QCM : Dérivation et fonctions trigonométriques — 18 questions

Question 1

1. Pour une fonction $f(x)=\frac{1}{u(x)}$ , où $u$ est dérivable et ne s’annule pas, quelle est la dérivée ?

\frac{u(x)^2}{u'(x)}

-\frac{u(x)}{u'(x)^2}

-\frac{u'(x)}{u(x)^2}

\frac{u'(x)}{u(x)^2}

Explication

La dérivation de l’inverse introduit un signe négatif et le carré de $u(x)$ au dénominateur. Le signe positif néglige précisément cette propriété de la fonction inverse.

Answer

$$-\frac{u'(x)}{u(x)^2}$$

Question 2

2. Comment varie la fonction cosinus sur l’intervalle $[0,\pi]$ ?

Elle croît de

1

jusqu’à

0

.

Elle décroît de

1

jusqu’à

-1

.

Elle croît de

-1

jusqu’à

1

.

Elle décroît de

0

jusqu’à

-1

.

Explication

Sur $[0,\pi]$ , le cosinus prend la valeur $1$ en $0$ et la valeur $-1$ en $\pi$ , en décroissant entre ces deux bornes. La croissance de $-1$ à $1$ correspond au sinus sur un autre intervalle.

Answer

Elle décroît de $$1$$ jusqu’à $$-1$$.

Question 3

3. Quelle paire de dérivées fondamentales est correcte ?

\frac{d}{dx}\cos x=\sin x

et

\frac{d}{dx}\sin x=-\cos x

.

\frac{d}{dx}\cos x=\cos x

et

\frac{d}{dx}\sin x=\sin x

.

\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x

et

\frac{d}{dx}\sin x=\cos x

.

\frac{d}{dx}\cos x=-\cos x

et

\frac{d}{dx}\sin x=-\sin x

.

Explication

La dérivée du cosinus est l’opposé du sinus, alors que la dérivée du sinus est le cosinus. La confusion la plus fréquente consiste à échanger ces deux dérivées ou à oublier le signe négatif devant le sinus.

Answer

$$\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x$$ et $$\frac{d}{dx}\sin x=\cos x$$.

Question 4

4. Laquelle de ces fonctions fait partie des exemples étudiés pour l’analyse des variations sur son domaine indiqué ?

f(x)=\frac{x^2+4}{2}

sur

\mathbb{R}

f(x)=\frac{2}{x^2-4}

sur

\mathbb{R}

f(x)=\ln(x^2+4)

sur

\mathbb{R}

f(x)=\frac{2}{x^2+4}

sur

\mathbb{R}

Explication

L’étude proposée comprend notamment $f(x)=\frac{2}{x^2+4}$ sur $\mathbb{R}$ . Les autres fonctions ne correspondent pas à l’exemple indiqué, même si certaines pourraient aussi faire l’objet d’une étude de variations.

Answer

$$f(x)=\frac{2}{x^2+4}$$ sur $$\mathbb{R}$$

Question 5

5. Quelle relation correspond à des angles complémentaires ?

\cos(\pi/2-x)=-\sin(x)

et

\sin(\pi/2-x)=-\cos(x)

.

\cos(\pi/2-x)=\sin(x)

et

\sin(\pi/2-x)=\cos(x)

.

\cos(\pi/2-x)=\sin(\pi-x)

et

\sin(\pi/2-x)=\cos(\pi-x)

.

\cos(\pi/2-x)=\cos(x)

et

\sin(\pi/2-x)=\sin(x)

.

Explication

Le complémentaire d’un angle échange les rôles du sinus et du cosinus : le cosinus de $\pi/2-x$ vaut $\sin(x)$ , et le sinus correspondant vaut $\cos(x)$ . Les autres propositions conservent ou changent les signes sans appliquer cette règle d’échange.

Answer

$$\cos(\pi/2-x)=\sin(x)$$ et $$\sin(\pi/2-x)=\cos(x)$$.

Question 6

6. Quelle variation la fonction sinus présente-t-elle sur $[-\pi/2,\pi/2]$ ?

Elle croît de

-1

jusqu’à

1

.

