Fiche de révision : Fonctions polynomiales du second degré

📋 Plan du Cours

1. Définition et racines
2. Forme canonique
3. Variations et extrema
4. Parabole et détermination

📖 1. Définition et racines

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme du second degré : une fonction définie sur R pour laquelle il existe des réels a, b et c avec a ≠ 0 tels que, pour tout x ∈ R, $f(x)=ax^2+bx+c$.
• Racine d’un polynôme : Un réel a est une racine d’un polynôme P lorsque P(a)=0, c’est-à-dire lorsque a est solution de l’équation P(x)=0.

📝 Points essentiels

• Dans la forme développée $f(x)=ax^2+bx+c$, a, b et c sont les coefficients et leur écriture est unique pour une même fonction.

• Pour f(x)=x^2-1, les racines sont 1 et -1, car f(1)=0 et f(-1)=0.

💡 Astuce mémo

Second degré : a ≠ 0 ; affine : a = 0

📖 2. Forme canonique

★ À maîtriser

📐 Formule — Toute fonction polynôme du second degré $f(x)=ax^2+bx+c$ peut s’écrire sous la forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$.

Compléments

• La fonction $f(x)=x^2+2x-3$ s’écrit sous forme canonique $f(x)=(x+1)^2-4$, avec α=-1 et β=-4.

💡 Astuce mémo

Développée → sommet : α puis β

📖 3. Variations et extrema

★ À maîtriser

📌 Si a>0, une fonction polynôme du second degré décroît jusqu’à α puis croît après α, et β est son minimum sur R.

📌 Si a<0, une fonction polynôme du second degré croît jusqu’à α puis décroît après α, et β est son maximum sur R.

📐 Formule — Pour $f(x)=ax^2+bx+c=a(x-\alpha)^2+\beta$, on a $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$.

Compléments

• Pour $f(x)=-2x^2-12x+8=-2(x+3)^2+26$, on obtient α=-3 et β=26, donc f admet un maximum égal à 26 en x=-3.

💡 Astuce mémo

Signe de a → sens des variations → minimum ou maximum

📖 4. Parabole et détermination

🔑 Notions clés & Définitions

• Courbe représentative : une parabole de sommet S(α ; β), où $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$.

★ À maîtriser

📌 L’axe de symétrie de la parabole représentative d’une fonction polynôme du second degré a pour équation x=α, soit $x=-\frac{b}{2a}$.

• Pour déterminer une fonction dont la parabole a pour sommet S(-1 ; 3) et passe par A(1 ; 5), on écrit la forme canonique, on utilise l’appartenance de A à la courbe pour calculer a, puis on obtient $f(x)=\frac{1}{2}(x+1)^2+3$.

Compléments

• Pour $f(x)=-2(x+3)^2+26$, le sommet est S(-3 ; 26) et l’axe de symétrie a pour équation x=-3.

💡 Astuce mémo

Une parabole en forme de cuvette ou de cloche, centrée sur l’axe x = α

📊 Tableaux de synthèse

Signe de a et variations