QCM : Fonctions polynomiales du second degré — 8 questions

Question 1

1. Laquelle des expressions définit une fonction polynôme du second degré sur $\mathbb{R}$ ?

f(x)=3x^3-2x+1

f(x)=3x-2

f(x)=3x^2-2x+1

f(x)=\frac{3}{x}+1

Explication

Une fonction polynôme du second degré s’écrit $ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$ , ce qui est le cas de la première expression. L’expression affine possède un terme en $x$ mais pas de terme en $x^2$ , tandis que les deux autres ne sont pas du second degré.

Answer

$$f(x)=3x^2-2x+1$$

Question 2

2. Que signifie qu’un réel $r$ est une racine d’un polynôme $P$ ?

r=P(0)

P(r)=0

P(r)=1

P(0)=r

Explication

Un réel est une racine de $P$ lorsque son image par $P$ est nulle, c’est-à-dire lorsque $P(r)=0$ . Les autres égalités ne correspondent pas à la définition d’une racine.

Answer

$$P(r)=0$$

Question 3

3. Pour une fonction $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$ , quelles relations permettent d’obtenir sa forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ ?

\alpha=\frac{b}{2a}

et

\beta=f(-\alpha)

\alpha=\frac{c}{a}

et

\beta=f\left(\frac{b}{a}\right)

\alpha=-\frac{b}{a}

et

\beta=f(2\alpha)

\alpha=-\frac{b}{2a}

et

\beta=f(\alpha)

Explication

La forme canonique est obtenue avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$ . Le signe et le facteur $2$ sont essentiels ; les autres relations ne donnent pas les paramètres canoniques généraux.

Answer

$$\alpha=-\frac{b}{2a}$$ et $$\beta=f(\alpha)$$

Question 4

4. Quelle est la forme canonique de la fonction $f(x)=x^2+2x-3$ , et quelles sont les coordonnées de son sommet ?

f(x)=(x-1)^2-4

, sommet

(1;-4)

f(x)=(x-1)^2+4

, sommet

(1;4)

f(x)=(x+1)^2-4

, sommet

(-1;-4)

f(x)=(x+1)^2+4

, sommet

(-1;4)

Explication

On a $x^2+2x-3=(x+1)^2-4$ , donc $\alpha=-1$ et $\beta=-4$ : le sommet est $(-1;-4)$ . Les autres réponses changent le signe de l’abscisse ou de l’ordonnée et ne développent pas la fonction donnée.

Answer

$$f(x)=(x+1)^2-4$$, sommet $$(-1;-4)$$

Question 5

5. Quelle est la définition d'une fonction polynôme du second degré ?

Une fonction qui ne peut être représentée que par une expression linéaire.

Une fonction dont le graphique est une droite.

Une fonction définie sur R telle qu'il existe des réels a, b et c avec a ≠ 0 pour laquelle, pour tout x ∈ R,

f(x)=ax^2+bx+c

.

Une fonction dont la dérivée est une fonction affine.

Explication

Une fonction polynôme du second degré est définie par une expression $ax^2+bx+c$ avec $a \neq 0$ . La seule autre option concerne une fonction affine, qui est de degré 1, pas 2.

Answer

Une fonction définie sur R telle qu'il existe des réels a, b et c avec a ≠ 0 pour laquelle, pour tout x ∈ R, $$f(x)=ax^2+bx+c$$.

Question 6

6. Quelle est la condition nécessaire pour qu'une fonction soit considérée comme un polynôme du second degré ?

Il existe des réels a, b et c avec

a \neq 0

tels que, pour tout x \\in R, f(x) = a x^2 + b x + c.

Elle doit avoir une seule racine réelle.

Elle doit être une fonction affine.

Elle doit être définie uniquement sur l'ensemble des nombres entiers.

Explication

Une fonction polynôme du second degré doit avoir un coefficient a non nul, ce qui garantit que le degré est bien 2. La condition $a \neq 0$ est essentielle pour distinguer cette fonction d'une fonction affine.

Answer

Il existe des réels a, b et c avec $$a \\neq 0$$ tels que, pour tout x \\in R, f(x) = a x^2 + b x + c.

Question 7

7. Quel est le rôle principal de la forme canonique $f(x)=a(x-\textstyle-\frac{b}{2a})^2+\beta$ d'une fonction polynôme du second degré ?

Elle sert à calculer la dérivée de la fonction.

Elle facilite la résolution de l'équation

ax^2+bx+c=0

.

Elle permet de déterminer rapidement le sommet de la parabole.