Elle décroît de

1

jusqu’à

-1

.

Elle croît de

0

jusqu’à

1

.

Elle décroît de

0

jusqu’à

-1

.

Explication

Sur cet intervalle, le sinus est croissant, avec une valeur initiale $\sin(-\pi/2)=-1$ et une valeur finale $\sin(\pi/2)=1$ . Les propositions décroissantes inversent le sens de variation ou ne donnent pas les bonnes valeurs aux extrémités.

Answer

Elle croît de $$-1$$ jusqu’à $$1$$.

Question 7

7. Quelle expression caractérise une fonction sinusoïdale ?

Elle s’écrit

f(x)=A\cos(x)

avec une amplitude et un argument inchangés.

Elle s’écrit nécessairement

f(x)=\cos(x)+\sin(x)

sans paramètre de phase.

Elle peut s’écrire

f(x)=A\cos(ax+\varphi)

ou

f(x)=A\sin(ax+\varphi)

.

Elle s’écrit

f(x)=ax+\varphi

, qui est une expression affine.

Explication

Une fonction sinusoïdale possède un terme de phase de la forme $ax+\varphi$ à l’intérieur d’un sinus ou d’un cosinus, ainsi qu’un facteur d’amplitude. Une simple fonction trigonométrique sans ce terme ou une expression affine ne donne pas la forme générale attendue.

Answer

Elle peut s’écrire $$f(x)=A\cos(ax+\varphi)$$ ou $$f(x)=A\sin(ax+\varphi)$$.

Question 8

8. Si $f=g\circ u$ , avec $g$ et $u$ dérivables, quelle expression donne $f'(x)$ ?

g'(u(x))\,u(x)

u'(x)\,g'(u(x))

g'(x)\,u'(g(x))

g'(u(x))+u'(x)

Explication

La règle de la chaîne multiplie la dérivée de la fonction intérieure par la dérivée de la fonction extérieure évaluée en $u(x)$ . Une simple dérivée de $g$ ne tiendrait pas compte de la variation de $u$ .

Answer

$$u'(x)\,g'(u(x))$$

Question 9

9. Quelle propriété décrit correctement la fonction cosinus ?

Elle associe à tout réel

x

le nombre

\sin(x)

et est définie sur

\mathbb{R}

.

Elle associe à tout réel

x

le nombre

\cos(x)

et est définie sur

[0,\pi]

.

Elle associe à tout réel

x

le nombre

\cos(x)

et est définie sur

\mathbb{R}

.

Elle associe à tout réel

x

le nombre

\tan(x)

et est définie sur

\mathbb{R}

.

Explication

La fonction cosinus associe à chaque réel $x$ le nombre $\cos(x)$ et son domaine est $\mathbb{R}$ . La confusion principale consiste à intervertir les expressions du cosinus et du sinus.

Answer

Elle associe à tout réel $$x$$ le nombre $$\cos(x)$$ et est définie sur $$\mathbb{R}$$.

Question 10

10. Pour quel angle associé le sinus conserve-t-il le signe de $\sin(x)$ tandis que le cosinus change de signe ?

Pour

\pi-x

, car

\sin(\pi-x)=-\sin(x)

et

\cos(\pi-x)=\cos(x)

.

Pour

\pi-x

, car

\sin(\pi-x)=\sin(x)

et

\cos(\pi-x)=-\cos(x)

.

Pour

2\pi-x

, car

\sin(2\pi-x)=\sin(x)

et

\cos(2\pi-x)=-\cos(x)

.

Pour

\pi+x

, car

\sin(\pi+x)=\sin(x)

et

\cos(\pi+x)=-\cos(x)

.

Explication

Avec l’angle $\pi-x$ , le sinus reste égal à $\sin(x)$ tandis que le cosinus devient son opposé. Pour $\pi+x$ , le sinus change également de signe, ce qui constitue la confusion la plus plausible.

Answer

Pour $$\pi-x$$, car $$\sin(\pi-x)=\sin(x)$$ et $$\cos(\pi-x)=-\cos(x)$$.

