Fonctions polynomiales du second degré

📋 Plan du Cours

1. Définition et racines
2. Forme canonique
3. Variations et extrema
4. Parabole et détermination

📖 1. Définition et racines

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme du second degré : une fonction définie sur R pour laquelle il existe des réels a, b et c avec a ≠ 0 tels que, pour tout x ∈ R, $f(x)=ax^2+bx+c$.
• Racine d’un polynôme : Un réel a est une racine d’un polynôme P lorsque P(a)=0, c’est-à-dire lorsque a est solution de l’équation P(x)=0.

📝 Points essentiels

• Dans la forme développée $f(x)=ax^2+bx+c$, a, b et c sont les coefficients et leur écriture est unique pour une même fonction.

• Pour f(x)=x^2-1, les racines sont 1 et -1, car f(1)=0 et f(-1)=0.

💡 Astuce mémo

Second degré : a ≠ 0 ; affine : a = 0

📖 2. Forme canonique

★ À maîtriser

📐 Formule — Toute fonction polynôme du second degré $f(x)=ax^2+bx+c$ peut s’écrire sous la forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$.

Compléments

• La fonction $f(x)=x^2+2x-3$ s’écrit sous forme canonique $f(x)=(x+1)^2-4$, avec α=-1 et β=-4.

💡 Astuce mémo

Développée → sommet : α puis β

📖 3. Variations et extrema

📌 Si a>0, une fonction polynôme du second degré décroît jusqu’à α puis croît après α, et β est son minimum sur R.