Elle indique la valeur de la racine principale.

Explication

La forme canonique met en évidence le sommet de la parabole, ce qui est essentiel pour analyser ses variations. La résolution de l'équation n'est pas directement facilitée par cette forme, et elle ne concerne pas la dérivée ou la racine principale.

Answer

Elle permet de déterminer rapidement le sommet de la parabole.

Question 8

8. En quoi la parabole représentée par une fonction polynôme du second degré diffère-t-elle d'une parabole dont la sommet est connu mais dont la forme n'est pas encore exprimée ?

La parabole d'une fonction du second degré est définie par sa forme canonique, alors qu'une parabole dont le sommet est connu ne peut pas être exprimée sous cette forme.

Une parabole du second degré a toujours une forme en cuvette ou en cloche, alors qu'une autre peut avoir une forme différente.

La parabole d'une fonction du second degré est toujours symétrique par rapport à l'axe x, alors qu'une parabole dont le sommet est connu peut ne pas l'être.

La parabole d'une fonction du second degré est entièrement déterminée par ses coefficients et son sommet, contrairement à une parabole dont seul le sommet est connu.

Explication

La parabole d'une fonction du second degré est entièrement déterminée par ses coefficients et son sommet, ce qui permet de la décrire précisément. Connaître uniquement le sommet ne suffit pas à définir complètement la parabole, contrairement à la connaissance de ses coefficients.

Answer

La parabole d'une fonction du second degré est entièrement déterminée par ses coefficients et son sommet, contrairement à une parabole dont seul le sommet est connu.

QCM : Fonctions polynomiales du second degré — 8 questions

Questions et réponses du QCM

1. Laquelle des expressions définit une fonction polynôme du second degré sur $\mathbb{R}$ ?

2. Que signifie qu’un réel $r$ est une racine d’un polynôme $P$ ?

3. Pour une fonction $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$ , quelles relations permettent d’obtenir sa forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ ?

4. Quelle est la forme canonique de la fonction $f(x)=x^2+2x-3$ , et quelles sont les coordonnées de son sommet ?

5. Quelle est la définition d'une fonction polynôme du second degré ?

6. Quelle est la condition nécessaire pour qu'une fonction soit considérée comme un polynôme du second degré ?

7. Quel est le rôle principal de la forme canonique $f(x)=a(x-\textstyle-\frac{b}{2a})^2+\beta$ d'une fonction polynôme du second degré ?

8. En quoi la parabole représentée par une fonction polynôme du second degré diffère-t-elle d'une parabole dont la sommet est connu mais dont la forme n'est pas encore exprimée ?

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QCM : Fonctions polynomiales du second degré — 8 questions

Questions et réponses du QCM

1. Laquelle des expressions définit une fonction polynôme du second degré sur R\mathbb{R}R ?

2. Que signifie qu’un réel rrr est une racine d’un polynôme PPP ?

3. Pour une fonction f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+cf(x)=ax2+bx+c avec a≠0a\neq 0a=0, quelles relations permettent d’obtenir sa forme canonique f(x)=a(x−α)2+βf(x)=a(x-\alpha)^2+\betaf(x)=a(x−α)2+β ?

4. Quelle est la forme canonique de la fonction f(x)=x2+2x−3f(x)=x^2+2x-3f(x)=x2+2x−3, et quelles sont les coordonnées de son sommet ?

5. Quelle est la définition d'une fonction polynôme du second degré ?

6. Quelle est la condition nécessaire pour qu'une fonction soit considérée comme un polynôme du second degré ?

7. Quel est le rôle principal de la forme canonique f(x)=a(x−−b2a)2+βf(x)=a(x-\textstyle-\frac{b}{2a})^2+\betaf(x)=a(x−−2ab​)2+β d'une fonction polynôme du second degré ?

8. En quoi la parabole représentée par une fonction polynôme du second degré diffère-t-elle d'une parabole dont la sommet est connu mais dont la forme n'est pas encore exprimée ?

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1. Laquelle des expressions définit une fonction polynôme du second degré sur $\mathbb{R}$ ?

2. Que signifie qu’un réel $r$ est une racine d’un polynôme $P$ ?

3. Pour une fonction $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$ , quelles relations permettent d’obtenir sa forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ ?

4. Quelle est la forme canonique de la fonction $f(x)=x^2+2x-3$ , et quelles sont les coordonnées de son sommet ?

7. Quel est le rôle principal de la forme canonique $f(x)=a(x-\textstyle-\frac{b}{2a})^2+\beta$ d'une fonction polynôme du second degré ?