Question 11

11. Si $f(x)=\sqrt{u(x)}$ et que les conditions d’existence sont satisfaites, quelle formule est correcte ?

\frac{1}{2\sqrt{u'(x)}}

\frac{2\sqrt{u(x)}}{u'(x)}

\frac{u(x)}{2\sqrt{u'(x)}}

\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}

Explication

La dérivée de la racine composée est la dérivée de l’expression intérieure divisée par deux fois sa racine. Les autres expressions inversent ou déplacent les facteurs intervenant dans cette règle.

Answer

$$\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}$$

Question 12

12. Quelle affirmation définit correctement la fonction sinus ?

Elle associe à tout réel

x

le nombre

\cos(x)

et est définie sur

\mathbb{R}

.

Elle associe à tout réel

x

le nombre

\sin(x)

et est définie sur

[0,2\pi]

.

Elle associe à tout réel

x

le nombre

\sin(x)

et est définie sur

\mathbb{R}

.

Elle associe à tout réel

x

le nombre

\tan(x)

et est définie sur

\mathbb{R}

.

Explication

La fonction sinus est définie pour tout réel et associe à $x$ la valeur $\sin(x)$ . La fonction cosinus correspond à l’expression $\cos(x)$ , tandis que les deux autres propositions donnent un domaine ou une fonction différente.

Answer

Elle associe à tout réel $$x$$ le nombre $$\sin(x)$$ et est définie sur $$\mathbb{R}$$.

Question 13

13. Quelle paire de formules décrit correctement les dérivées de $\cos(u(x))$ et $\sin(u(x))$ ?

-u'(x)\cos(u(x))

et

u'(x)\sin(u(x))

-u'(x)\sin(u(x))

et

u'(x)\cos(u(x))

u'(x)\cos(u(x))

et

-u'(x)\sin(u(x))

u'(x)\sin(u(x))

et

-u'(x)\cos(u(x))

Explication

La dérivée du cosinus composé est $-u'(x)\sin(u(x))$ , tandis que celle du sinus composé est $u'(x)\cos(u(x))$ . La confusion fréquente consiste à échanger les signes ou les fonctions trigonométriques.

Answer

$$-u'(x)\sin(u(x))$$ et $$u'(x)\cos(u(x))$$

Question 14

14. Quelle égalité traduit la périodicité de période $2\pi$ des fonctions trigonométriques fondamentales ?

Pour tout réel

x

,

\cos(x+\pi)=\cos(x)

et

\sin(x+\pi)=\sin(x)

.

Pour tout réel

x

,

\cos(2x)=\cos(x)

et

\sin(2x)=\sin(x)

.

Pour tout réel

x

,

\cos(x+2\pi)=-\cos(x)

et

\sin(x+2\pi)=-\sin(x)

.

Pour tout réel

x

,

\cos(x+2\pi)=\cos(x)

et

\sin(x+2\pi)=\sin(x)

.

Explication

Ajouter $2\pi$ à l’argument ne modifie ni le cosinus ni le sinus, ce qui caractérise leur période $2\pi$ . Un décalage de $\pi$ change les signes des deux fonctions plutôt que de conserver leurs valeurs.

Answer

Pour tout réel $$x$$, $$\cos(x+2\pi)=\cos(x)$$ et $$\sin(x+2\pi)=\sin(x)$$.

Question 15

15. Pour $f(x)=\bigl(u(x)\bigr)^n$ , quelle dérivée obtient-on lorsque $u$ est dérivable et strictement positive ?

n\,u(x)\,\bigl(u'(x)\bigr)^{n-1}

n\,\bigl(u(x)\bigr)^{n-1}

n\,u'(x)\,\bigl(u(x)\bigr)^{n-1}

u'(x)\,\bigl(u(x)\bigr)^n

Explication

La puissance composée se dérive en conservant le facteur $u'(x)$ , ce qui donne $n\,u'(x)\,u(x)^{n-1}$ . L’expression sans $u'(x)$ correspondrait à une fonction intérieure dont la dérivée vaut implicitement un.

