Fiche de révision : Dérivation et règles de calcul

📋 Plan du Cours

1. Limite et taux d’accroissement
2. Nombre dérivé et tangente
3. Fonction dérivée et fonctions usuelles
4. Dérivée d’une somme et d’un multiple
5. Dérivée d’un produit
6. Dérivée d’un inverse et d’un quotient

📖 1. Limite et taux d’accroissement

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite en 0 : La fonction f admet pour limite L lorsque x tend vers 0 si f(x) peut être rendu aussi proche que l’on veut de L en prenant x suffisamment proche de 0.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le taux d’accroissement de f entre a et a+h est $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$, pour h non nul et a+h dans l’intervalle de définition.

Compléments

• Pour f(x)=x^3+3x+3, les valeurs f(0,1)=3,301 et f(0,01)=3,030001 illustrent que $\lim_{x\to0}f(x)=3$.

📖 2. Nombre dérivé et tangente

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre dérivé : Le nombre dérivé de f en a est la limite du taux d’accroissement lorsque h tend vers 0, si cette limite existe, et se note $f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$.
• Tangente : La tangente à la courbe de f en A, si f est dérivable en a, est la droite passant par A et de coefficient directeur f'(a).

★ À maîtriser

📐 Formule - La tangente à la courbe en A(a;f(a)) a pour équation $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.

Compléments

📐 Formule - Pour h suffisamment proche de 0, la linéarisation donne $f(a+h)\simeq f(a)+hf'(a)$.

• Pour f(x)=x^3+8x-2, avec f'(1)=11 et f(1)=7, l’approximation linéaire donne f(0,95)≈6,45.

💡 Astuce mémo

Quand H glisse vers A sur la courbe, la sécante AH devient la tangente.

📖 3. Fonction dérivée et fonctions usuelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction dérivée : La fonction dérivée f' associe à chaque x d’un intervalle où f est dérivable le nombre dérivé f'(x) de f en x.

★ À maîtriser

• Pour tout entier n, la dérivée de $x^n$ est $nx^{n-1}$ ; le domaine indiqué est ℝ si n>0 et ℝ* si n<0.

• La dérivée d’une fonction constante vaut 0, celle d’une fonction affine ax+b vaut a, et celle de x² vaut 2x.

Compléments

📐 Formule - Sur ℝ*, la dérivée de $\frac{1}{x}$ est $-\frac{1}{x^2}$.

📐 Formule - La fonction racine carrée est dérivable sur ]0;+∞[ et sa dérivée est $\frac{1}{2\sqrt{x}}$.

• Pour g(x)=x^3, g'(x)=3x², donc g'(-2)=12 et g'(1/2)=3/4.

📖 4. Dérivée d’une somme et d’un multiple

★ À maîtriser

📌 Si u et v sont dérivables sur I, leur somme est dérivable sur I et $(u+v)'=u'+v'$; pour une constante réelle k, $(ku)'=ku'$ sur I.

Compléments

• La dérivée de f(x)=x^3+x^2+5 est f'(x)=3x^2+2x.

📖 5. Dérivée d’un produit

★ À maîtriser

📌 Si u et v sont dérivables sur I, leur produit est dérivable sur I et $(uv)'=u'v+uv'$.

Compléments

• Pour x>0, la dérivée de f(x)=x√x est f'(x)=3√x/2.

📖 6. Dérivée d’un inverse et d’un quotient

★ À maîtriser

📌 Si v est dérivable et non nulle sur I, alors $\left(\frac{1}{v}\right)'=-\frac{v'}{v^2}$ sur I.

📌 Si u et v sont dérivables sur I et v ne s’annule pas, alors $\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$ sur I.

Compléments

• Pour f(x)=1/(4x²+2x), le domaine de dérivabilité est ℝ{-1/2;0} et f'(x)=-(8x+2)/(4x²+2x)².

💡 Astuce mémo

Inverse : signe moins au numérateur ; quotient : différence u'v − uv'.