques
5. Dérivées et variations fondamentales
6. Angles associés et sinusoïdes

📖 1. Règle de la chaîne

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction composée : Définie sur J par f(x)=g(u(x)), lorsque u(J) est inclus dans l’intervalle de définition I de g.

★ À maîtriser

📐 Formule — Si g est dérivable sur I et u est dérivable sur J, alors la composée f=g∘u est dérivable sur J et vérifie $f'(x)=u'(x)\,g'(u(x))$.

Compléments

• Pour f(x)=√(x²−3x+4), la dérivée indiquée dans le cours est $f'(x)=\frac{2x-3}{2\sqrt{x^2-3x+4}}$.

💡 Astuce mémo

Fonction extérieure g, fonction intérieure u, puis dérivée u'·g'(u).

📖 2. Composées usuelles à dériver

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour f(x)=u(x)^n, avec u dérivable et strictement positive, on a $f'(x)=n\,u'(x)\,u(x)^{n-1}$.

📐 Formule — Pour f(x)=√u(x), la dérivée est $f'(x)=\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}$ lorsque les conditions d’existence indiquées sont satisfaites.

📐 Formule — Pour f(x)=1/u(x), avec u dérivable et ne s’annulant pas, on a $f'(x)=-\frac{u'(x)}{u(x)^2}$.

📐 Formule — Pour f(x)=cos(u(x)), on a $f'(x)=-u'(x)\sin(u(x))$, tandis que pour f(x)=sin(u(x)), on a $f'(x)=u'(x)\cos(u(x))$.

Compléments

📐 Formule — Pour f(x)=e^{u(x)}, avec u dérivable, on a $f'(x)=u'(x)e^{u(x)}$.

📖 3. Applications aux variations

★ À maîtriser

• 🔄 L’étude des variations suit trois étapes:
  1. calculer la dérivée sur l’intervalle considéré
  2. étudier le signe de la dérivée
  3. déduire les variations et comparer les fonctions

Compléments

• Le cours propose d’étudier les variations de f(x)=1/x+x/4 sur ]0;+∞[, de f(x)=x/(x²+1) sur R, de f(x)=x²−x+4 sur R et de f(x)=2/(x²+4) sur R.

💡 Astuce mémo

Dériver → étudier le signe → dresser les variations → comparer les fonctions.

📖 4. Définitions et symétries trigonométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction sinus : Associe à tout réel x le nombre sin(x) et est définie sur R.
• Fonction cosinus : Associe à tout réel x le nombre cos(x) et est définie sur R.

📝 Points essentiels

• Pour tout réel x, cos(x+2π)=cos(x) et sin(x+2π)=sin(x), donc les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période 2π.

📌 Pour tout réel x, cos(−x)=cos(x) et sin(−x)=−sin(x) ; le cosinus est donc pair et le sinus est impair.

💡 Astuce mémo

Cosinus pair autour de l’axe des ordonnées, sinus impair autour de l’origine.

📖 5. Dérivées et variations fondamentales

★ À maîtriser

📐 Formule — Sur R, les dérivées fondamentales sont $\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x$ et $\frac{d}{dx}\sin x=\cos x$.

• Sur [0;π], cos(x) décroît de 1 vers −1.

• Sur [−π/2;π/2], sin(x) croît de −1 vers 1.

Compléments

• Pour les angles usuels 0, π/6, π/4, π/3 et π/2, les valeurs de sin(x) sont respectivement 0, 1/2, √2/2, √3/2 et 1.

📖 6. Angles associés et sinusoïdes

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction sinusoïdale : Une fonction sinusoïdale sur R est de la forme f(x)=A cos(ax+φ) ou f(x)=A sin(ax+φ), où A, φ et ω sont des nombres réels positifs selon le cours.

📝 Points essentiels

📌 Les angles associés donnent cos(π−x)=−cos(x), sin(π−x)=sin(x), cos(π+x)=−cos(x), sin(π+x)=−sin(x), cos(2π−x)=cos(x) et sin(2π−x)=−sin(x).

• Pour les angles complémentaires, cos(π/2−x)=sin(x) et sin(π/2−x)=cos(x).

📐 Formule — La période d’une fonction sinusoïdale est $T=\frac{2\pi}{\omega}$.

📐 Formule — Pour f(x)=A cos(ax+φ), on a $f'(x)=-aA\sin(ax+φ)$, et pour f(x)=A sin(ax+φ), on a $f'(x)=aA\cos(ax+φ)$.

💡 Astuce mémo

−x, π−x, π+x, 2π−x, π/2−x : symétries puis complémentarité.