Answer

$$n\,u'(x)\,\bigl(u(x)\bigr)^{n-1}$$

Question 16

16. Pour définir $f=g\circ u$ sur un intervalle $J$ , quelle condition doit être vérifiée concernant les valeurs prises par $u$ ?

La fonction

u

doit être constante sur l’intervalle

J

.

Les fonctions

g

et

u

doivent avoir le même intervalle de définition.

L’image de

J

par

u

doit être incluse dans l’intervalle de définition de

g

.

L’image de l’intervalle de définition de

g

doit être incluse dans

J

.

Explication

La composée est définie lorsque toute valeur $u(x)$ , pour $x\in J$ , appartient à l’intervalle où $g$ est définie. La condition inverse entre les intervalles ne garantit pas que $g(u(x))$ existe.

Answer

L’image de $$J$$ par $$u$$ doit être incluse dans l’intervalle de définition de $$g$$.

Question 17

17. Quelle relation décrit correctement la parité du cosinus et l’imparité du sinus ?

\cos(-x)=-\cos(x)

et

\sin(-x)=-\sin(x)

pour tout réel

x

.

\cos(-x)=-\cos(x)

et

\sin(-x)=\sin(x)

pour tout réel

x

.

\cos(-x)=\cos(x)

et

\sin(-x)=-\sin(x)

pour tout réel

x

.

\cos(-x)=\cos(x)

et

\sin(-x)=\sin(x)

pour tout réel

x

.

Explication

Le cosinus conserve sa valeur lorsque l’argument est remplacé par son opposé, tandis que le sinus change de signe. Les autres relations attribuent à ces fonctions des symétries incompatibles avec leurs parités respectives.

Answer

$$\cos(-x)=\cos(x)$$ et $$\sin(-x)=-\sin(x)$$ pour tout réel $$x$$.

Question 18

18. Quelle démarche permet de déterminer les variations d’une fonction sur un intervalle donné ?

Calculer sa dérivée, étudier le signe de cette dérivée, puis en déduire les variations.

Calculer les valeurs de la fonction aux bornes, puis conclure sans dérivée.

Étudier le signe de la fonction, puis en déduire directement le sens de variation.

Comparer les expressions de deux fonctions, puis construire leur tableau de signes.

Explication

Le signe de la dérivée indique si la fonction croît ou décroît sur les intervalles considérés. Le signe de la fonction renseigne sur ses valeurs par rapport à zéro, mais ne détermine pas directement ses variations.

Answer

Calculer sa dérivée, étudier le signe de cette dérivée, puis en déduire les variations.

QCM : Dérivation et fonctions trigonométriques — 18 questions

Questions et réponses du QCM

1. Pour une fonction $f(x)=\frac{1}{u(x)}$ , où $u$ est dérivable et ne s’annule pas, quelle est la dérivée ?

2. Comment varie la fonction cosinus sur l’intervalle $[0,\pi]$ ?

3. Quelle paire de dérivées fondamentales est correcte ?

4. Laquelle de ces fonctions fait partie des exemples étudiés pour l’analyse des variations sur son domaine indiqué ?

5. Quelle relation correspond à des angles complémentaires ?

6. Quelle variation la fonction sinus présente-t-elle sur $[-\pi/2,\pi/2]$ ?

7. Quelle expression caractérise une fonction sinusoïdale ?

8. Si $f=g\circ u$ , avec $g$ et $u$ dérivables, quelle expression donne $f'(x)$ ?

9. Quelle propriété décrit correctement la fonction cosinus ?

10. Pour quel angle associé le sinus conserve-t-il le signe de $\sin(x)$ tandis que le cosinus change de signe ?

11. Si $f(x)=\sqrt{u(x)}$ et que les conditions d’existence sont satisfaites, quelle formule est correcte ?

12. Quelle affirmation définit correctement la fonction sinus ?

13. Quelle paire de formules décrit correctement les dérivées de $\cos(u(x))$ et $\sin(u(x))$ ?

14. Quelle égalité traduit la périodicité de période $2\pi$ des fonctions trigonométriques fondamentales ?

15. Pour $f(x)=\bigl(u(x)\bigr)^n$ , quelle dérivée obtient-on lorsque $u$ est dérivable et strictement positive ?

16. Pour définir $f=g\circ u$ sur un intervalle $J$ , quelle condition doit être vérifiée concernant les valeurs prises par $u$ ?

17. Quelle relation décrit correctement la parité du cosinus et l’imparité du sinus ?

18. Quelle démarche permet de déterminer les variations d’une fonction sur un intervalle donné ?

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QCM : Dérivation et fonctions trigonométriques — 18 questions

Questions et réponses du QCM

1. Pour une fonction f(x)=1u(x)f(x)=\frac{1}{u(x)}f(x)=u(x)1​, où uuu est dérivable et ne s’annule pas, quelle est la dérivée ?

2. Comment varie la fonction cosinus sur l’intervalle [0,π][0,\pi][0,π] ?

3. Quelle paire de dérivées fondamentales est correcte ?

4. Laquelle de ces fonctions fait partie des exemples étudiés pour l’analyse des variations sur son domaine indiqué ?

5. Quelle relation correspond à des angles complémentaires ?

6. Quelle variation la fonction sinus présente-t-elle sur [−π/2,π/2][-\pi/2,\pi/2][−π/2,π/2] ?

7. Quelle expression caractérise une fonction sinusoïdale ?

8. Si f=g∘uf=g\circ uf=g∘u, avec ggg et uuu dérivables, quelle expression donne f′(x)f'(x)f′(x) ?

9. Quelle propriété décrit correctement la fonction cosinus ?

10. Pour quel angle associé le sinus conserve-t-il le signe de sin⁡(x)\sin(x)sin(x) tandis que le cosinus change de signe ?

11. Si f(x)=u(x)f(x)=\sqrt{u(x)}f(x)=u(x)​ et que les conditions d’existence sont satisfaites, quelle formule est correcte ?

12. Quelle affirmation définit correctement la fonction sinus ?

13. Quelle paire de formules décrit correctement les dérivées de cos⁡(u(x))\cos(u(x))cos(u(x)) et sin⁡(u(x))\sin(u(x))sin(u(x)) ?

14. Quelle égalité traduit la périodicité de période 2π2\pi2π des fonctions trigonométriques fondamentales ?

15. Pour f(x)=(u(x))nf(x)=\bigl(u(x)\bigr)^nf(x)=(u(x))n, quelle dérivée obtient-on lorsque uuu est dérivable et strictement positive ?

16. Pour définir f=g∘uf=g\circ uf=g∘u sur un intervalle JJJ, quelle condition doit être vérifiée concernant les valeurs prises par uuu ?

17. Quelle relation décrit correctement la parité du cosinus et l’imparité du sinus ?

18. Quelle démarche permet de déterminer les variations d’une fonction sur un intervalle donné ?

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1. Pour une fonction $f(x)=\frac{1}{u(x)}$ , où $u$ est dérivable et ne s’annule pas, quelle est la dérivée ?

2. Comment varie la fonction cosinus sur l’intervalle $[0,\pi]$ ?

6. Quelle variation la fonction sinus présente-t-elle sur $[-\pi/2,\pi/2]$ ?

8. Si $f=g\circ u$ , avec $g$ et $u$ dérivables, quelle expression donne $f'(x)$ ?

10. Pour quel angle associé le sinus conserve-t-il le signe de $\sin(x)$ tandis que le cosinus change de signe ?

11. Si $f(x)=\sqrt{u(x)}$ et que les conditions d’existence sont satisfaites, quelle formule est correcte ?

13. Quelle paire de formules décrit correctement les dérivées de $\cos(u(x))$ et $\sin(u(x))$ ?

14. Quelle égalité traduit la périodicité de période $2\pi$ des fonctions trigonométriques fondamentales ?

15. Pour $f(x)=\bigl(u(x)\bigr)^n$ , quelle dérivée obtient-on lorsque $u$ est dérivable et strictement positive ?

16. Pour définir $f=g\circ u$ sur un intervalle $J$ , quelle condition doit être vérifiée concernant les valeurs prises par $u$ ?